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Vierfeldertafel

Hast du in Mathe gerade das Thema Stochastik und beschäftigst dich mit bedingter Wahrscheinlichkeit?   Dann begegnet dir im Unterricht sicherlich auch die Vierfeldertafel.

Diese kannst du für absolute und relative Wahrscheinlichkeiten nutzen.

Wie eine Vierfeldertafel aussieht und wie du sie nutzt, erklärt dir simpleclub.

Vierfeldertafel einfach erklärt

Hier siehst du ein Beispiel für eine Vierfeldertafel:

absolute Vierfeldertafel	blaue Augen	braune Augen	\sum $\sum$
blonde Haare	12 $12$	4 $4$	16 $16$
schwarze Haare	6 $6$	8 $8$	14 $14$
\sum $\sum$	18 $18$	12 $12$	30 $30$

Vierfeldertafeln werden dazu benutzt, um zwei Ereignisse (A $(A$ und B) $B)$ und ihre Gegenereignisse ( \overline{A} $( \overline{A}$ und \overline{B} $\overline{B}$ ) und ihre jeweiligen Wahrscheinlichkeiten (P(A) , P(B), P( \overline{A}), P(\overline{B}) ) $(P(A) , P(B), P( \overline{A}), P(\overline{B}) )$ darzustellen.

Oft werden auch zwei konkrete unterschiedliche Merkmale oder Ausprägungen betrachtet. In diesem Fall also die Merkmale blaue Augen/braune Augen und blonde Haare/schwarze Haare.

Die Vierfeldertafel gibt darüber hinaus Auskunft über die Schnittmenge zweier Ereignisse (z.B P(A \cap B) $P(A \cap B)$ , also in diesem konkreten Fall die Anzahl an Personen, die sowohl blaue Augen als auch blonde Haare haben (siehe grünes Feld) .

Es gibt zwei Arten von Vierfeldertafeln:

Vierfeldertafeln mit absoluten Wahrscheinlichkeiten geben dir die konkrete Anzahl an Objekten mit einem bestimmten Merkmal (z.B. 12 Personen haben blaue Augen und blonde Haare) an.
Vierfeldertafeln mit relativen Wahrscheinlichkeiten geben dir den prozentualen Anteil an Objekten mit einer bestimmten Eigenschaft zur Gesamtmenge an (z.B. 60~\% $60~\%$ aller Menschen haben blaue Augen). Hier kannst du nicht immer die konkrete Anzahl an Objekten bestimmen!

Vierfeldertafel Definition

Die Vierfeldertafel ist eine übersichtliche Tabelle, in der verschiedene Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen eingetragen werden.

Um aus einer absoluten Vierfeldertafel eine relative Vierfeldertafel zu machen, musst du also einfach die Anzahl an Objekten mit der bestimmten Eigenschaft durch die Gesamtanzahl aller Objekte teilen, wie in diesem Beispiel:

P(A\cap B) = \frac{(A\cap B)}{\Omega}=\frac{12}{30}= \lsg{0,40}

P(A\cap B) = \frac{(A\cap B)}{\Omega}=\frac{12}{30}= \lsg{0,40}

Also haben genau 40~\% $40~\%$ aller Personen aus der Stichprobe blaue Augen und blonde Haare. Analog kannst du alle anderen Wahrscheinlichkeiten berechnen.

Deine relative Vierfeldertafel zum obigen Beispiel sollte dann so aussehen:

relative Vierfeldertafel	blaue Augen	braune Augen	\sum $\sum$
blonde Haare	0,40 $0,40$	0,13 $0,13$	0,53 $0,53$
schwarze Haare	0,20 $0,20$	0,27 $0,27$	0,47 $0,47$
\sum $\sum$	0,60 $0,60$	0,40 $0,40$	1 $1$

Manchmal sollst du auch zu einigen gegebenen Wahrscheinlichkeiten eine Vierfeldertafel aufstellen und die fehlenden Wahrscheinlichkeiten ergänzen (siehe Beispiele).

Hierbei kannst du dich an folgende Regeln halten:

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Regeln für relative Vierfeldertafeln

Die Summe der vier Wahrscheinlichkeiten in der Mitte ergibt 1 $1$ (0,40 + 0,20 + 0,13 + 0,27 = 1) $(0,40 + 0,20 + 0,13 + 0,27 = 1)$ .
Die Summe der rechten zwei Wahrscheinlichkeiten ergibt 1 $1$ (P(B) + P(\overline{B}) = 0,53 + 0,47 = 1 $(P(B) + P(\overline{B}) = 0,53 + 0,47 = 1$ ) .
Die Summe der unteren zwei Wahrscheinlichkeiten ergibt 1 $1$ (P(A) + P(\overline{A}) = 0,60 + 0,40 = 1 $(P(A) + P(\overline{A}) = 0,60 + 0,40 = 1$ ) .
Addiert man die inneren zwei Wahrscheinlichkeiten zeilen- oder spaltenweise, ergibt sich der dazugehörige äußere Wahrscheinlichkeitswert ( z.B. P( A\cap B) + P(A \cap \overline{B} ) = 0,40 + 0,20 = 0,60 = P(A) $P( A\cap B) + P(A \cap \overline{B} ) = 0,40 + 0,20 = 0,60 = P(A)$ ).

Dies ist auch sehr nützlich, um bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Nach dem Satz über bedingte Wahrscheinlichkeiten lassen sich diese folgendermaßen berechnen:

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Wie du in der relativen Vierfeldertafel siehst, kannst du somit alle bedingten Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse berechnen.

Vierfeldertafel mit A und B — allgemeine Vierfeldertafel

Vierfeldertafel Beispiel

Vierfeldertafel aufstellen

Dich interessiert, wie viele Studierende die simpleclub-App nutzen und du willst schnell eine Übersicht über die Wahrscheinlichkeiten haben.

Du weißt Folgendes:

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person aus der Bevölkerung Student oder Studentin ist, liegt bei 5~\% $5~\%$ .

61~\% $61~\%$ aller Menschen lernen mit simpleclub.

Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Student oderr Studentin ist und mit simpleclub lernt liegt bei 4~\% $4~\%$ .

Erstelle eine Vierfeldertafel und füge die fehlenden Wahrscheinlichkeiten hinzu.

Lösung

Du kannst dir jetzt also zwei Ereignisse (und damit auch die Gegenereignisse) definieren. Setzte dir also:

A : $A :$ "Person X $X$ ist Student"

\overline{A} : $\overline{A} :$ "Person X $X$ ist kein Student"

B : $B :$ "Person X $X$ benutzt simpleclub"

\overline{B} : $\overline{B} :$ "Person X $X$ benutzt kein simpleclub"

Jetzt kannst du dir anschauen, welche Wahrscheinlichkeiten dir zu deinen Ereignissen bereits gegeben sind und mit ihnen eine erste Vierfeldertafel erstellen:

Merkmal	Student	kein Student	\sum $\sum$
simpleclub	0,04 $0,04$	?	0,61 $0,61$
kein simpleclub	?	?	0,39 $0,39$
\sum $\sum$	0,05 $0,05$	0,95 $0,95$	1 $1$

Jetzt kannst du die Regeln zur Vierfeldertafel benutzen, um die fehlenden Wahrscheinlichkeiten einzutragen.

Beispielsweise erhältst du so:

\begin{aligned} P(A) &= P(A\cap B) + P(A \cap \overline{B})\\[3mm] 0,05 &= 0,04 + P(A \cap \overline{B})\\[3mm] 0,01 &= P(A \cap \overline{B}) \end{aligned}

\begin{aligned} P(A) &= P(A\cap B) + P(A \cap \overline{B})\\[3mm] 0,05 &= 0,04 + P(A \cap \overline{B})\\[3mm] 0,01 &= P(A \cap \overline{B}) \end{aligned}

So kannst du jetzt alle fehlenden Wahrscheinlichkeiten berechnen. Deine fertige Vierfeldertafel sollte dann folgendermaßen aussehen:

Merkmal	Student	kein Student	\sum $\sum$
simpleclub	0,04 $0,04$	0,57 $0,57$	0,61 $0,61$
kein simpleclub	0,01 $0,01$	0,38 $0,38$	0,39 $0,39$
\sum $\sum$	0,05 $0,05$	0,95 $0,95$	1 $1$

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