Dreieck - Flächeninhalt & Umfang

Siehst du auch den Flächeninhalt und Umfang vor lauter Dreiecken nicht mehr? Dann behandelt ihr im Unterricht sicherlich gerade den Umfang und Flächeninhalt von Dreiecken!

Doch wie berechnet man den Umfang von einem beliebigen Dreieck? Und wie lässt sich die Formel für den Flächeninhalt von Dreiecken herleiten?

simpleclub zeigt dir den einfachsten Weg!

Flächeninhalt & Umfang eines Dreiecks einfach erklärt

Umfang eines Dreiecks

Beim Umfang eines Dreiecks gibt es gar nicht so viel, das du dir merken musst, denn der Umfang ist einfach die Summe aus allen drei Seiten des Dreiecks.

\rarr\rarr Umfang \triangle\triangle === Seite aaa +++ Seite bbb +++ Seite ccc

Flächeninhalt eines Dreiecks

Der Flächeninhalt eines Dreicks bestimmt sich nicht so einfach, denn du kannst hier ja nicht einfach die Seiten multiplizieren (sonst würdest du ja die Fläche eines Quadrats oder Rechtecks berechnen).
Ein Dreieck ist quasi immer nur die Hälfte von einem Viereck. Der Flächeninhalt berechnet sich also aus "*ein Halb* mal *Grundseite* mal *Höhe*".

\rarr \large \text{A}_\triangle =\col[1]{\frac{1}{2}} \cdot \col[4]{c} \cdot \col[5]{h_c}A=12chc\rarr \large \text{A}_\triangle =\col[1]{\frac{1}{2}} \cdot \col[4]{c} \cdot \col[5]{h_c}

Flächeninhalt & Umfang eines Dreiecks Formel

Der Umfang eines Dreiecks \triangle \text{ABC}ABC\triangle \text{ABC} berechnet sich, indem man alle drei Seitenlängen addiert:

\boxed{ \text{U}_\triangle=a+b+c}U=a+b+c\boxed{ \text{U}_\triangle=a+b+c}

Den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks \triangle \text{ABC}ABC\triangle \text{ABC} berechnet sich aus "ein Halb mal Grundseite mal dessen Höhe".

\boxed{ \text{A}_{\triangle}= \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c }A=12chc\boxed{ \text{A}_{\triangle}= \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c }

Hinweis: Bei einem rechtwinkligen Dreieck kannst du einfach die beiden Seiten am rechten Winkel verwenden, denn die eine Seite ist durch den rechten Winkel immer automatisch die Höhe der anderen Seite:


Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks \triangle \text{ABC}ABC\triangle \text{ABC} berechnet sich aus "der Hälfte mal das Produkt aus den Seitenlängen die am rechten Winkel liegen".

\boxed{ \text{A}_{\triangle}= \frac{1}{2} \cdot a \cdot b }A=12ab\boxed{ \text{A}_{\triangle}= \frac{1}{2} \cdot a \cdot b }

Umfang eines Dreiecks

Der Umfang einer Figur ist ja quasi einfach die Summe aller Seiten dieser Figur.

Ein Dreieck \triangle \text{ABC}ABC\triangle \text{ABC} hat die drei Seiten aaa, bbb und ccc. Da ein Dreieck nicht unbedingt gleiche Seite hat, sondern oft alle drei Seiten unterschiedlich sind, musst du alle einzeln in die Formel packen.
\rarr\rarr Demnach ist der Umfang des Dreiecks einfach die Summe dieser drei Seiten.

\boxed{\text{U}_\triangle=a+b+c}U=a+b+c\boxed{\text{U}_\triangle=a+b+c}
Tippe auf das Dreieck und das Maßband.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich nicht so einfach, wie die Fläche eines Quadrats oder Rechtecks. Du kannst die Formel aber sehr schön über die Formel eines Rechtecks herleiten.

Die Formel für rechtwinklige Dreiecke geht super fix. Am besten merkst du dir aber die Formel für beliebige Dreiecke, denn die funktioniert immer!

Herleitung: Flächeninhalt rechtwinkliger Dreiecke

Ein rechtwinkliges Dreieck kannst du einfach verdoppeln und zu einem Rechteck zusammenbauen:

Tippe auf die Knöpfe.
Dreieck
zwei Dreiecke
Rechteck

Das gelbe Dreiecke \col[1]{\triangle}\col[1]{\triangle} und das blaue Dreieck\col[2]{\triangle}\col[2]{\triangle} sind also gleich groß und bilden zusammen ein Rechteck.
\rarr\rarr Das heißt, die Fläche eines Dreiecks ist halb so groß wie die Fläche des Rechtecks.

Daraus lässt sich dann auch die Formel für die Dreiecksfläche herleiten:

\begin{aligned} \text{A}_\col[1]{\triangle {r}}= \text{A}_\col[2]{\triangle {r}} &= \frac{1}{2} \cdot \text{A}_\col[3]{\boxed{~}} \\[2mm] &= \lsg{\frac{1}{2} \cdot a \cdot b} \end{aligned}\begin{aligned} \text{A}_\col[1]{\triangle {r}}= \text{A}_\col[2]{\triangle {r}} &= \frac{1}{2} \cdot \text{A}_\col[3]{\boxed{~}} \\[2mm] &= \lsg{\frac{1}{2} \cdot a \cdot b} \end{aligned}\boxed{\text{A}_{\triangle {r}}=a\cdot b}Ar=ab\boxed{\text{A}_{\triangle {r}}=a\cdot b}

Herleitung: Flächeninhalt beliebiges Dreieck

Tippe auf die Flächen.
Start
1
2
3
4
5
6

Schritt 1: Jedes Dreieck, dass nicht rechtwinklig ist, kann man in zwei rechtwinklige Dreieck aufteilen, indem man die senkrecht stehende Höhe h_chch_c einer Seite ccc einzeichnet.

Schritt 2 & 3: Die beiden kleinen rechtwinkligen Dreiecke lassen sich nun wieder durch Verdoppeln zu einem Rechteck legen.
\rarr\rarr Die Dreiecke sind also wieder die Hälfte der jeweiligen Rechtecke:

\begin{aligned} \text{A}_\col[1]{\triangle {r}} &= \frac{1}{2} \cdot \text{A}_{\col[1]{\boxed{~}}} \\[2mm] &= \underline{\frac{1}{2} \cdot c_1 \cdot h_c} \end{aligned} \quad \begin{aligned} \text{A}_\col[2]{\triangle {r}} &= \frac{1}{2} \cdot \text{A}_{\col[2]{\boxed{~}}} \\[2mm] &= \underline{\frac{1}{2} \cdot c_2 \cdot h_c} \end{aligned}\begin{aligned} \text{A}_\col[1]{\triangle {r}} &= \frac{1}{2} \cdot \text{A}_{\col[1]{\boxed{~}}} \\[2mm] &= \underline{\frac{1}{2} \cdot c_1 \cdot h_c} \end{aligned} \quad \begin{aligned} \text{A}_\col[2]{\triangle {r}} &= \frac{1}{2} \cdot \text{A}_{\col[2]{\boxed{~}}} \\[2mm] &= \underline{\frac{1}{2} \cdot c_2 \cdot h_c} \end{aligned}

Schritt 4: Zum Schluss musst du nur die noch beiden Flächeninhalte von den kleinen rechtwinkligen Dreiecken addieren, um die Fläche des großen nicht-rechtwinkligen Dreiecks herauszufinden:

\begin{aligned} \text{A}_{\triangle} &=\text{A}_\col[1]{\triangle{r}}+ \text{A}_\col[2]{\triangle{r}} \\[2mm] &= \col[1]{\frac{1}{2} \cdot {c_1} \cdot {h_c}} + \col[2]{\frac{1}{2} \cdot {c_2} \cdot {h_c}} \\[2mm] &= \frac{1}{2} \cdot (\col[4]{c_1+c_2}) \cdot h_c \\[2mm] &= \lsg{\frac{1}{2} \cdot \col[4]{c} \cdot \col[5]{h_c}} \end{aligned}\begin{aligned} \text{A}_{\triangle} &=\text{A}_\col[1]{\triangle{r}}+ \text{A}_\col[2]{\triangle{r}} \\[2mm] &= \col[1]{\frac{1}{2} \cdot {c_1} \cdot {h_c}} + \col[2]{\frac{1}{2} \cdot {c_2} \cdot {h_c}} \\[2mm] &= \frac{1}{2} \cdot (\col[4]{c_1+c_2}) \cdot h_c \\[2mm] &= \lsg{\frac{1}{2} \cdot \col[4]{c} \cdot \col[5]{h_c}} \end{aligned}\boxed{\text{A}_{\triangle} = {\frac{1}{2} \cdot \col[4]{c} \cdot \col[5]{h_c}}} A=12chc\boxed{\text{A}_{\triangle} = {\frac{1}{2} \cdot \col[4]{c} \cdot \col[5]{h_c}}}

Dreiecke mit gleichem Flächeninhalt

Du hast oben in der Formel gesehen, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks nur von der Grundseite und dessen Höhe abhängt (denn nur die kommen als Variablen in der Formel vor).

\rarr\rarr Das heißt also, wenn verschiedene Dreiecke

  • *dieselbe* Grundseite und
  • *dieselbe* Höhe haben

dann bleibt der Flächeninhalt gleich.

Das kannst du in folgender Animation sehen:

Verschiebe den Slider.

Flächeninhalt & Umfang von Dreiecken Beispiele

Umfang eines Dreiecks berechnen

Aufgabe

Gegeben ist ein Dreieck mit den Seiten

a= 4 \text{ cm} \\ b= 5 \text{ cm} \\ c= 6 \text{ cm}a=4 cmb=5 cmc=6 cma= 4 \text{ cm} \\ b= 5 \text{ cm} \\ c= 6 \text{ cm}

Berechne den Umfang des Dreiecks.

Lösung

Der Umfang eines Dreiecks ist einfach die Summe aller Seitenlängen, also gilt hier:

\begin{aligned} \text{U}_\triangle&= a+b+c \\ &= 4 \text{ cm} + 5 \text{ cm} + 6 \text{ cm} \\ &= \lsg{15 \text{ cm}} \end{aligned}U=a+b+c=4 cm+5 cm+6 cm=15 cm\begin{aligned} \text{U}_\triangle&= a+b+c \\ &= 4 \text{ cm} + 5 \text{ cm} + 6 \text{ cm} \\ &= \lsg{15 \text{ cm}} \end{aligned}

Fläche eines beliebigen Dreiecks

Aufgabe

Gegeben ist ein nicht-rechtwinkliges Dreieck mit den Maßen

b= 26 \text{ dm}\\ h_b= 31 \text{ dm}b=26 dmhb=31 dmb= 26 \text{ dm}\\ h_b= 31 \text{ dm}

Berechne dessen Flächeninhalt.

Lösung

Du kannst einfach die Werte in die Formel für beliebige Dreiecke einsetzen:

\begin{aligned} \text{A}_\triangle&= \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \\[2mm] &= \frac{1}{2} \cdot 26 \text{ dm} \cdot 31 \text{ dm} \\[2mm] &= \lsg{403 \text{ dm}^2} \end{aligned}A=12aha=1226 dm31 dm=403 dm2\begin{aligned} \text{A}_\triangle&= \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \\[2mm] &= \frac{1}{2} \cdot 26 \text{ dm} \cdot 31 \text{ dm} \\[2mm] &= \lsg{403 \text{ dm}^2} \end{aligned}

Fläche eines rechwinkligen Dreiecks

Aufgabe

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Maßen:

\begin{aligned} a&= 13 \text{ m} \\ b&= 7,5 \text{ m} \\ c&= 15 \text{ m} \end{aligned}a=13 mb=7,5 mc=15 m\begin{aligned} a&= 13 \text{ m} \\ b&= 7,5 \text{ m} \\ c&= 15 \text{ m} \end{aligned}

Die Seiten aaa und bbb schließen den rechten Winkle ein.

Berechne dessen Flächeninhalt.

Lösung

Bei rechtwinkligen Dreiecken brauchst du keine Höhe, denn die Höhe der Seite aaa ist ja einfach bbb (und anders herum).

Demnach gilt:

\begin{aligned} \text{A}_{\triangle{r}} &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \\[2mm] &= \frac{1}{2} \cdot 13 \text{ m} \cdot 7,5 \text{ m} \\[2mm] &= \lsg{48,75 \text{ m}^2} \end{aligned}Ar=12ab=1213 m7,5 m=48,75 m2\begin{aligned} \text{A}_{\triangle{r}} &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \\[2mm] &= \frac{1}{2} \cdot 13 \text{ m} \cdot 7,5 \text{ m} \\[2mm] &= \lsg{48,75 \text{ m}^2} \end{aligned}

Flächeninhalt & Umfang von Dreiecken Zusammenfassung

  • Der Umfang eines Dreiecks berechnet sich aus der Summe aller Seitenlängen:
\qquad \boxed{\text{U}_\triangle= a+b+c}U=a+b+c\qquad \boxed{\text{U}_\triangle= a+b+c}
  • Der Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks berechnet sich aus der Hälfte der Grundseite mal dessen Höhe:
\qquad \boxed{ \begin{aligned} \text{A}_\triangle &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \\[2mm] &= \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b \\[2mm] &= \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c \end{aligned} }A=12aha=12bhb=12chc\qquad \boxed{ \begin{aligned} \text{A}_\triangle &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \\[2mm] &= \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b \\[2mm] &= \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c \end{aligned} }
  • Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet sich aus der Hälfte des Produkts der beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen:
\qquad \boxed{ \text{A}_{\triangle{r}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b } ~~~\textsf{ mit }~ a \perp bAr=12abmitab\qquad \boxed{ \text{A}_{\triangle{r}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b } ~~~\textsf{ mit }~ a \perp b
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