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Logarithmusfunktion Grundlagen

Den Logarithmus kennst du bisher vom Lösen von Gleichungen, bei denen das x $x$ im Exponenten einer Zahl steht. Du kannst mit dem Logarithmus aber nicht nur rechnen, sondern ihn auch in Funktionen verpacken.

Aber was ist eine Logarithmusfunktion überhaupt? Was sind ihre Eigenschaften? Und ist die \ln $\ln$ -Funktion dasselbe wie die Logarithmusfunktion oder nur ein Spezialfall?

simpleclub zeigt dir alle Grundlagen, die du über die Logarithmusfunktion wissen musst.

Logarithmusfunktion einfach erklärt

Der Logarithmus sieht folgendermaßen aus:

\log_{\col[1]{b}}(\col[3]{x})=\col[2]{y}

\log_{\col[1]{b}}(\col[3]{x})=\col[2]{y}

Du sprichst: „Der Logarithmus von \col[3]x $\col[3]x$ zur Basis \col[1]{b} $\col[1]{b}$ ist \col[2]y $\col[2]y$ .“

Mit dem Logarithmus beantwortest du die Frage:
„Mit welcher Zahl \col[2]y $\col[2]y$ muss ich \col[1]b $\col[1]b$ potenzieren, um \col[3]x $\col[3]x$ zu erhalten?“

\boxed{\log_{\col[1]{b}}(\col[3]{x})=\col[2]{y}~\Longleftrightarrow~\col[1]{b}^\col[2]y=\col[3]x}

\boxed{\log_{\col[1]{b}}(\col[3]{x})=\col[2]{y}~\Longleftrightarrow~\col[1]{b}^\col[2]y=\col[3]x}

Den Logarithmus kannst du auch in eine Funktion verpacken, nämlich in der sogenannten Logarithmusfunktion oder kurz \textbf{log} $\textbf{log}$ -Funktion.

\boxed{f(x)=\log_{\col[1]{b}}(\col[3]{x})}

\boxed{f(x)=\log_{\col[1]{b}}(\col[3]{x})}

Der Funktionswert \col[2]{y}=\log_{\col[1]b}(\col[3]{x}) $\col[2]{y}=\log_{\col[1]b}(\col[3]{x})$ gibt also den Wert an, mit dem du \col[1]b $\col[1]b$ potenzieren musst, um \col[3]x $\col[3]x$ zu erhalten.

\boxed{\col[2]y=\log_{\col[1]{b}}(\col[3]{x})~\Longleftrightarrow~\col[3]x=\col[1]{b}^\col[2]y}

\boxed{\col[2]y=\log_{\col[1]{b}}(\col[3]{x})~\Longleftrightarrow~\col[3]x=\col[1]{b}^\col[2]y}

Funktionsgleichung Logarithmusfunktion

Allgemeine Logarithmusfunktion

Die allgemeine Logarithmusfunktion hat die Form:

f(x)=\log_{\col[1]b}(\col[3]x)

f(x)=\log_{\col[1]b}(\col[3]x)

Dabei sind \col[3]x $\col[3]x$ und \col[1]b $\col[1]b$ immer positiv und die Basis \col[1]b $\col[1]b$ darf außerdem nicht 1 $1$ sein.

Eigenschaften Logarithmusfunktion

Funktionsgraph Logarithmusfunktion

Der Graph der Logarithmusfunktion verläuft immer streng monoton.
Das heißt, er ist im gesamten Definitionsbereich abhängig von der Basis \col[1]b $\col[1]b$ entweder streng monoton steigend oder streng monoton fallend.

f(x)=\log_2(x) $f(x)=\log_2(x)$ verläuft beispielsweise wie folgt:

Eigenschaft

Funktion

Monotonie

Definitions- & Wertebereich Logarithmusfunktion

Am Graphen kannst du bereits den Definitions- und Wertebereich erkennen.

Definitionsbereich

Im Argument einer Logarithmusfunktion darf niemals eine negative Zahl oder eine 0 $0$ stehen. Das ist mathematisch verboten.

Der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion

f(x)=\log_b(\underbrace{x}_{\textsf{Argument}})

f(x)=\log_b(\underbrace{x}_{\textsf{Argument}})

lautet

\boxed{\mathbb{D}=\R^+}

\boxed{\mathbb{D}=\R^+}

Eigenschaft

Funktion

Definitionsbereich

Achtung: Verschiebst du die Logarithmusfunktion, dann ändert sich auch der Definitionsbereich. Berechne in diesem Fall einfach, für welche Werte von x $x$ gilt: \textsf{Argument}>0 $\textsf{Argument}>0$ .

Wertebereich

Die \log $\log$ -Funktion verläuft für sehr kleine x $x$ -Werte gegen - \infty $- \infty$ . Für immer größer werdende x $x$ -Werte wird der Funktionswert auch immer größer.

\begin{aligned} &\lim_{x \to 0^+} &\log_b(x) &= -\infty \\ &\lim_{x \to +\infty} &\log_b(x) & = +\infty \end{aligned}

\begin{aligned} &\lim_{x \to 0^+} &\log_b(x) &= -\infty \\ &\lim_{x \to +\infty} &\log_b(x) & = +\infty \end{aligned}

Der Wertebereich der Logarithmusfunktion ist

\boxed{\mathbb{W} = \R}

\boxed{\mathbb{W} = \R}

Eigenschaft

Funktion

Wertebereich

Nullstellen Logarithmusfunktion

Die Logarithmusfunktion ist unabhängig von der Basis immer dann 0 $0$ , wenn das Argument des Logarithmus gleich 1 $1$ ist.

Eigenschaft

Funktion

Nullstelle

Für die Nullstelle der allgemeinen Logarithmusfunktion gilt:

0=\log_{b}(\underbrace{\col[3]{x}}_{\textsf{Argument}})

0=\log_{b}(\underbrace{\col[3]{x}}_{\textsf{Argument}})

genau dann, wenn \col[3]x=\col[3]1 $\col[3]x=\col[3]1$ .

Achtung: Verschiebst du die Logarithmusfunktion, dann ändert sich auch die Nullstelle.

Parameter Logarithmusfunktion

Die Logarithmusfunktion hat einen Parameter, nämlich das \col[1]b $\col[1]b$ in der Basis.

\col[1]b $\col[1]b$ muss immer positiv sein und darf zudem nicht 1 $1$ sein.

Dass \col[1]b\neq1 $\col[1]b\neq1$ sein muss, kannst du dir auch logisch herleiten.
Der Funktionswert \col[2]{y}=\log_{\col[1]b}(\col[3]{x}) $\col[2]{y}=\log_{\col[1]b}(\col[3]{x})$ gibt ja den Wert an, mit dem du \col[1]b $\col[1]b$ potenzieren musst, um \col[3]x $\col[3]x$ zu erhalten.

Wäre \col[1]b=\col[1]1 $\col[1]b=\col[1]1$ , dann würdest du \col[1]1 $\col[1]1$ potenzieren. \col[1]1 $\col[1]1$ hoch jede Zahl ist immer \col[3]1 $\col[3]1$ (\col[1]1^\col[2]1=\col[1]1^\col[2]2=\col[1]1^\col[2]3=...=\col[1]1^\col[2]n=\col[3]1) $(\col[1]1^\col[2]1=\col[1]1^\col[2]2=\col[1]1^\col[2]3=...=\col[1]1^\col[2]n=\col[3]1)$ . Du hättest also unendliche viele Möglichkeiten für \col[2]y $\col[2]y$ , die aber alle nur \col[3]x=\col[3]1 $\col[3]x=\col[3]1$ ergeben. Das macht keinen Sinn und würde als Graph nur eine senkrechte Gerade ergeben.

Graph der Logarithmusfunktion mit Basis 1, die eine Senkrechte bei x=1 ist.

Fall 1: \large{\col[1]b>1} $\large{\col[1]b>1}$

Sind die Werte von \col[1]b $\col[1]b$ größer als 1 $1$ , dann verläuft der Funktionsgraph streng monoton steigend.
Je größer dabei \col[1]b $\col[1]b$ ist, desto steiler steigt der Graph vor der Nullstelle und desto näher verläuft er an der x $x$ -Achse nach der Nullstelle.

Graphen der Logarithmusfunktionen mit Basis 4, 2 und 1,5 in einem Koordinatensystem.

Fall 2: \large{\col[1]b<1} $\large{\col[1]b<1}$

Sind die Werte von \col[1]b $\col[1]b$ kleiner als 1 $1$ , dann verläuft der Funktionsgraph streng monoton fallend.
Je kleiner dabei \col[1]b $\col[1]b$ ist, desto steiler fällt der Graph vor der Nullstelle und deshto näher verläuft er an der x $x$ -Achse nach der Nullstelle.

Graphen der Logarithmusfunktionen mit Basis 02, 0,75 und 0,9, die alle in einem Koordinatensystem sind.

Verschiebung Logarithmusfunktion

Du verschiebst die Logarithmusfunktion genau wie alle anderen Funktionstypen durch Ergänzung zweier Parameter.

f(x)=\log_b(x+\col[5]c)+\col[6]d

f(x)=\log_b(x+\col[5]c)+\col[6]d

Verschiebung in \large{x} $\large{x}$ -Richtung

Hierfür benötigst du den Paramter \col[5]c $\col[5]c$ .

Für \col[5]c>0 $\col[5]c>0$ verschiebst du den Graphen um \col[5]c $\col[5]c$ nach links.
Für \col[5]c<0 $\col[5]c<0$ verschiebst du den Graphen um \col[5]c $\col[5]c$ nach rechts.

In x-Richtung verschieben

Verschiebung in \large{y} $\large{y}$ -Richtung

Hierfür benötigst du den Paramter \col[6]d $\col[6]d$ .

Für \col[6]d>0 $\col[6]d>0$ verschiebst du den Graphen um \col[6]d $\col[6]d$ nach oben.
Für \col[6]d<0 $\col[6]d<0$ verschiebst du den Graphen um \col[6]d $\col[6]d$ nach unten.

In y-Richtung verschieben

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Umkehrfunktion Logarithmusfunktion

Die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion f(x)=\log_\col[1]b(x) $f(x)=\log_\col[1]b(x)$ ist die Exponentialfunktion. Sie lautet im allgemeinen Fall folgendermaßen:

\boxed{ f^{-1}(x)=\col[1]b^x}

\boxed{ f^{-1}(x)=\col[1]b^x}

Umkehrung nicht verschobener Logarithmusfunktionen

Die **Basis** \col[1]b $\col[1]b$ der Logarithmusfunktion ist auch die Basis der Exponentialfunktion.

Das **Argument** der Logarithmusfunktion wandert in den Exponenten der Exponentialfunktion.

\begin{aligned} f(x)&=\log_\col[1]3(\col[3]{x})\\[2mm] f^{-1}(x)&=\col[1]3^{\col[3]{x}} \end{aligned}

\begin{aligned} f(x)&=\log_\col[1]3(\col[3]{x})\\[2mm] f^{-1}(x)&=\col[1]3^{\col[3]{x}} \end{aligned}

Umkehrung verschobener Logarithmusfunktionen

Gehe in zwei Schritten vor.

\fcolorbox{white}{grey}{1} $\fcolorbox{white}{grey}{1}$ Auflösen der Funktion nach x $x$

Wende hier Logarithmusgesetze an!

\fcolorbox{white}{grey}{2} $\fcolorbox{white}{grey}{2}$ Vertauschen von x $x$ und y $y$

Beispiel:

Bestimme die Umkehrfunktion von f(x)=\log_5(x+1)-2 $f(x)=\log_5(x+1)-2$ .

\fcolorbox{white}{grey}{1} $\fcolorbox{white}{grey}{1}$ Auflösen der Funktion nach x $x$

\begin{aligned} y&=\log_5(x+1)-2 \qquad&&\mid+2\\[2mm] y+2&=\log_5(x+1)&&\mid{5^{\square}}\\[2mm] 5^{y+2}&=5^{\log_5(x+1)}\\[2mm] 5^{y+2}&=x+1&&\mid-1\\[2mm] 5^{y+2}-1&=x \end{aligned}

\begin{aligned} y&=\log_5(x+1)-2 \qquad&&\mid+2\\[2mm] y+2&=\log_5(x+1)&&\mid{5^{\square}}\\[2mm] 5^{y+2}&=5^{\log_5(x+1)}\\[2mm] 5^{y+2}&=x+1&&\mid-1\\[2mm] 5^{y+2}-1&=x \end{aligned}

\fcolorbox{white}{grey}{2} $\fcolorbox{white}{grey}{2}$ Vertauschen von x $x$ und y $y$

\implies f^{-1}(x)=5^{x+2}-1

\implies f^{-1}(x)=5^{x+2}-1

Den Graph der Umkehrfunktion sämtlicher Logarithmusfunktionen zeichnest du durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden y=x $y=x$ .

Eigenschaft

Funktion

Umkehrfunktion

Spezialfall natürliche Logarithmusfunktion

Die natürliche Logarithmusfunktion ist eine der wichtigsten Funktionen der Oberstufe.

Sie ist nichts anders als die Logarithmusfunktion zur Basis \col[1]\e $\col[1]\e$ . Und \col[1]\e $\col[1]\e$ ist wie du weißt auch nur eine Zahl, die ungefähr 2,72 $2,72$ ist.

f(x)=\log_\col[1]\e(x)

f(x)=\log_\col[1]\e(x)

Damit man nicht immer \log_\col[1]\e $\log_\col[1]\e$ schreiben muss, wurde eine Abkürzung eingeführt. Schreibe statt \log_\col[1]\e $\log_\col[1]\e$ einfach nur \ln $\ln$ .
\ln $\ln$ steht dabei für Logarithmus naturalis und das bedeute einfach „natürlicher Logarithmus“.

\boxed{f(x)=\ln(x)}

\boxed{f(x)=\ln(x)}

Du Umkehrfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion ist die natürliche Exponentialfunktion.

f^{-1}(x)=\col[1]\e^x

f^{-1}(x)=\col[1]\e^x

Rechenregeln Logarithmusfunktion

Bei Logarithmusfunktionen können dir die Logarithmusgesetze helfen.

Auflösen

b^{\log_b(x)}=x

b^{\log_b(x)}=x

Multiplizieren

\begin{aligned} \log_b(x\cdot y)&=\log_b(x)+\log_b(y) \end{aligned}

\begin{aligned} \log_b(x\cdot y)&=\log_b(x)+\log_b(y) \end{aligned}

Dividieren

\log_b\left(\frac{x}{y}\right)=\log_b(x)-\log_b(y)

\log_b\left(\frac{x}{y}\right)=\log_b(x)-\log_b(y)

Potenzieren

\log_b(x)^n=n\cdot\log_b(x)

\log_b(x)^n=n\cdot\log_b(x)

Radizieren

\log_b\sqrt[n]{x^m}=\frac{m}{n}\cdot\log_b(x)

\log_b\sqrt[n]{x^m}=\frac{m}{n}\cdot\log_b(x)

Beispiele Logarithmusfunktion

Aufgabe

Gegeben ist folgende Funktion:

f(x)=\log_3(x+1)+2

f(x)=\log_3(x+1)+2

a) Bestimme den Definitions- und Wertebereich.

b) Lies aus den Parametern die Verschiebung gegenüber der allgemeinen Logarithmusfunktion g(x)=\log_3(x) $g(x)=\log_3(x)$ ab.

c) Bestimme die Umkehrfunktion.

d) Zeichne den Funtionsgraphen von g(x) $g(x)$ .

Lösung

a) Definitions- & Wertebereich

Wertebereich:

Der Wertebereich von Logarithmusfunktionen ist immer \boxed{\mathbb{W}=\R} $\boxed{\mathbb{W}=\R}$ .

Definitionsbereich:

Den Definitionsbereich bestimmst du durch das Argument. Dieses muss größer als 0 $0$ sein.

f(x)=\log_3(\underbrace{x+1}_{\textsf{Argument}})+2

f(x)=\log_3(\underbrace{x+1}_{\textsf{Argument}})+2

Du musst also nur folgende Ungleichung lösen:

\begin{aligned} x+1&>0\quad\mid-1\\ x&>-1 \end{aligned}

\begin{aligned} x+1&>0\quad\mid-1\\ x&>-1 \end{aligned}

\implies $\implies$ Der Definitionsbereich umfasst also alle reellen Zahlen, die größer als -1 $-1$ sind. Mathematisch schreibst du das so: \boxed{\mathbb{D}=\{x\in\R\mid x>-1\}} $\boxed{\mathbb{D}=\{x\in\R\mid x>-1\}}$

Hinweis: Der senkrechte Strich in der Definitionsmenge bedeutet „unter der Bedingung“. Hier also: x $x$ ist Element der reellen Zahlen unter der Bedingung, dass x $x$ größer ist als -1 $-1$ .

b) Verschiebung

f(x)=\log_3(x+\col[5]1)+\col[6]2

f(x)=\log_3(x+\col[5]1)+\col[6]2

Es wurden zwei Parameter addiert.

Die +\col[5]{1} $+\col[5]{1}$ erzeugt eine Verschiebung nach links.
Die +\col[6]2 $+\col[6]2$ erzeugt eine Verschiebung nach oben.

c) Umkehrfunktion

\fcolorbox{white}{grey}{1} $\fcolorbox{white}{grey}{1}$ Auflösen der Funktion nach x $x$

\begin{aligned} y&=\log_3(x+1)+2\qquad&&\mid-2\\[2mm] y-2&=\log_3(x+1)&&\mid{3^{\square}}\\[2mm] 3^{y-2}&=3^{\log_3(x+1)}\\[2mm] 3^{y-2}&=x+1&&\mid-1\\[2mm] 3^{y-2}-1&=x \end{aligned}

\begin{aligned} y&=\log_3(x+1)+2\qquad&&\mid-2\\[2mm] y-2&=\log_3(x+1)&&\mid{3^{\square}}\\[2mm] 3^{y-2}&=3^{\log_3(x+1)}\\[2mm] 3^{y-2}&=x+1&&\mid-1\\[2mm] 3^{y-2}-1&=x \end{aligned}

\fcolorbox{white}{grey}{2} $\fcolorbox{white}{grey}{2}$ Vertauschen von x $x$ und y $y$

\lsg{g^{-1}(x)=3^{x-2}-1}

\lsg{g^{-1}(x)=3^{x-2}-1}

d) Funktionsgraph

Am besten erstellst du dir zuerst eine Wertetabelle. Anschließend wählst du die richtige Einteilung, überträgst die Punkte in das Koordinatensystem und verbindest sie zu einem Funktionsgraphen.

x $x$	f(x) $f(x)$
0 $0$	2 $2$
1 $1$	2,63 $2,63$
2 $2$	3 $3$
3 $3$	3,26 $3,26$
4 $4$	3,46 $3,46$
5 $5$	3,63 $3,63$
6 $6$	3,77 $3,77$

Graph der Funktion, mit der gerade gearbeitet wurde.

Tipp: Hast du wie hier vorher schon andere Eigenschaften der Funktion bestimmt, dann überprüfe sie in deiner Zeichnung.

Zusammenfassung Logarithmusfunktion

Funktionsgleichung	f(x)=\log_\col[1]b(x) $f(x)=\log_\col[1]b(x)$
Funktionsgraph	streng monoton steigend (\col[1]b>1) $(\col[1]b>1)$ streng monoton fallend (\col[1]b<1) $(\col[1]b<1)$
Definitionsbereich	\mathbb{D}=\R^+ $\mathbb{D}=\R^+$ Bei Verschiebung \textsf{Argument}>0 $\textsf{Argument}>0$
Wertebereich	\mathbb{W}=\R $\mathbb{W}=\R$
Nullstelle	Bei x=1 $x=1$ solange der Funktionsgraph nicht verschoben wird.
Verschiebung	In x $x$ -Richtung: f(x)=\log_b(x+\col[5]c) $f(x)=\log_b(x+\col[5]c)$ In y $y$ -Richtung: f(x)=\log_b(x)+\col[6]d $f(x)=\log_b(x)+\col[6]d$
Umkehrfunktion	Exponentialfunktion f^{-1}(x)=\col[1]b^x $f^{-1}(x)=\col[1]b^x$
natürliche Logarithmusfunktion	Spezialfall der Logarithmusfunktion mit der Basis \col[1]{\e} $\col[1]{\e}$ . f(x)=\ln(x) $f(x)=\ln(x)$

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