Top-Themen

Thank you! Your submission has been received!

Oops! Something went wrong while submitting the form.

Wurzelfunktionen Grundlagen

Die Wurzelfunktionen sind ein wichtiger Bestandteil der Analysis und werden dir beim Arbeiten mit Funktionen immer wieder über den Weg laufen. Wurzelfunktionen sind wie der Name schon sagt Funktionen, die Wurzeln in ihrer Funktionsgleichung beinhalten.

Aber wie wird eine Wurzelfunktion dargestellt? Was sind die Eigenschaften von Wurzelfunktionen? Wie werden Wurzelfunktionen verwendet, um Probleme zu lösen?

Mit simpleclubs Hilfe kannst du am Ende alle diese Fragen beantworten. Wir helfen dir dabei, dass Konzept der Wurzelfunktionen zu verstehen.

Wurzelfunktionen einfach erklärt

Eine Wurzelfunktion kannst du dir auch als die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion vorstellen. Während die Potenzfunktion f(x)=x^2 $f(x)=x^2$ eine Zahl quadriert, gibt die Umkehrung der Potenzfunktion g(x)= \sqrt[2]{x} $g(x)= \sqrt[2]{x}$ die zweite Wurzel einer Zahl an.

Du kannst allerdings anstatt der 2 $2$ auch jede beliebige andere Zahl oberhalb (in den Wurzelexponent) der Wurzel schreiben und damit die n $n$ -te Wurzel der Zahl x $x$ ziehen h(x)= \sqrt[n]{x} $h(x)= \sqrt[n]{x}$ .

Die Wurzelfunktion verläuft für alle ihre x $x$ -Werte streng monoton steigend und nähert sich für sehr hohe x $x$ -Werte gegen \infty $\infty$ an.

Die Wurzelfunktionen können wir genau wie ganzrationale Funktionen in x $x$ - oder y $y$ -Richtung verschieben und sogar strecken und stauchen. Das machst du, indem du Parameter zu der Funktion hinzuaddierst oder multiplizierst.

f(x)=a\sqrt[n]{(x+b)}+c

f(x)=a\sqrt[n]{(x+b)}+c

Mit den Potenzgesetzen kannst du eine Wurzelfunktion leicht in Exponentenschreibweise ausdrücken. Das hilft dir beim Ableiten und Integrieren.

\begin{aligned} \sqrt[n]{a}&=a^{\frac{1}{n}} \\ \sqrt[n]{a^m} &= a^{\frac{m}{n}} \end{aligned}

\begin{aligned} \sqrt[n]{a}&=a^{\frac{1}{n}} \\ \sqrt[n]{a^m} &= a^{\frac{m}{n}} \end{aligned}

Funktionsgleichung Wurzelfunktionen

Eine Wurzelfunktion ist eine Funktion, die in ihrem Funktionsterm eine Wurzel enthält. Dabei muss es sich nicht zwingend um die zweite Wurzel handeln.

f(x)= \sqrt[n]{x}=x^{\frac 1 n}

f(x)= \sqrt[n]{x}=x^{\frac 1 n}

Eigenschaften Wurzelfunktion

Definitions- & Wertebereich Wurzelfunktionen

Hier kannst du eine Unterscheidung zwischen n $n$ als geraden bzw. ungeraden Wurzelexponenten treffen.

f(x)=\sqrt[n]{x}

f(x)=\sqrt[n]{x}

Für gerade Wurzelexponenten

\begin{aligned} &\boxed{\mathbb D= \R^+_0}\\ &\boxed{\mathbb W= \R^+_0} \end{aligned}

\begin{aligned} &\boxed{\mathbb D= \R^+_0}\\ &\boxed{\mathbb W= \R^+_0} \end{aligned}

Da du in eine Quadratwurzel nur positive Werte und die 0 $0$ einsetzen darfst, ist der Definitionsbereich für f (x)= \sqrt[n]{x} $f (x)= \sqrt[n]{x}$ mit geraden n $n$ alle positiven reellen Zahlen einschließlich der 0 $0$ .

Da die Funktion f (x)= \sqrt[n]{x} $f (x)= \sqrt[n]{x}$ mit geraden n $n$ immer eine positive Zahl oder die 0 $0$ als Ergebnis liefert, besteht der Wertebereich auch aus den positiven reellen Zahlen einschließlich der 0 $0$ .

Das gilt für alle geraden Wurzelexponenten.

Für ungerade Wurzelexponenten

\begin{aligned} &\boxed{\mathbb D= \R}\\ &\boxed{\mathbb W= \R} \end{aligned}

\begin{aligned} &\boxed{\mathbb D= \R}\\ &\boxed{\mathbb W= \R} \end{aligned}

Falls du allerdings die Funktion f(x)=\sqrt[3]{x} $f(x)=\sqrt[3]{x}$ mit der dritten Wurzel betrachtest, erkennst du schnell einen Unterschied.

Die Funktion der dritten Wurzel von x verläuft ein bisschen flacher als die Funktion der zweiten Funktion. Außerdem verläuft sie auch im dritten Quadranten.

Das kommt daher, dass du bei ungerade Wurzelexponenten auch negative Zahlen als Radikand (Zahl unter der Wurzel) einsetzen kannst. Wenn du eine negative Zahl in die dritte Wurzel einsetzt, dann erhältst du ein negatives Ergebnis.

Somit erfassen der Definitions- und Wertebereich bei ungeraden Wurzelexponenten die kompletten reellen Zahlen.

Merke: Wenn du Wurzelfunktionen verschiebst, dann kann sich der Definitions- und Wertebereich ändern.

Nullstellen Wurzelfunktion

Die Wurzelfunktion hat immer eine Nullstelle bei x=0 $x=0$ im Koordinatenursprung. Denn es gilt nur f(0)= \sqrt[n]0=0 $f(0)= \sqrt[n]0=0$ , egal welche Zahl du für n $n$ einsetzt.

Merke: Falls du die Funktion durch Parameter verschiebst, dann verschiebt sich natürlich auch die Nullstelle mit.

Nullstelle auf der Wurzelfunktion markiert.

Grenzwert und Monotonie der Wurzelfunktion

Die Wurzelfunktion f(x) = \sqrt x $f(x) = \sqrt x$ verläuft im gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend.
Ihre einzige Nullstelle x=0 $x=0$ ist auch gleichzeitig der linksseitige Grenzwert mit 0=\sqrt{0} $0=\sqrt{0}$ . Wenn du immer größere x $x$ -Werte in die Funktion f(x) $f(x)$ einsetzt, so wird auch f(x) $f(x)$ immer größer. Es gilt also

\lim_{x \to\infty} f(x)=\lim_{x \to\infty} \sqrt x =\infty

\lim_{x \to\infty} f(x)=\lim_{x \to\infty} \sqrt x =\infty

Einfluss der Parameter Wurzelfunktionen

Indem wir Parameter zur Funktion hinzuaddieren oder multiplizieren, können wir die Wurzelfunktionen beliebig verschieben und strecken.

f(x)=\col[3]a\sqrt[n]{(x+\col[2]b)}+\col[1]c

f(x)=\col[3]a\sqrt[n]{(x+\col[2]b)}+\col[1]c

Verschiebung der Wurzelfunktionen

In \large y $\large y$ -Richtung

\boxed{f(x)=\sqrt[n]{x}+\col[1]c}

\boxed{f(x)=\sqrt[n]{x}+\col[1]c}

Wenn du am Ende der Funktionsgleichung eine **Konstante** dazu addierst, dann wird der Funktionsgraph um genau diese Zahl nach oben verschoben.
Wenn du eine **Konstante** abziehst, dann entspricht das einer Verschiebung nach unten.

Verschiebe den Regler.

c-Wert

In \large x $\large x$ -Richtung

f(x+ \col[2]b)=\sqrt[n]{(x+\col[2]b)}

f(x+ \col[2]b)=\sqrt[n]{(x+\col[2]b)}

Eine Verschiebung der Wurzelfunktion in x $x$ -Richtung erhältst du, indem du das x $x$ durch x-\col[2]b $x-\col[2]b$ oder x+\col[2]b $x+\col[2]b$ ersetzt.

Um die Funktion nach rechts zu verschieben, subtrahiere \col[2]b \implies (x-\col[2]b) $\col[2]b \implies (x-\col[2]b)$ .
Um die Funktion nach links zu verschieben, addiere \col[2]b \implies (x+\col[2]b) $\col[2]b \implies (x+\col[2]b)$

Verschiebe den Regler.

b-Wert

Strecken und Stauchen der Wurzelfunktionen

\boxed{f(x)=\col[3]a\sqrt[n]{x}}

\boxed{f(x)=\col[3]a\sqrt[n]{x}}

Der Parameter \col[3]a $\col[3]a$ wird mit der Wurzel multipliziert und streckt bzw. staucht die Funktion.

Ein größeres \col[3]a $\col[3]a$ lässt die Funktion steiler ansteigen.
Ein kleineres \col[3]a $\col[3]a$ lässt die Funktion weniger steil ansteigen.

Genau wie bei ganzrationalen Funktion wird bei einem negativen \col[3]a $\col[3]a$ die Funktion an der x $x$ -Achse gespiegelt. Die Funktion verläuft dann nur noch im vierten Qaudranten anstatt im ersten.

Verschiebe den Regler.

a-Wert

Eine Arbeit steht an?

Du musst für eine Prüfung oder einen Test lernen? Mit personalisierten Lernplänen bist du gut und strukturiert vorbereitet.

Bereite dich mit Lernplänen besser auf Prüfungen vor.

Symmetrie der Wurzelfunktion

Für gerade Wurzelexponenten

Da bei geraden Wurzelexponenten \sqrt[2]x, \sqrt[4]x,\sqrt[6]x,\sqrt[8]x ... $\sqrt[2]x, \sqrt[4]x,\sqrt[6]x,\sqrt[8]x ...$ nur positve x $x$ -Werte eingesetzt werden dürfen, verlaufen diese nur im ersten Quadranten und sind damit weder punkt- noch achsensymmetrisch.

Für ungerade Wurzelexponenten

Die ungeraden Wurzelexponenten weisen als Funktion eine Punktsymmetrie durch den Koordinatenrsprung auf. Denn für alle x $x$ -Werte gilt

\boxed{f(-x)=-f(x)}

\boxed{f(-x)=-f(x)}

Das siehst du auch nochmal sehr gut an den Graphen der Funktion f(x)= \sqrt[3]x $f(x)= \sqrt[3]x$ .

Die dritte Quadratwurzel ist Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Umkehrfunktion der Wurzelfunktionen

Jede Wurzelfunktion (unabhängig vom Wurzelexponenten) ist die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion.

Es gilt

\boxed{f(x)= \sqrt [\col[6]n]x=x^\frac 1 {\col[6]n} \quad \Leftrightarrow \quad f^{-1}(x)= x^\col[6]n}

Genauso kannst du auch jede Potenzfunktion umkehren und erhältst die passende Wurzelfunktion.

Wichtig ist dabei nur, dass du den Definitionsbereich der Wurzelfunktion mit geradem Wurzelexponenten anpassen musst. Die Funktion ist, wie du ja weißt, nur in den positiven reellen Zahlen definiert, weil du negative Zahlen nicht in Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten einsetzen darfst.

Beispiel 1:

Betrachten wir die Funktion f(x)=x^2 $f(x)=x^2$ . Ihre Umkehrfunktion ist die Funktion f^{-1}(x)=\sqrt x $f^{-1}(x)=\sqrt x$ . Die Funktion f(x)=x^2 $f(x)=x^2$ hat den Definitionsbereich der reellen Zahlen \mathbb D = \R. $\mathbb D = \R.$ Die Umkehrfunktion f^{-1}(x)=\sqrt x $f^{-1}(x)=\sqrt x$ hat als ihren Definitionsbereich nur noch die positiven reellen Zahlen einschließlich der 0 $0$ , also \mathbb D = \R_0^+ . $\mathbb D = \R_0^+ .$

Die Wurzelfunktion wird an der Winkelhalbierenden gespielgelt und die quadratische Funktion ensteht.

Bei der Bildung der Umkehrfunktion gehst du immer in zwei Schritten vor.

\fcolorbox{white}{grey}{1} $\fcolorbox{white}{grey}{1}$ Auflösen der Funktion nach x $x$

\fcolorbox{white}{grey}{2} $\fcolorbox{white}{grey}{2}$ Vertauschen von x $x$ und y $y$

Beispiel 2:

Gesucht ist die Umkehrfunktion von f(x)=\frac 14\sqrt[3]{x+2} $f(x)=\frac 14\sqrt[3]{x+2}$ .

\fcolorbox{white}{grey}{1} $\fcolorbox{white}{grey}{1}$ Auflösen der Funktion nach x $x$

\begin{aligned} y&=\frac 14\sqrt[3]{x+2}\quad&&| \cdot 4\\ 4y&=\sqrt[3]{x+2}\quad&&\mid \boxed {}^3\\ (4 y)^3&=(\sqrt[3]{x+2})^3\\ 4^3 y^3&=x+2\quad&&\mid-2\\ 64 y^3&-2=x \end{aligned}

\begin{aligned} y&=\frac 14\sqrt[3]{x+2}\quad&&| \cdot 4\\ 4y&=\sqrt[3]{x+2}\quad&&\mid \boxed {}^3\\ (4 y)^3&=(\sqrt[3]{x+2})^3\\ 4^3 y^3&=x+2\quad&&\mid-2\\ 64 y^3&-2=x \end{aligned}

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Vertauschen von x $x$ und y $y$

y=64 x^3-2

y=64 x^3-2

Die Umkehrfunktion lautet also

f^{-1}(x)=64 x^3-2

f^{-1}(x)=64 x^3-2

Beispiele Wurzelfunktionen

Aufgabe

Untersuche die Funktion

f(x)= 6 \sqrt[5]{x+5}

f(x)= 6 \sqrt[5]{x+5}

Bestimme die Nullstelle.
Entscheide, ob die Funktion symmetrisch ist.
Bestimme die Umkehrfunktion f^{-1}(x) $f^{-1}(x)$ der Funktion f(x). $f(x).$

Lösung

Nullstelle berechnen

Um die Nullstelle zu berechnen, musst du die Funktion f(x)=0 $f(x)=0$ setzen und nach x $x$ auflösen.

\begin{aligned} f(x)&= 0\\[2mm] 0&=6 \sqrt[5]{x+5} \end{aligned}

\begin{aligned} f(x)&= 0\\[2mm] 0&=6 \sqrt[5]{x+5} \end{aligned}

Her musst du nur noch den Teil unterhalb der Wurzel (auch Radikand) betrachten. Wenn nämlich der Radikand gleich 0 $0$ ist, dann ist das ganze Produkt gleich 0 $0$ .

\begin{aligned} 0=&x+5\quad| -5\\ x=&\lsg{-5} \end{aligned}

\begin{aligned} 0=&x+5\quad| -5\\ x=&\lsg{-5} \end{aligned}

Die Nullstelle liegt bei (-5|0) $(-5|0)$ .

Symmetrie bestimmen

Da die Funktion einen **ungeraden** Wurzelexponenten hat

f(x)= 6 \sqrt[\col[4]5]{x\col[5]{+5}}

ist die Funktion punktsymmetrisch.

Da die Funktion durch die \col[5]{+5} $\col[5]{+5}$ im Radikand um 5 $5$ Längeneinheiten in die negative x $x$ -Richtung verschoben ist, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Punkt (-5|0) $(-5|0)$ .

Umkehrfunktion bilden

Bei der Bildung der Umkehrfunktion gehst du immer in zwei Schritten vor.

\fcolorbox{white}{grey}{1} $\fcolorbox{white}{grey}{1}$ Auflösen der Funktion nach x $x$

\begin{aligned} y&=6 \sqrt[5]{x+5}\quad &&|\cdot \frac 1 6 \\[2mm] \frac 16 y&= \sqrt[5]{x+5}\quad &&|\ \boxed{}^5 \\[2mm] &\left(\frac 16 y\right)^5= \left(\sqrt[5]{x+5}\right)^5\quad \\[2mm] \left(\frac 16\right)^5 y^5&= x+5 \\[2mm] \frac 1{7776} \cdot y^5&= x+5\quad &&|-5 \\[2mm] \frac 1{7776} \cdot y^5-5&= x \end{aligned}

\begin{aligned} y&=6 \sqrt[5]{x+5}\quad &&|\cdot \frac 1 6 \\[2mm] \frac 16 y&= \sqrt[5]{x+5}\quad &&|\ \boxed{}^5 \\[2mm] &\left(\frac 16 y\right)^5= \left(\sqrt[5]{x+5}\right)^5\quad \\[2mm] \left(\frac 16\right)^5 y^5&= x+5 \\[2mm] \frac 1{7776} \cdot y^5&= x+5\quad &&|-5 \\[2mm] \frac 1{7776} \cdot y^5-5&= x \end{aligned}

\fcolorbox{white}{grey}{2} $\fcolorbox{white}{grey}{2}$ Vertauschen von x $x$ und y $y$

y=\frac 1{7776} \cdot x^5-5

y=\frac 1{7776} \cdot x^5-5

Die Umkehrfunktion lautet

f^{-1}(x)=\frac 1{7776} \cdot x^5-5

f^{-1}(x)=\frac 1{7776} \cdot x^5-5

Zusammenfassung Wurzelfunktionen

Definitionsbereich	Für gerade Wurzelexponenten \quad \boxed{\mathbb D = \R^+_0 } $\quad \boxed{\mathbb D = \R^+_0 }$ Für ungerade Wurzelexponenten \quad \boxed{\mathbb D = \R} $\quad \boxed{\mathbb D = \R}$
Wertebereich	Für gerade Wurzelexponenten \quad \boxed{\mathbb W = \R^+_0 } $\quad \boxed{\mathbb W = \R^+_0 }$ Für ungerade Wurzelexponenten \quad \boxed{\mathbb W = \R } $\quad \boxed{\mathbb W = \R }$
Nullstellen	Einzige Nullstelle liegt im Koordinatenursprung (0\mid0) $(0\mid0)$
Monotonie	Streng monoton steigend
Verschiebung der Funktion	In x $x$ -Richtung \quad f(x+\col[2]b)=\sqrt[n] {x+\col[2]b} $\quad f(x+\col[2]b)=\sqrt[n] {x+\col[2]b}$ In y $y$ -Richtung \quad f(x)= \sqrt[n]{x}+\col[3]c $\quad f(x)= \sqrt[n]{x}+\col[3]c$
Strecken/Stauchen der Funktion	f(x)= \col[1]a\sqrt[n]x $f(x)= \col[1]a\sqrt[n]x$
Umkehrfunktion	Potenzfunktionen sind Umkehrfunktionen der Wurzelfunktionen \fcolorbox{white}{grey}{1} $\fcolorbox{white}{grey}{1}$ Auflösen der Funktion nach x $x$ \fcolorbox{white}{grey}{2} $\fcolorbox{white}{grey}{2}$ Vertauschen von x $x$ und y $y$

No items found.

simpleclub ist am besten in der App.

Mit unserer App hast du immer und überall Zugriff auf: Lernvideos, Erklärungen mit interaktiven Animationen, Übungsaufgaben, Karteikarten, individuelle Lernpläne uvm.

Web-Version

Top-Themen

Get the best learning hacks!

Wurzelfunktionen Grundlagen