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Quadratische Gleichungen - Parameterform, Nullstellenform, Scheitelform

Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform ist eine Form einer Quadratischen Funktion, bei der du den Scheitelpunkt S direkt ablesen kannst.

f(x)=a(x+\textcolor{sc_color_5} {d})^2+\textcolor{sc_color_4} {e}

f(x)=a(x+\textcolor{#A86500} {d})^2+\textcolor{#00856C} {e}

\implies S~(\textcolor{sc_color_5} {-d};\textcolor{sc_color_4} {e})

\implies S~(\textcolor{#A86500} {-d};\textcolor{#00856C} {e})

Graphische Bedeutung

Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel.

Er beschreibt damit auch das Maximum oder das Minimum der jeweiligen Quadratischen Funktion.

Auf der Grafik siehst du die zwei Varianten für einen Scheitelpunkt, einmal Minimum und einmal Maximum.

Von der Allgemeinen Form zur Scheitelpunktform

Für diese Umwandlung benötigst du die Quadratische Ergänzung.

Schritt 1: Zahl vor x² aus x² und x ausklammern.

Schritt 2: Quadratische Ergänzung durchführen.

Schritt 3: Negativen Term ausmultiplizieren.

Schritt 4: Binomische Formel anwenden.

Von der Scheitelpunktform zur Allgemeinen Form

Für diese Umwandlung löst du zunächst die binomische Formel auf und fasst die Funktion dann zur Allgemeinen Form zusammen.

Beispiele

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Von der Allgemeinen Form zur Scheitelpunktform

Erstes Beispiel

Forme die Funktion f(x) in die Scheitelpunktform um!

f(x)=3x^2+6x+7

f(x)=3x^2+6x+7

Schritt 1: Zahl vor x² aus x² und x ausklammern.

f(x)=3\cdot(x^2+2x)+7

f(x)=3\cdot(x^2+2x)+7

Schritt 2: Quadratische Ergänzung durchführen.

f(x)=3\cdot(x^2+2x+(\frac{2}{2})^2-(\frac{2}{2})^2)+7 \\ = 3\cdot(x^2+2x+1-1)+7

f(x)=3\cdot(x^2+2x+(\frac{2}{2})^2-(\frac{2}{2})^2)+7 \\ = 3\cdot(x^2+2x+1-1)+7

Schritt 3: Negativen Term ausmultiplizieren.

f(x)= 3\cdot(x^2+2x+1-1)+7 \\ =3\cdot(x^2+2x+1)+7+3\cdot(-1) \\ =3\cdot(x^2+2x+1)+7-3

f(x)= 3\cdot(x^2+2x+1-1)+7 \\ =3\cdot(x^2+2x+1)+7+3\cdot(-1) \\ =3\cdot(x^2+2x+1)+7-3

Schritt 4: Binomische Formel anwenden.

f(x)=3\cdot(x^2+2x+1)+4 \\ = \underline{\underline{3\cdot(x+1)^2+4}}

f(x)=3\cdot(x^2+2x+1)+4 \\ = \underline{\underline{3\cdot(x+1)^2+4}}

Für den Scheitelpunkt ergibt sich demzufolge:

\implies \underline{\underline{S~(-1;4)}}

\implies \underline{\underline{S~(-1;4)}}

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Zweites Beispiel

Forme die Funktion f(x) in die Scheitelpunktform um!

f(x)=-2x^2+8x+3

f(x)=-2x^2+8x+3

Schritt 1: Zahl vor x² aus x² und x ausklammern.

f(x)=-2(x^2-4x)+3

f(x)=-2(x^2-4x)+3

Schritt 2: Quadratische Ergänzung durchführen.

f(x)=-2(x^2-4x+(\frac{4}{2})^2-(\frac{4}{2})^2)+3 \\ =-2(x^2-4x+4-4)+3

f(x)=-2(x^2-4x+(\frac{4}{2})^2-(\frac{4}{2})^2)+3 \\ =-2(x^2-4x+4-4)+3

Schritt 3: Negativen Term ausmultiplizieren.

f(x)=-2(x^2-4x+4)-2\cdot(-4)+3 \\ =-2(x^2-4x+4)+8+3

f(x)=-2(x^2-4x+4)-2\cdot(-4)+3 \\ =-2(x^2-4x+4)+8+3

Schritt 4: Binomische Formel anwenden.

f(x)=-2(x^2-4x+4)+11 \\ \underline{\underline{=-2(x-2)^2+11}}

f(x)=-2(x^2-4x+4)+11 \\ \underline{\underline{=-2(x-2)^2+11}}

Für den Scheitelpunkt ergibt sich demzufolge:

\implies \underline{\underline{S~(2;11)}}

\implies \underline{\underline{S~(2;11)}}

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Von der Scheitelpunktform zur Allgemeinen Form

Forme die Funktion f(x) in die Allgemeine Form um!

f(x)=4(x-3)^2+4

f(x)=4(x-3)^2+4

\Leftrightarrow 4(x^2-6x+9)+4 \\ \Leftrightarrow 4x^2-24x+36+4 \\ \Leftrightarrow 4x^2-24x+40

\Leftrightarrow 4(x^2-6x+9)+4 \\ \Leftrightarrow 4x^2-24x+36+4 \\ \Leftrightarrow 4x^2-24x+40

\implies \underline{\underline{f(x)=4x^2-24x+40}}

\implies \underline{\underline{f(x)=4x^2-24x+40}}

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