Anwendung Satzgruppe des Pythagoras

Kombiniere den Satz des Pythagoras (\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2)(a2+b2=c2)(\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2), den Höhensatz (\col[4]h^2=\col[5]p\cdot\col[5]q)(h2=pq)(\col[4]h^2=\col[5]p\cdot\col[5]q) und den Kathetensatz (\col[1]a^2=\col[5]p\cdot\col[3]c(a2=pc(\col[1]a^2=\col[5]p\cdot\col[3]c bzw. \col[2]b^2=\col[5]q\cdot\col[3]c)b2=qc)\col[2]b^2=\col[5]q\cdot\col[3]c) zur Lösung komplexer geometrischer Probleme.


Erklärung

Die Satzgruppe des Pythagoras besteht aus drei Sätzen:

  • Satz des Pythagoras

  • Höhensatz des Euklid

  • Kathetensatz des Euklid

Manche geometrischen Probleme kannst du nicht nur mit einem Satz alleine lösen, sondern nur durch eine Kombination der Sätze.

Um beispielsweise die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, ist es ab und zu notwendig, zuerst eine Seitenlänge mit dem Satz des Pythagoras oder den Kathetensatz zu berechnen.

Wenn du eine Länge berechnen sollst, überlege also immer:

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Über welchen Satz kann ich die gesuchte Länge berechnen?

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Kenne ich bereits alle benötigten Längen oder muss ich erst noch welche berechnen?

\fcolorbox{white}{grey}{3.}3.\fcolorbox{white}{grey}{3.} Mit welchen Sätzen kann ich die fehlenden Längen berechnen?

Nach diesen drei Überlegungen und Berechnungen kommt der letzte Schritt.

\fcolorbox{white}{grey}{4.}4.\fcolorbox{white}{grey}{4.} Berechne die gesuchte Seitenlänge!

Wiederholung

Satz des Pythagoras

Satz des Pythagoras

In rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten \col[1]{a}a\col[1]{a} und \col[2]bb\col[2]b und der Hypotenuse \col[3]cc\col[3]c gilt:

\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2a2+b2=c2\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2
Klicke auf die Button und verschiebe den Regler.
Dreieck
Quadrate
Formel

Höhensatz des Euklid

Höhensatz des Euklid

In rechtwinkligen Dreiecken mit der Höhe \col[4]hh\col[4]h und den Hypotenusenabschnitten \col[5]pp\col[5]p und \col[5]qq\col[5]q gilt:

\col[4]h^2=\col[5]p\cdot\col[5]qh2=pq\col[4]h^2=\col[5]p\cdot\col[5]q
Bewege den Schiebregler

Kathetensatz des Euklid

Kathetensatz des Euklid

In rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten \col[1]aa\col[1]a und \col[2]bb\col[2]b, der Hypotenuse \col[3]cc\col[3]c und den Hypotenusenabschnitten \col[5]pp\col[5]p und \col[5]qq\col[5]q gilt:

\begin{aligned} \col[1]a^2&=\col[5]p\cdot\col[3]c\\ \col[2]b^2&=\col[5]q\cdot\col[3]c \end{aligned}a2=pcb2=qc\begin{aligned} \col[1]a^2&=\col[5]p\cdot\col[3]c\\ \col[2]b^2&=\col[5]q\cdot\col[3]c \end{aligned}
Bewege den Schiebregler

Beispiel

Aufgabe

Gegeben ist folgendes rechtwinkliges Dreieck:

Rechhtwinkliges Dreieck mit Höhe 6 Zentimeter und Hypotenusenabschnitt p 18 Zentimeter.

Berechne die Länge der Seite \col[2]bb\col[2]b.

Lösung

Gehe wie oben beschrieben schrittweise vor:

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Über welchen Satz kann ich die gesuchte Seitenlänge berechnen?

Die Seite \col[2]bb\col[2]b ist eine Kathete. Zur Berechnung hast du zwei Möglichkeiten:

  • Satz des Pythagoras \boxed{\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2}a2+b2=c2\boxed{\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2}
  • Kathetensatz \boxed{\col[2]b^2=\col[5]q\cdot\col[3]c}b2=qc\boxed{\col[2]b^2=\col[5]q\cdot\col[3]c}

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Kenne ich bereits alle benötigten Seitenlängen oder muss ich erst noch welche berechnen?

\boxed{\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2}a2+b2=c2\boxed{\col[1]a^2+\col[2]b^2=\col[3]c^2} \implies\implies Du musst die Länge von \col[1]aa\col[1]a und von \col[3]cc\col[3]c kennen. Beide sind unbekannt.

\boxed{\col[2]b^2=\col[5]q\cdot\col[3]c}b2=qc\boxed{\col[2]b^2=\col[5]q\cdot\col[3]c} \implies\implies Du musst die Länge von \col[5]qq\col[5]q und von \col[3]cc\col[3]c kennen. Beide sind unbekannt.

\fcolorbox{white}{grey}{3.}3.\fcolorbox{white}{grey}{3.} Mit welchen Sätzen kann ich die fehlenden Seitenlängen berechnen?

Du hast die Höhe \col[4]{h=6}\text{ cm}h=6 cm\col[4]{h=6}\text{ cm} gegeben. Der Höhensatz lautet \boxed{\col[4]h^2=\col[5]p\cdot\col[5]q}.h2=pq.\boxed{\col[4]h^2=\col[5]p\cdot\col[5]q}. Da du außerdem \col[5]{p=18}\text{ cm}p=18 cm\col[5]{p=18}\text{ cm} kennst, kannst du über den Höhensatz \col[5]qq\col[5]q berechnen.

Hinweis: Zur besseren Übersichtlichkeit lassen wir die Einheiten in der Rechnung weg.

\begin{aligned} \col[4]h^2&=\col[5]p\cdot\col[5]q\\ \col[4]6^2&=\col[5]{18}\cdot\col[5]q\\ 36&=\col[5]{18}\cdot\col[5]q\qquad\mid:18\\ \col[5]2&=\col[5]q \end{aligned}h2=pq62=18q36=18q:182=q\begin{aligned} \col[4]h^2&=\col[5]p\cdot\col[5]q\\ \col[4]6^2&=\col[5]{18}\cdot\col[5]q\\ 36&=\col[5]{18}\cdot\col[5]q\qquad\mid:18\\ \col[5]2&=\col[5]q \end{aligned}

Nun verwendest du, dass sich die Hypotenuse \col[3]cc\col[3]c aus den beiden Hypotenusenabschnitten \col[5]pp\col[5]p und \col[5]qq\col[5]q zusammensetzt.

\begin{aligned} \col[3]c&=\col[5]p+\col[5]q\\ \col[3]c&=\col[5]{18}+\col[5]2\\ \col[3]c&=\col[3]{20} \end{aligned}c=p+qc=18+2c=20\begin{aligned} \col[3]c&=\col[5]p+\col[5]q\\ \col[3]c&=\col[5]{18}+\col[5]2\\ \col[3]c&=\col[3]{20} \end{aligned}

\fcolorbox{white}{grey}{4.}4.\fcolorbox{white}{grey}{4.} Berechne die gesuchte Seitenlänge!

Jetzt hast du mit \col[3]{c=20}\text{ cm}c=20 cm\col[3]{c=20}\text{ cm} und \col[5]{q=2}\text{ cm}q=2 cm\col[5]{q=2}\text{ cm} alle Seitenlängen, die du für die Anwendung des Kathetensatzes \boxed{\col[2]b^2=\col[5]q\cdot\col[3]c}b2=qc\boxed{\col[2]b^2=\col[5]q\cdot\col[3]c} benötigst.

\begin{aligned} \col[2]b^2&=\col[5]q\cdot\col[3]c\\ \col[2]b^2&=\col[5]2\cdot\col[3]{20}\\ \col[2]b^2&=40\qquad\mid\sqrt{\square}\\ \col[2]b&=\sqrt{40}\\ \col[2]b&\approx\lsg{\col[2]{6,32}} \end{aligned}b2=qcb2=220b2=40b=40b6,32\begin{aligned} \col[2]b^2&=\col[5]q\cdot\col[3]c\\ \col[2]b^2&=\col[5]2\cdot\col[3]{20}\\ \col[2]b^2&=40\qquad\mid\sqrt{\square}\\ \col[2]b&=\sqrt{40}\\ \col[2]b&\approx\lsg{\col[2]{6,32}} \end{aligned}

Die Seite bbb hat eine Länge von etwa 6,32\text{ cm}6,32 cm6,32\text{ cm}.

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