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Potenzgleichungen

Gleichungen zu lösen kann es ganz schön in sich haben. Vor allem wenn dort super viele Buchstaben drin stehen.

Aber hattest du in der Schule auch schon Gleichungen, bei denen Potenzen vorgekommen sind? Da steht dann plötzlich über der Variable noch eine Hochzahl und es ist nicht mehr so einfach nach der Unbekannten aufzulösen.

Hier in der simpleclub-App lernst du, wie du solche Potenzgleichungen Schritt für Schritt löst und bekommst anschauliche Beispiele!

Potenzgleichungen lösen einfach erklärt

Eine Gleichung wird zur Potenzgleichung, wenn die Variable in der Gleichung eine Potenz (Hochzahl) hat.
Zum Beispiel wäre x^3=8 $x^3=8$ eine einfache Potenzgleichung.

\rarr $\rarr$ Alle reellen Zahlen, die du für x $x$ einsetzen kannst und für die die Gleichung dann stimmt, sind Lösungen der jeweiligen Potenzgleichung.

Du kannst diese Potenzgleichungen einfach durch Ausprobieren lösen oder aber du formst die Gleichung um:

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Gleichungen in Grundform bringen (hier schon der Fall)

\qquad x^4=16

\qquad x^4=16

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Radizieren (n $n$ -te Wurzel ziehen)

\begin{aligned} \quad x^3 &= 8 && \quad \mid \sqrt[3]{\square} \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x&= 2 \end{aligned}

\begin{aligned} \quad x^3 &= 8 && \quad \mid \sqrt[3]{\square} \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x&= 2 \end{aligned}

Potenzgleichungen Definition

Eine Potenzgleichung hat immer die Form

\boxed{ x^n= b } \quad \textsf{mit } ~ n \in \N

\boxed{ x^n= b } \quad \textsf{mit } ~ n \in \N

\rarr $\rarr$ Das heißt, dass die Variable x $x$ einfach eine natürlich Zahl n \geq 1 $n \geq 1$ als Potenz hat.
Außerdem steht in der Gleichung noch eine weitere reelle Zahl b $b$ .

Beispiele für Potenzgleichungen sind:

\begin{aligned} & \cdot ~~ 2x^2 =2 \\[1mm] & \cdot ~~ x^9 =-3 \\[1mm] & \cdot ~~ 5x^7-2 =11 \\[1mm] & \cdot ~~ 21x^2 =x^2+11 \end{aligned}

\begin{aligned} & \cdot ~~ 2x^2 =2 \\[1mm] & \cdot ~~ x^9 =-3 \\[1mm] & \cdot ~~ 5x^7-2 =11 \\[1mm] & \cdot ~~ 21x^2 =x^2+11 \end{aligned}

Berechnung von Potenzgleichungen

Potenzgleichungen haben je nach Art des Exponenten unterschiedliche Eigenschaften. Deswegen betrachten wir Potenzgleichungen mit geraden und ungeraden Exponenten einzeln.

Potenzgleichungen mit geraden Exponenten

Alle Potenzgleichungen, die einen geraden Exponenten haben, sehen aus wie Parabeln. Nur sind diese Parabeln mal dicker/dünner, nach oben/unten geöffnet oder nach oben/unten verschoben. Aber dennoch sehen sie alle ähnlich aus.

Hier siehst du ein paar Beispiele:

\col[1]{f(x)=x^4 -1} \\ \col[2]{ g(x)=-(x^2)+3 }

\col[1]{f(x)=x^4 -1} \\ \col[2]{ g(x)=-(x^2)+3 }

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Aufgrund ihrer graphischen Eigenschaften können Potenzgleichungen mit geradem Exponenten keine, eine oder sogar zwei Lösungen haben!

Potenzgleichungen x^n=b $x^n=b$ mit geradem Exponenten (n \in \N $n \in \N$ ) haben für b \in \R $b \in \R$ und

b<0 $b<0$ : keine Lösung.
b=0 $b=0$ : eine Lösung, nämlich x=0 $x=0$ .
b>0 $b>0$ : zwei Lösungen, nämlich x_1= \sqrt[n]{b} $x_1= \sqrt[n]{b}$ und x_2= -\sqrt[n]{b} $x_2= -\sqrt[n]{b}$ .

Beispiel mit keiner Lösung:

\begin{aligned} x^2 &= -4 && \quad \mid \sqrt{\square} \\[1mm] x &= \sqrt{-4} \quad \Large \col[3]{ \times} \end{aligned}

\begin{aligned} x^2 &= -4 && \quad \mid \sqrt{\square} \\[1mm] x &= \sqrt{-4} \quad \Large \col[3]{ \times} \end{aligned}

\rarr $\rarr$ Gerade Wurzeln (\sqrt{...},~\sqrt[4]{...},~\sqrt[6]{...},~...) $(\sqrt{...},~\sqrt[4]{...},~\sqrt[6]{...},~...)$ aus negativen Zahlen sind nicht definiert, also gibt es keine Lösung!

Beispiel mit einer Lösung:

\begin{aligned} x^6 &= 0 && \quad \mid \sqrt[6]{\square} \\[1mm] x &= \sqrt[6]{0} \\[1mm] x &= \lsg{0} \end{aligned}

\begin{aligned} x^6 &= 0 && \quad \mid \sqrt[6]{\square} \\[1mm] x &= \sqrt[6]{0} \\[1mm] x &= \lsg{0} \end{aligned}

\rarr $\rarr$ Bei der Null gibt es nur eine Lösung!

Beispiel mit zwei Lösungen:

\begin{aligned} x^4 &= 16 && \quad \mid \sqrt[4]{\square} \\[1mm] x &= \sqrt[4]{16} \\[1mm] x_1 &= \lsg{2} ~ ; ~ x_2=\lsg{-2} \end{aligned}

\begin{aligned} x^4 &= 16 && \quad \mid \sqrt[4]{\square} \\[1mm] x &= \sqrt[4]{16} \\[1mm] x_1 &= \lsg{2} ~ ; ~ x_2=\lsg{-2} \end{aligned}

\rarr $\rarr$ Achtung: Vergiss die Gegenzahl nicht, denn sowohl 2^4 = 16 $2^4 = 16$ als auch (-2)^4=16 $(-2)^4=16$ . Damit gibt es zwei Lösungen!

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Potenzgleichungen mit ungeraden Exponenten

Alle Potenzgleichungen, die einen ungeraden Exponenten haben, gehen einmal quer durch das Koordinatensystem.
\rarr $\rarr$ Das heißt, sie „kommen von oben und verlaufen nach unten“ (monoton fallend) oder sie „kommen von unten und verlaufen nach oben“ (monoton steigend).

Hier siehst du ein paar Beispiele von Potenzfunktionen:

\begin{aligned} & \col[1]{ h(x)=-(x^3)+1 } \\[1mm] & \col[2]{ k(x)=x^5+2 } \end{aligned}

\begin{aligned} & \col[1]{ h(x)=-(x^3)+1 } \\[1mm] & \col[2]{ k(x)=x^5+2 } \end{aligned}

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Aufgrund ihrer graphischen Eigenschaften können Potenzgleichungen mit ungeradem Exponenten nur eine Lösung haben!

Potenzgleichungen x^n=b $x^n=b$ mit ungeradem Exponenten haben für b \in \R $b \in \R$ und

b<0 $b<0$ : die Lösung x= \sqrt[n]{-b} $x= \sqrt[n]{-b}$ .
b=0 $b=0$ : die Lösung x=0 $x=0$ .
b>0 $b>0$ : die Lösungen x= \sqrt[n]{b} $x= \sqrt[n]{b}$ .

Beispiel:

\begin{aligned} x^3 &= -27 && \quad \mid \sqrt[3]{\square} \\ x &= \sqrt[3]{-27} \\ x&= \lsg{-3} \end{aligned}

\begin{aligned} x^3 &= -27 && \quad \mid \sqrt[3]{\square} \\ x &= \sqrt[3]{-27} \\ x&= \lsg{-3} \end{aligned}

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Ergänzte Potenzgleichungen

Solltest du einmal eine Gleichung vor dir liegen haben, die eine Potenzgleichung ist, aber nicht in der Grundform vorliegt, gehst du in zwei Schritten vor:

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Gleichung in Grundform bringen.
\rarr $\rarr$ Hier formst du die Gleichung so lange um, bis sie in der Grundform x^n = b $x^n = b$ vorliegt.

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Radizieren (n $n$ -te Wurzel ziehen)
\rarr $\rarr$ Danach musst du so wie bei den Beispielen vorher nur noch die n $n$ -te Wurzel ziehen.

Beispiel:

2x^3 -24= 30

2x^3 -24= 30

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Gleichung in Grundform bringen.

\qquad \begin{aligned} 2x^3-24 &= 30 && \quad \mid +24 \\[1mm] 2x^3 &= 54 && \quad \mid :2 \\[1mm] x^3 &= 27 \quad &&\checkmark_{\textsf{Grundform}} \end{aligned}

\qquad \begin{aligned} 2x^3-24 &= 30 && \quad \mid +24 \\[1mm] 2x^3 &= 54 && \quad \mid :2 \\[1mm] x^3 &= 27 \quad &&\checkmark_{\textsf{Grundform}} \end{aligned}

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Radizieren (n $n$ -te Wurzel ziehen)

\qquad \begin{aligned} x^3 &= 27 && \quad \mid \sqrt[3]{\square} \\ x &= \sqrt[3]{27} \\ x &= \lsg{ 3} \end{aligned}

\qquad \begin{aligned} x^3 &= 27 && \quad \mid \sqrt[3]{\square} \\ x &= \sqrt[3]{27} \\ x &= \lsg{ 3} \end{aligned}

Potenzgleichungen lösen Beispiele

Einfache Potenzgleichung lösen

Aufgabe

Löse folgende Gleichung:

x^7 +364 = 78489

x^7 +364 = 78489

Lösung

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Gleichung in Grundform bringen.

\begin{aligned} x^7 +364 & = 78489 && \quad \mid - 364 \\[1mm] x^7 &= 78125 \quad \checkmark_{\textsf{Grundform}} \end{aligned}

\begin{aligned} x^7 +364 & = 78489 && \quad \mid - 364 \\[1mm] x^7 &= 78125 \quad \checkmark_{\textsf{Grundform}} \end{aligned}

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Radizieren (n $n$ -te Wurzel ziehen)

\begin{aligned} x^7 &= 78125 && \quad \mid \sqrt[7]{\square} \\[1mm] x&= \sqrt[7]{78125} \\[1mm] x &= \lsg{5} \end{aligned}

\begin{aligned} x^7 &= 78125 && \quad \mid \sqrt[7]{\square} \\[1mm] x&= \sqrt[7]{78125} \\[1mm] x &= \lsg{5} \end{aligned}

Schwierige Potenzgleichung lösen

Aufgabe

Löse folgende Gleichung:

8 x^3= x^3 -7

8 x^3= x^3 -7

Lösung

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Gleichung in Grundform bringen.

\begin{aligned} 8 x^3&= x^3 -7 && \quad \mid -x^3 \\[1mm] 7x^3 &= -7 && \quad \mid :7 \\[1mm] x^3 &= -1 \quad \checkmark_{\textsf{Grundform}} \end{aligned}

\begin{aligned} 8 x^3&= x^3 -7 && \quad \mid -x^3 \\[1mm] 7x^3 &= -7 && \quad \mid :7 \\[1mm] x^3 &= -1 \quad \checkmark_{\textsf{Grundform}} \end{aligned}

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Radizieren (n $n$ -te Wurzel ziehen)

\begin{aligned} x^3 &= -1 && \quad \mid \sqrt[3]{\square} \\[1mm] x &= \sqrt[3]{-1} \\[1mm] x &= \lsg{-1} \end{aligned}

\begin{aligned} x^3 &= -1 && \quad \mid \sqrt[3]{\square} \\[1mm] x &= \sqrt[3]{-1} \\[1mm] x &= \lsg{-1} \end{aligned}

Sehr schwierige Potenzgleichung lösen

Aufgabe

Löse folgende Gleichung:

3(-x^3+5) = -9-6x^3

3(-x^3+5) = -9-6x^3

Lösung

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Gleichung in Grundform bringen.

\begin{aligned} 3(-x^3+5) &= -9-6x^3 && \quad \mid :3\\[1mm] -x^3+5 &= -3-2x^3 && \quad \mid +2x^3 \\[1mm] x^3+5 &= -3 && \quad \mid -5 \\[1mm] x^3&= -8 \quad \checkmark_{\textsf{Grundform}} \end{aligned}

\begin{aligned} 3(-x^3+5) &= -9-6x^3 && \quad \mid :3\\[1mm] -x^3+5 &= -3-2x^3 && \quad \mid +2x^3 \\[1mm] x^3+5 &= -3 && \quad \mid -5 \\[1mm] x^3&= -8 \quad \checkmark_{\textsf{Grundform}} \end{aligned}

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Radizieren (n $n$ -te Wurzel ziehen)

\quad \begin{aligned} x^3&= -8 && \quad \mid \sqrt[3]{\square} \\[1mm] x&= \sqrt[3]{-8}\\[1mm] x &= -2 \end{aligned}

\quad \begin{aligned} x^3&= -8 && \quad \mid \sqrt[3]{\square} \\[1mm] x&= \sqrt[3]{-8}\\[1mm] x &= -2 \end{aligned}

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Potenzgleichungen Zusammenfassung

Potenzgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variable eine Hochzahl hat.

Du löst solche Gleichungen in zwei Schritten:

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Gleichung in Grundform bringen.

\qquad x^n = b \quad \checkmark_{\textsf{Grundform}}

\qquad x^n = b \quad \checkmark_{\textsf{Grundform}}

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Radizieren (n $n$ -te Wurzel ziehen)

\qquad \begin{aligned} x^n &= b && \quad \mid \sqrt[n]{\square} \\[1mm] x&= \sqrt[n]{b} \end{aligned}

\qquad \begin{aligned} x^n &= b && \quad \mid \sqrt[n]{\square} \\[1mm] x&= \sqrt[n]{b} \end{aligned}

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