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Maßstab

Ist dir im Atlas schon mal dieser Balken in der Ecke aufgefallen?

Dieser Balken gibt dir den Maßstab an. Der Maßstab hilft dir zu erkennen, wie stark ein reales Objekt vergrößert oder verkleinert wurde.

simpleclub hilft dir zu verstehen, wie groß gezeichnete Dinge in der Wirklichkeit sind.

Maßstab einfach erklärt

Ein Maßstab ist ein Verhältnis, das angibt, wie ein Gegenstand im Vergleich zu seiner realen Größe verkleinert oder vergrößert wird.

Drei verschieden große Marienkäfer. Beim originalgroßen steht der Maßstab 1:1, beim um die Hälfte verkleinerten 1:2 und beim verdoppelten 2:1.

Im Maßstab \col[1]{1:2} $\col[1]{1:2}$ **verkleinert** bedeutet, dass der Marienkäfer im Vergleich zu seiner tatsächlichen Größe nur halb so groß dargestellt wird.
Im Maßstab \col[2]{2:1} $\col[2]{2:1}$ **vergrößert** bedeutet, dass der Marienkäfer im Vergleich zu seiner tatsächlichen Größe doppelt so groß dargestellt wird.

Maßstäbe werden verwendet, um Modelle, Pläne, Karten und andere Abbildungen zu erstellen, die ein realistisches Verhältnis der Größen wiedergeben.

Definition

Maßstab ist ein Verhältnis, das angibt, wie ein Gegenstand im Vergleich zu seiner realen Größe verkleinert oder vergrößert wird.

\col[1]{1:\textsf{x}}\rarr $\col[1]{1:\textsf{x}}\rarr$ reales Objekt wird **verkleinert** (z.B. Landkarte)
\col[2]{\textsf{x}:1}\rarr $\col[2]{\textsf{x}:1}\rarr$ reales Objekt wird **vergrößert** (z.B. Mikroskop)

Maßstab Erklärung

Der Maßstab wird mit dem Verhältnis zweier Zahlen angegeben.
Dabei entspricht die erste Zahl dem Plan und die zweite Zahl der Realität. Dazwischen ist ein Doppelpunkt.

1:5000 $1:5000$ bedeutet, dass beispielsweise 1\text{ cm} $1\text{ cm}$ in der Karte 5000 \text{ cm} $5000 \text{ cm}$ in der Realität entspricht.
20:1 $20:1$ bedeutet, dass beispielsweise 20\text{ cm} $20\text{ cm}$ in der Karte 1\text{ cm} $1\text{ cm}$ in der Realität entspricht.

Du sprichst „Eins zu Fünftausend“ und „Zwanzig zu Eins“.

Maßstab umrechnen

Meistens wird der Maßstab in einem Verhältnis zu 1 $1$ angegeben.

**Verkleinerung umrechnen**

Möchtest du aber wissen, wie viel z.B. beim Maßstab \col[1]{1:5000} $\col[1]{1:5000}$ eine Entfernung von 3\text{ cm} $3\text{ cm}$ auf der Karte in der Wirklichkeit entspricht, musst du mit einem vereinfachten Dreisatz umrechnen:

\boxed{ \begin{aligned} \begin{aligned} \\[1mm] \col[3]{\cdot3~ \big(} \quad \end{aligned} \begin{aligned} & \textsf{Plan}\\[1mm] & \quad \col[1]1 \\[1mm] & \quad {3 } \end{aligned} ~ \begin{aligned} : \\[1mm] \col[1]: \\[1mm] : \end{aligned} ~~ \begin{aligned} & \textsf{Realität}\\[1mm] & \col[1]{5000}\\[1mm] & 15000 \end{aligned} ~~~ \begin{aligned} \\[1mm] \col[3]{ \big) \cdot 3} \end{aligned} \end{aligned}}

\boxed{ \begin{aligned} \begin{aligned} \\[1mm] \col[3]{\cdot3~ \big(} \quad \end{aligned} \begin{aligned} & \textsf{Plan}\\[1mm] & \quad \col[1]1 \\[1mm] & \quad {3 } \end{aligned} ~ \begin{aligned} : \\[1mm] \col[1]: \\[1mm] : \end{aligned} ~~ \begin{aligned} & \textsf{Realität}\\[1mm] & \col[1]{5000}\\[1mm] & 15000 \end{aligned} ~~~ \begin{aligned} \\[1mm] \col[3]{ \big) \cdot 3} \end{aligned} \end{aligned}}

Beim Maßstab \col[1]{1:5000} $\col[1]{1:5000}$ entsprechen 3\text{ cm} $3\text{ cm}$ in der Karte 15000\text{ cm} $15000\text{ cm}$ in der Wirklichkeit.

**Vergrößerung umrechnen**

Angenommen ein Käfer wurde mit dem Mikroskop im Maßstab \col[2]{20:1} $\col[2]{20:1}$ vergrößert. Auf dem Bild hat er jetzt eine Größe von 2\text{ cm} $2\text{ cm}$ . Die tatsächliche Größe des Käfers berechnest du wieder mit einem vereinfachten Dreisatz.

\boxed{ \begin{aligned} \begin{aligned} \\[1mm] \col[3]{:10~ \big(} \quad \end{aligned} \begin{aligned} & \textsf{Plan}\\[1mm] & \quad \col[2]{20} \\[1mm] & \quad {2 } \end{aligned} ~ \begin{aligned} : \\[1mm] \col[2]: \\[1mm] : \end{aligned} ~~ \begin{aligned} & \textsf{Realität}\\[1mm] & \col[2]1\\[1mm] & 0,1 \end{aligned} ~~~ \begin{aligned} \\[1mm] \col[3]{ \big) :10} \end{aligned} \end{aligned}}

\boxed{ \begin{aligned} \begin{aligned} \\[1mm] \col[3]{:10~ \big(} \quad \end{aligned} \begin{aligned} & \textsf{Plan}\\[1mm] & \quad \col[2]{20} \\[1mm] & \quad {2 } \end{aligned} ~ \begin{aligned} : \\[1mm] \col[2]: \\[1mm] : \end{aligned} ~~ \begin{aligned} & \textsf{Realität}\\[1mm] & \col[2]1\\[1mm] & 0,1 \end{aligned} ~~~ \begin{aligned} \\[1mm] \col[3]{ \big) :10} \end{aligned} \end{aligned}}

Beim Maßstab \col[2]{20:1} $\col[2]{20:1}$ ist ein 2\text{ cm} $2\text{ cm}$ großer Käfer auf dem Bild in Wirklichkeit 0,1\text{ cm} $0,1\text{ cm}$ groß.

Maßstab bei Längen

Den Maßstab bei Längen brauchst du vor allem bei Karten.
Der Maßstab gibt dir an, wie das Verhältnis einer Länge in der Karte zur Länge in der Wirklichkeit ist.

Hier musst du aufpassen. Die beiden Zahlen im Maßstab haben oft unterschiedliche Einheiten. Ist das der Fall, dann müssen die Einheiten aber direkt dabei stehen.

In nachfolgender Abbildung Deutschlands ist der Maßstab beispielsweise 1\text{ cm}:50\text{ km} $1\text{ cm}:50\text{ km}$ . Das heißt, 1\text{ cm} $1\text{ cm}$ auf der Karte entspricht 50\text{ km} $50\text{ km}$ in der Realität.

Deutschlandkarte, bei der in der Ecke ein Maßstabsbalken abgebildet ist. Dieser ist 4 cm lang und je 1 cm entspricht 50 km.

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Maßstab bei Flächen

Auch bei Flächen gibt dir der Maßstab das Verhältnis der Längen der Zeichnung und der Wirklichkeit zueinander an. Er gibt dir also nicht das Verhältnis der Flächen zueinander an.

Die drei Marienkäfer von oben, bei denen jetzt zusätzlich die Breite eingezeichnet ist. Der originalgroße Marienkäfer mit dem Maßstab 1:1 ist 10 mm breit, der im Maßstab 1:2 verkleinerte nur 5 mm und der im Maßstab 2:1 vergrößerte 20 mm.

Die Breite des Marienkäfers wird also halbiert oder verdoppelt. Du erkennst aber sicher, dass seine Fläche sich mehr als halbiert und mehr als verdoppelt. Der jeweils kleinere Marienkäfer passt nämlich immer mehr als zweimal in den nächstgrößeren Marienkäfer.

Beispiele zum Maßstab

Längen

Aufgabe

Eine Landkarte wurde im Maßstab 1\text{ cm}:25\text{ km} $1\text{ cm}:25\text{ km}$ erstellt.

Zwei Städte sind auf der Karte 4\text{ cm} $4\text{ cm}$ entfernt.
Wie weit liegen die beiden Städte in der Wirklichkeit entfernt?

Lösung

Wende den vereinfachten Dreisatz an.

\boxed{ \begin{aligned} \begin{aligned} \\[1mm] \col[3]{\cdot4~ \big(} \quad \end{aligned} \begin{aligned} & \textsf{Plan}\\[1mm] & \quad \col[1]{1\text{ cm}} \\[1mm] & \quad {4\text{ cm} } \end{aligned} ~ \begin{aligned} : \\[1mm] \col[1]: \\[1mm] : \end{aligned} ~~ \begin{aligned} & \textsf{Realität}\\[1mm] & \col[1]{25\text{ km}}\\[1mm] & 100\text{ km} \end{aligned} ~~~ \begin{aligned} \\[1mm] \col[3]{ \big) \cdot 4} \end{aligned} \end{aligned}}

\boxed{ \begin{aligned} \begin{aligned} \\[1mm] \col[3]{\cdot4~ \big(} \quad \end{aligned} \begin{aligned} & \textsf{Plan}\\[1mm] & \quad \col[1]{1\text{ cm}} \\[1mm] & \quad {4\text{ cm} } \end{aligned} ~ \begin{aligned} : \\[1mm] \col[1]: \\[1mm] : \end{aligned} ~~ \begin{aligned} & \textsf{Realität}\\[1mm] & \col[1]{25\text{ km}}\\[1mm] & 100\text{ km} \end{aligned} ~~~ \begin{aligned} \\[1mm] \col[3]{ \big) \cdot 4} \end{aligned} \end{aligned}}

4\text{ cm} $4\text{ cm}$ auf der Karte entsprechen 100\text{ km} $100\text{ km}$ in der Wirklichkeit.
Die beiden Städte sind also tatsächlich 100\text{ km} $100\text{ km}$ voneinander entfernt.

Flächen

Fläche verkleinern

Verkleinere nachfolgendes Quadrat mit dem Maßstab 1:2 $1:2$ .

Ziehe nacheinander an den Ecken und bewege sie an die richtige Stelle.

Denke daran, dass du Längen anschaust. Die Seitenlängen des neuen Quadrats müssen also halb so groß sein wie die des ursprünglichen Quadrats.

Fläche vergrößern

Vergrößere nachfolgendes Dreieck mit dem Maßstab 3:1 $3:1$ .

Ziehe nacheinander an den Ecken und bewege sie an die richtige Stelle.

Denke auch hier dran, dass du wieder Längen ansiehst. Die Basis des neuen Dreiecks muss also dreimal so lang sein wie die des ursprünglichen Dreicks. Gleiches gilt auch für die Höhe.

Zusammenfassung

Der Maßstab wird als Verhältnis zweier Zahlen angegeben. Zwischen den zwei Zahlen steht ein Doppelpunkt.

Die erste Zahl gibt immer die Länge im Plan an, die zweite Zahl die Länge in der Wirklichkeit.

\col[1]{1:\textsf{x}}\rarr $\col[1]{1:\textsf{x}}\rarr$ Verkleinerung
\col[2]{\textsf{x}:1}\rarr $\col[2]{\textsf{x}:1}\rarr$ Vergrößerung

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