Proportionale Zuordnungen

Hast du angefangen in der Schule ganz spezielle Arten von Zuordnungen zu behandeln? Vielleicht sogar Zuordnungen, bei denen sich etwas gleichmäßig ändert?

Ein typisches Beispiel, das du sicher kennst, ist die Zuordnung \boxed{ \textsf{Gewicht} \rarr \textsf{ Preis}}$\boxed{ \textsf{Gewicht} \rarr \textsf{ Preis}}$. Eine konkrete Menge von etwas bekommst du für einen bestimmten Preis. Möchtest du die doppelte Menge davon kaufen, dann musst du auch doppelt so viel bezahlen - ist ja klar, oder?

Das Ganze nennt sich dann proportionale Zuordnung. Was das genau ist, erklärt dir simpleclub jetzt!

Proportionale Zuordnung einfach erklärt

Mai kauft sich bei der Eisdiele eine Kugel Eis und bezahlt dafür 1,50~€$1,50~€$.

\boxed{1 \textsf{ Kugel} \rarr 1,50~€ }$\boxed{1 \textsf{ Kugel} \rarr 1,50~€ }$

Geht sie am nächsten Tag nochmal hin und kauft sich aber zwei Kugeln Eis, dann muss sie selbstverständlich auch doppelt so viel bezahlen, also 3,00~€$3,00~€$.

\boxed{2 \textsf{ Kugeln} \rarr 2 \cdot 1,50~€=3,00~€ }$\boxed{2 \textsf{ Kugeln} \rarr 2 \cdot 1,50~€=3,00~€ }$

\rarr$\rarr$ Das kann nun ewig so weiter gehen: Kauft Mai die dreifache Anzahl an Kugeln Eis, muss sich auch dreimal so viel bezahlen.

\boxed{3 \textsf{ Kugeln} \rarr 3\cdot 1,50~€ = 4,50~€}$\boxed{3 \textsf{ Kugeln} \rarr 3\cdot 1,50~€ = 4,50~€}$

\rarr$\rarr$ „*Je mehr Kugeln, desto höher der Preis.*“

Das heißt, der Preis steigt gleichmäßig mit der Anzahl der Kugeln. Es liegt hier also ein gleichmäßiges Wachstum (auch proportionales Wachstum) vor.

DIe Zuordnung \boxed{\textsf{ Kugel} \rarr \textsf{Preis} }$\boxed{\textsf{ Kugel} \rarr \textsf{Preis} }$ ist also eine proportionale Zuordnung.

Proportional Definition

Proportionale Zuordnung Definition

Erklärung

\triangleright$\triangleright$ Proportionale Zuordnungen darstellen

Eine proportionale Zuordnung hat verschiedene Gesichter, in denen sie sich zeigen kann. Sie lässt sich nämlich sowohl

1. als Wertetabelle,
2. als Graph oder
3. als Gleichung

darstellen.

\triangleright$\triangleright$ Eigenschaften proportionaler Zuordnungen

Außerdem hat eine proportionale Zuordnung immer bestimmte Eigenschaften, an der du sie erkennst. Diese sind:

• proportionales Wachstum
  \rarr$\rarr$ Eine Zuordnung heißt proportional, wenn zum Zweifachen, Dreifachen, Halben der Eingangsgröße das Zweifache, Dreifache, Halbe der Ausgangsgröße gehört.
  (Je mehr, desto mehr oder je weniger, desto weniger)

• proportionale Zuordnung
  \rarr$\rarr$ Eine Zuordnung heißt auch proportional, wenn jeder Eingabegröße (x$x$) ihr p$p$-faches zugeordnet wird.

• Quotientengleichheit
  \rarr$\rarr$ Eine Zuordnung heißt außerdem proportional, wenn die Quotienten der Wertepaare immer gleich sind.

1. Wertetabelle einer proportionalen Zuordnung

Eine proportionale Zuordnung lässt sich wie jede Zuordnung auch in einer Wertetabelle darstellen. In der linken Spalte trägst du die Werte der einen Größe ein (hier die Zeit) und in der rechten Spalte die Werte der anderen Größe (hier die Strecke).

Beispiel: Jan fährt mit dem Fahrrad eine gleichbleibende Geschwindigkeit. Damit schafft er in 20 \text{ min}$20 \text{ min}$ eine Strecke von 30 \text{ km}$30 \text{ km}$.
Die anderen Werte ergeben sich nun durch Rechnen:

Auch in einer Tabelle kannst du alle Eigenschaften einer proportionalen Zuordnung erkennen:

\triangleright$\triangleright$ Proportionale Veränderung in einer Wertetabelle

Das proportionale Wachstum erkennst du daran, dass du mithilfe eines einzigen Wertepaars alle anderen Wertepaare bestimmen kannst. Änderst du die eine Größe um einen Faktor, so ändert sich auch die andere Größe um denselben Faktor.

\rarr$\rarr$ Fährt Jan doppelt so lange Fahrrad, also statt 20 \text{ min}$20 \text{ min}$ dann 40 \text{ min}$40 \text{ min}$, dann schafft er auch eine doppelt so lange Strecke, also statt 30 \text{ km}$30 \text{ km}$ dann 60 \text{ km}$60 \text{ km}$.

\triangleright$\triangleright$ Proportionale Zuordnung in einer Wertetabelle

Die proportionale Zuordnung erkennst du daran, dass jedem Wert der einen Größe immer ein Vielfaches oder ein Teiler der anderen Größe zugeordnet wird. Die eine Größe ist also immer das \col[1]{p}$\col[1]{p}$-fache der anderen Größe.

\rarr$\rarr$ Jan fährt in 20 \text{ min}$20 \text{ min}$ eine Strecke von 30 \text{ km}$30 \text{ km}$. Die 20 \text{ min}$20 \text{ min}$ werden also den 30 \text{ km}$30 \text{ km}$ zugeordnet. Der 20$20$ wird also das \col[1]{1,5}$\col[1]{1,5}$-fache, nämlich 30$30$, zugeordnet.
Wenn Jan also 40 \text{ min}$40 \text{ min}$ Rad fahren würde, würde er eine Strecke von 40 \col[1]{ \cdot 1,5 } = 60 \text{ km}$40 \col[1]{ \cdot 1,5 } = 60 \text{ km}$ schaffen.

20 \xrightarrow{ \col[1]{ \cdot 1,5 } } 30$20 \xrightarrow{ \col[1]{ \cdot 1,5 } } 30$

40 \xrightarrow{ \col[1]{ \cdot 1,5 } } 60$40 \xrightarrow{ \col[1]{ \cdot 1,5 } } 60$

\triangleright$\triangleright$ Quotientengleichheit

Berechnest du die Quotienten aus den Wertepaaren (Zeit und Strecke), dann fällt dir auf, dass da immer die gleiche Zahl rauskommt, nämlich \col[1]{1,5}$\col[1]{1,5}$:

• \frac{30}{20} = \col[1]{1,5}$\frac{30}{20} = \col[1]{1,5}$

• \frac{60}{40} = \col[1]{1,5}$\frac{60}{40} = \col[1]{1,5}$

• \frac{90}{60} = \col[1]{1,5}$\frac{90}{60} = \col[1]{1,5}$

• ...

2. Graph einer proportionalen Zuordnung

Das „zweite Gesicht“, hinter dem sich eine proportionale Zuordnung verstecken kann, ist der Funktionsgraph. Du kennst den Funktionsgrafen von Schaubildern bereits von Liniendiagrammen.
Auch beim Graphen erkennst du die drei Eigenschaften von proportionalen Zuordnungen wieder:

\triangleright$\triangleright$ Proportionale Veränderung eines Funktionsgrafen

Die proportionale Veränderung erkennst du am Graphen daran, dass sich auch hier die Wertepaare gleichmäßig verändern. Vervielfachst du die Ausgangsgröße, dann vervielfacht sich auch die zugeordnete Größe gleichmäßig. Deshalb ist der Graph auch eine Gerade und nicht „zickzack”.

\triangleright$\triangleright$ Proportionale Zuordnung eines Funktionsgrafen

Auch hier siehst du nochmals verbildlicht, dass jedem Wert der Ausgangsgröße das \col[1]{1,5}$\col[1]{1,5}$-fache zugeordnet wird.

\triangleright$\triangleright$ Quotientengleichheit

Berechnest du hier wieder den Quotienten aus den Wertepaaren, erhältst du auch hier immer den **Proportionalitätsfaktor** \col[1]{p=1,5}$\col[1]{p=1,5}$.
Ist ja auch logisch, denn wir haben die Werte von der Tabelle oben ja nicht verändert, sondern nur als Schaubild dargestellt!

\Rarr$\Rarr$ Aufgrund dieser Eigenschaften MUSS der Graph einer proportionalen Zuordnung immer eine Ursprungsgerade sein!

Das heißt, der Graph beginnt immer im Ursprung (0|0)$(0|0)$ und geht dann als Halbgerade nach oben.
\rarr$\rarr$ Je größer der Proportionalitätsfaktor \col[1]p$\col[1]p$ ist, desto steiler ist die Halbgerade.

3. Funktionsgleichung einer proportionalen Zuordnung

Das letzte „Gesicht“, hinter der sich nun noch eine proportionale Zuordnung verstecken kann, ist die Gleichung bzw. der Term.
Terme kennst du ja schon vom Rechnen, z.B. 2 \cdot 5$2 \cdot 5$ oder 3+5:2$3+5:2$. Aber es gibt auch Terme mit Variablen drin, wie 5a$5a$ oder 7x+\frac{1}{2}$7x+\frac{1}{2}$.

Ähnlich ist das nun mit den Termen bei proportionalen Zuordnungen. Sie sind dazu da, um bestimmte Wertepaare schnell berechnen zu können:
Jede proportionale Zuordnung lässt sich auch als Term schreiben. Wenn du wissen möchtest, welche Strecke Jan gefahren ist, musst du ja \col[1]{1,5} \cdot \textsf{Zeit}$\col[1]{1,5} \cdot \textsf{Zeit}$ rechnen. Wenn du aber zu faul bist immer „Strecke“ und „Zeit“ zu schreiben, kannst du diese einfach durch Buchstaben (x$x$ und y$y$) ersetzen.
Es ergibt sich also der Term bzw. die Gleichung:

\triangleright$\triangleright$ Proportionale Veränderung bei der Funktionsgleichung

Dass sich die Werte proportional verändern, erkennst du an der Gleichung dann am besten, wenn du Werte einsetzt: Setzt du einen doppelt so großen x$x$-Wert ein, kommt auch ein doppelt so großer y$y$ Wert wieder raus.

\triangleright$\triangleright$ Proportionale Zuordnung bei der Funktionsgleichung

Die proportionale Zuordnung erkennst du eigentlich direkt an der Gleichung selbst:
\rarr$\rarr$ Der Strecke wird immer das \col[1]{1,5}$\col[1]{1,5}$-fache der Zeit zugeordnet. Und genau das steht ja als Gleichung da!
\rarr$\rarr$ Oder auch: Jedem y$y$-Wert wird das \col[1]{1,5}$\col[1]{1,5}$-fache des x$x$-Werts zugewisen.

\triangleright$\triangleright$ Quotientengleichheit bei der Funkionsgleichung

Dass der Quotient aus den Wertepaaren (Zeit x$x$ und Strecke y$y$) immer gleich ist, erkennst du, indem du die Gleichung so umstellt, dass der Quotient \frac{y}{x}$\frac{y}{x}$ da steht.
\rarr$\rarr$ Du siehst, dass dann \frac{y}{x} = \col[1]{1,5}$\frac{y}{x} = \col[1]{1,5}$ da steht und das heißt ja genau so was wie „*Der Quotient \frac{y}{x}$\frac{y}{x}$ ist immer \col[1]{1,5}$\col[1]{1,5}$.*“

\Rarr$\Rarr$ Aus all diesen Eigenschaften zur Gleichung von proportionalen Zuordnungen solltest du dir Folgendes gut merken:

Beispiele proportionaler Zuordnungen

Proportionale Zuordnungen erkennen

Aufgabe

Handelt es sich bei folgenden Wertepaaren um eine proportionale Zuordnung?

Lösung

Um zu prüfen, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, kannst du prüfen, ob der Quotient der Wertepaare immer gleich ist:

Ein Wertepaar hat nicht denselben Quotienten wie alle anderen.
\rarr$\rarr$ Deshalb handelt es sich hier nicht um eine proportionale Zuordnung.

Proportionale Zuordnungen berechnen

Aufgabe

Im Supermarkt kosten 500 \text{ g}$500 \text{ g}$ Bananen 2,50 ~€$2,50 ~€$.

a) Berechne zuerst den Proportionalitätsfaktor dieser proportionalen Zuordnung.

b) Stelle dann die Funktionsgleichung auf.

Lösung

In der Aufgabenstellung wird dem Gewicht von Bananen ein Preis zugeordnet, also:

\boxed{ \textsf{Gewicht} \rarr \textsf{Preis} }$\boxed{ \textsf{Gewicht} \rarr \textsf{Preis} }$

a) Der Proportionalitätsfaktor ist ja der Quotient der Wertepaare, also zugeordnete Größe geteilt durch Ausgangsgröße. Das ergibt:

\rarr$\rarr$ Der Proportionalitätsfaktor ist also \col[1]{0,005}$\col[1]{0,005}$.

b) Mit dem Proportionalitätsfaktor kannst du nun ganz schnell die Gleichung aufstellen, denn alle proportionalen Zuordnungen lassen sich als Gleichung der Form \boxed{ y= \col[1]p \cdot x }$\boxed{ y= \col[1]p \cdot x }$ darstellen. Mit \col[1]{p=0,005}$\col[1]{p=0,005}$ ergibt sich dann:

Zusammenfassung proportionaler Zuordnungen

Eine proportionale Zuordnung kannst du als Wertetabelle, als Graph oder als Gleichung darstellen.

1. Die Wertepaare der Tabelle einer proportionalen Zuordnung ändern sich immer gleichmäßig.

2. Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist immer eine Ursprungsgerade.

3. Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung hat die Form \boxed{y=\col[1]{p}\cdot x}$\boxed{y=\col[1]{p}\cdot x}$.

Dabei ist \col[1]p$\col[1]p$ der **Proportionalitätsfaktor**. Er ist der Quotient der beiden Wertepaare \frac{y}{x}$\frac{y}{x}$ und ist bei proportionalen Zuordnungen IMMER GLEICH.
\rarr$\rarr$ Das nennt man Quotientengleichheit.