Integral Bedeutung

Die Integralrechnung ist eine der wichtigsten mathematischen Operationen, die du in der Oberstufe lernst.

Aber wie funktioniert die Integralrechnung überhaupt? Und für was wird die überhaupt gebraucht?

simpleclub hilft dir dabei, das Thema zu verstehen!

Integralrechnung einfach erklärt

Das Integral findet in der Mathematik und auch in vielen anderen Naturwissenschaften vielfältige Anwendung. Am häufigsten wird es dir wahrscheinlich bei der Berechnung von der Fläche unter einem Graphen begegnen.

Um ein Integral zu berechnen, gibt es für verschiedene Funktionen verschiedene Regeln. In der Animation kannst du ein Beispiel für eine der wichtigsten Regeln, nämlich der Potenzregel, sehen. Sie benutzt du zum Integrieren von Polynomfunktionen.

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Potenzregel Definition

Mit der Potenzregel für Integrale kannst du Potenzen integrieren und ihre Stammfunktion bestimmen.

\int a\cdot x^{b}\space \text{d}x = \dfrac{1}{b+1} \cdot a\cdot x^{b + 1} + Caxb dx=1b+1axb+1+C\int a\cdot x^{b}\space \text{d}x = \dfrac{1}{b+1} \cdot a\cdot x^{b + 1} + C

Bedeutung Integral

Das Stammfunktion bilden (auch integrieren) ist genau das Gegenteil vom Ableiten. Das Integrieren findet in der Mathematik vielseitige Anwendung.

Beim Integral werden zwei Arten des Integrals unterschieden:

  • Das bestimmte Integral.
  • Das unbestimmte Integral.

Das bestimmte Integral

Das bestimmte Integral findet hauptsächlich Anwendung bei der Berechnung der Fläche zwischen einem Graphen und der xxx-Achse.

Wie du in der Animation sehen kannst, kannst du die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse durch Rechtecke annähern. Je kleiner du die Rechtecke in der Animation machst, desto näher kommst du der tatsächlichen Fläche zwischen dem Graphen und der xxx-Achse.

Umso kleiner du die Rechtecke machst, umso näher kommst du der tatsächlichen Fläche zwischen dem Graphen und der xxx-Achse. Wenn du die Rechtecke unendlich dünn machen würdest, würde sich die genaue Fläche des Graphen ergeben.

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5 Rechtecke
10 Rechtecke
20 Rechtecke

Das unbestimmte Integral

Das unbestimmte Integral gibt die Menge aller Stammfunktionen an. Stammfunktion bilden ist genau das Gegenteil von Ableiten. Zu einer gegebenen Funktion gibt es aber unendlich viele Stammfunktionen. Das kannst du im folgenden Schema sehen:

In dem Bild ist dargestellt, das es zu einer Funktion f von x unendlich viele Stammfunktionen, aber nur eine eindeutoge Ableitung gibt.

Bilden der Stammfunktion

In der Animation kannst du ein Beispiel sehen, wie du für ein Polynom die Stammfunktion bilden kannst.

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Potenzregel

Die Potenzregel ist die Regel zum Bilden einer Stammfunktion.

Wenn du eine Funktion der Form

f(x) = ax^bf(x)=axbf(x) = ax^b

(also eine Potenz) integrieren willst, musst du die Hochzahl (den Exponenten) um 111 erhöhen und durch die neue Hochzahl teilen. Also:

\int a\cdot x^{b}\space \text{d}x = \dfrac{1}{b+1} \cdot a\cdot x^{b + 1} + Caxb dx=1b+1axb+1+C\int a\cdot x^{b}\space \text{d}x = \dfrac{1}{b+1} \cdot a\cdot x^{b + 1} + C

Die Potenzregel für Integrale ist die Umkehrung der Potenzregel für Ableitungen.


Beispiele Berechnung Integrale

Potenzregel für Integrale - einfach

Integriere die Funktion

f(x) = x^2f(x)=x2f(x) = x^2

Bedenke, dass gilt:

x^2 = 1\cdot x^2x2=1x2x^2 = 1\cdot x^2

Jetzt kannst du die Potenzregel für Integrale anwenden.

\int 1\cdot x^{2}\space \text{d}x = \dfrac{1}{2+1} \cdot 1\cdot x^{2 + 1} + C1x2 dx=12+11x2+1+C\int 1\cdot x^{2}\space \text{d}x = \dfrac{1}{2+1} \cdot 1\cdot x^{2 + 1} + C= \dfrac{1}{3}\cdot x^3+C=13x3+C= \dfrac{1}{3}\cdot x^3+C

Zur Probe kannst du diese Funktion ableiten.

\left( \dfrac{1}{3}\cdot x^3 + C\right)' = x^2(13x3+C)=x2\left( \dfrac{1}{3}\cdot x^3 + C\right)' = x^2

Potenzregel für Integrale mit Vorfaktor

Integriere die Funktion

f(x) = 4x^3f(x)=4x3f(x) = 4x^3

Jetzt kannst du die Potenzregel für Integrale anwenden.

\int 4\cdot x^{3}\space \text{d}x = \dfrac{1}{3+1} \cdot 4\cdot x^{3 + 1} + C4x3 dx=13+14x3+1+C\int 4\cdot x^{3}\space \text{d}x = \dfrac{1}{3+1} \cdot 4\cdot x^{3 + 1} + C=\dfrac{4}{4}\cdot x^4+C = x^4+C=44x4+C=x4+C=\dfrac{4}{4}\cdot x^4+C = x^4+C

Zur Probe kannst du diese Funktion ableiten.

\left( x^4+C\right)' = 4x^3(x4+C)=4x3\left( x^4+C\right)' = 4x^3

Potenzregel für Integrale - Konstanten

Integriere die Funktion

f(x) = 2f(x)=2f(x) = 2

Bedenke, dass für Konstanten gilt:

2 = 2\cdot x^02=2x02 = 2\cdot x^0

Jetzt kannst du die Potenzregel für Integrale anwenden.

\int 2\cdot x^{0}\space \text{d}x = \dfrac{1}{0+1} \cdot 2\cdot x^{0 + 1} + C2x0 dx=10+12x0+1+C\int 2\cdot x^{0}\space \text{d}x = \dfrac{1}{0+1} \cdot 2\cdot x^{0 + 1} + C= \frac{2}{1}\cdot x^1+C = 2x+C=21x1+C=2x+C= \frac{2}{1}\cdot x^1+C = 2x+C

Zur Probe kannst du diese Funktion ableiten.

\left( 2x+C\right)' = 2(2x+C)=2\left( 2x+C\right)' = 2

Potenzregel für Integrale - negative Hochzahl

Integriere die Funktion

f(x) = \dfrac{1}{x^2}f(x)=1x2f(x) = \dfrac{1}{x^2}

Bedenke, dass gilt:

\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}1x2=x2\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}

Bei negativen Exponenten bildest du den Kehrwert.

Jetzt kannst du die Potenzregel für Integrale anwenden.

\int -1\cdot x^{-2}\space \text{d}x = \dfrac{1}{-2+1} \cdot -1\cdot x^{-2 + 1} + C1x2 dx=12+11x2+1+C\int -1\cdot x^{-2}\space \text{d}x = \dfrac{1}{-2+1} \cdot -1\cdot x^{-2 + 1} + C=-\dfrac{1}{1} \cdot x^{-1} = -\dfrac{1}{x}=11x1=1x=-\dfrac{1}{1} \cdot x^{-1} = -\dfrac{1}{x}

Auch hier bedeuetet der negative Exponent, dass du den Kehrwert bilden musst.

Zur Probe kannst du diese Funktion ableiten.

\left( -\dfrac{1}{x}\right)' = \dfrac{1}{x^2}(1x)=1x2\left( -\dfrac{1}{x}\right)' = \dfrac{1}{x^2}

Potenzregel für Integrale - Wurzel - kompliziert

Integriere die Funktion

f(x) = \sqrt{x}f(x)=xf(x) = \sqrt{x}

Bedenke, dass gilt:

\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

Jetzt kannst du die Potenzregel für Integrale anwenden.

\int 1\cdot x^{\frac{1}{2}}\space \text{d}x = \dfrac{1}{\frac{1}{2}+1} \cdot 1\cdot x^{\frac{1}{2} + 1} + C1x12 dx=112+11x12+1+C\int 1\cdot x^{\frac{1}{2}}\space \text{d}x = \dfrac{1}{\frac{1}{2}+1} \cdot 1\cdot x^{\frac{1}{2} + 1} + C=\dfrac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^3 + C=132x32+C=23(x12)3+C=\dfrac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^3 + C= \dfrac{2}{3}\left(\sqrt{x}\right)^3+C=23(x)3+C= \dfrac{2}{3}\left(\sqrt{x}\right)^3+C

Zur Probe kannst du diese Funktion ableiten.

\left( \dfrac{2}{3}\cdot \left(\sqrt{x}\right)^3 + C\right)' = \sqrt{x}(23(x)3+C)=x\left( \dfrac{2}{3}\cdot \left(\sqrt{x}\right)^3 + C\right)' = \sqrt{x}

Zusammenfassung

Du weißt nun, dass in der Mathematik öfter nach der Fläche unter einem Graphen gesucht ist.

  • Diese Fläche kannst du durch Annäherung durch geometrische Objekte näherungsweise bestimmen.
  • Objekte, die sich zur Annäherung anbieten, sind z.B. Rechtecke
  • Je feiner die Unterteilung der geometrischen Objekte, desto genauer kannst du die Fläche unter dem Graphen bestimmen.
  • Mit dem Integral kannst du die Fläche unter einem Graphen ganz genau bestimmen

  • Das Zeichen für das Integral lautet:

\qquad \int f(x) \ \text{d}xf(x) dx\qquad \int f(x) \ \text{d}x
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