Antiproportionale Zuordnungen

Für eine Baustelle brauchen 10$10$ Arbeiterinnen und Arbeiter 20$20$ Tage. Nur halb so viele Arbeiterinnen und Arbeiter bräuchten dann aber doppelt so lang, denn es sind ja weniger Leute, die anpacken. Die 5$5$ Arbeiter bräuchten dann also 40$40$ Tage.

So eine Aufgabe hab ihr sicherlich schon in der Schule behandelt! Es handelt sich hier nämlich um eine antiproportionale Zuordnung, auch umgekehrt-proportionale Zuordnung genannt.

Was das genau ist, wie du diese erkennst und welche Eigenschaften eine antiproportionale Zuordnung hat, erklärt dir simpleclub hier!

Antiproportionale Zuordnungen einfach erklärt

Um eine ganze Pizza zu essen, braucht 1$1$ Person ca. 12 \text{ min}$12 \text{ min}$.

\boxed{1 \textsf{ Person} \rarr 12 \text{ min}}$\boxed{1 \textsf{ Person} \rarr 12 \text{ min}}$

Bekommt die Person Hilfe von einer anderen Person, also sie essen die eine Pizza nun zu zweit, dann brauchen sie ja nur halb so lang! Also brauchen 2$2$ Personen nur noch 6 \text{ min}$6 \text{ min}$, um die Pizza zu essen.

\boxed{2 \textsf{ Personen} \rarr 6 \text{ min}}$\boxed{2 \textsf{ Personen} \rarr 6 \text{ min}}$

Verdoppelst du die Anzahl der Personen nochmal, also wenn nun 4$4$ Personen an einer Pizza essen, dann brauchen sie wieder nur noch halb so lang. Die 4$4$ Personen essen die Pizza also in nur 3 \text{ min}$3 \text{ min}$.

\boxed{4 \textsf{ Personen} \rarr 3 \text{ min}}$\boxed{4 \textsf{ Personen} \rarr 3 \text{ min}}$

Das könntest du nun ewig so weiter machen, bis jede Person nur noch einen Krümel der Pizza essen darf und sie in 1 \text{ Sek}$1 \text{ Sek}$ fertig wären.
\rarr$\rarr$ Du bemerkt also je mehr Personen bei der Pizza mitessen, desto weniger Zeit brauchen sie zum Aufessen.

Die Zuordnung \boxed{\textsf{Personen} \rarr \textsf{Zeit}}$\boxed{\textsf{Personen} \rarr \textsf{Zeit}}$ ist also eine antiproportionale bzw. umgekehrt-proportionale Zuordnung.

Antiproportional Definition

Antiproportionale Zuordnung Definition

Erklärung

Auch antiproportionale Zuordnungen lassen sich als Tabelle, als Graph und als Gleichung darstellen.

Aber antiproportionale Zuordnungen haben andere Eigenschaften als proportionale Zuordnungen:

• antiproportionales Wachstum
  \rarr$\rarr$ Eine Zuordnung heißt antiproportional (auch umgekehrt-proportional), wenn zum Zweifachen, Dreifachen, Halben der Eingangsgröße das Halbe, Drittel, Doppelte der Ausgangsgröße gehört.
  (Je mehr, desto weniger oder je weniger, desto mehr)

• antiproportionale Zuordnung
  \rarr$\rarr$ Eine Zuordnung heißt auch antiproportional, wenn jeder Eingabegröße (x$x$) das p$p$-fache des Kehrwerts zugeordnet wird. Also: y=p \cdot \frac{1}{x}$y=p \cdot \frac{1}{x}$

• Produktgleichheit
  \rarr$\rarr$ Eine Zuordnung heißt außerdem antiproportional, wenn das Produkt der Wertepaare immer gleich sind.

1. Wertetabelle für antiproportionale Zuordnungen

Eine antiproportionale Zuordnung lässt sich wie proportionale Zuordnung auch in einer Wertetabelle darstellen. In der linken Spalte trägst du die Werte der Ausgangsgröße (x$x$) und in der rechten Spalte die Werte der zugeordneten Größe (y$y$) ein.

Das Beispiel von oben war ja:
Jan (1$1$ Person) braucht zum Essen einer ganzen Pizza 12 \text{ min}$12 \text{ min}$. Hilft ihm ein Freund (2$2$ Personen), dann brauchen sie nur noch hab so lang, also 6 \text{ min}$6 \text{ min}$.
Die anderen Werte ergeben sich auch hier durch Rechnen, aber du musst anders vorgehen als bei den proportionalen Zuordnungen (!):

\triangleright$\triangleright$ antiproportionale Veränderung einer Wertetabelle
Die Wertepaare einer antiproportionalen Zuordnung ändern sich nicht gleichläufig, sondern gegensätzlich. Änderst du die eine Größe, dann ändert sich die andere Größe umgekehrt.

\rarr$\rarr$ Verdoppelst du die Anzahl der Personen, die eine Pizza essen, halbiert sich die Zeit, die sie dafür benötigen.

\triangleright$\triangleright$ Antiproportionale Zuordnung in einer Wertetabelle

Die antiproportionale Zuordnung erkennst du daran, dass du die Werte nun nicht mehr durch Multiplizieren eines Faktors berechnen kannst, sondern sich der Faktor ständig ändert. Schaust du jedoch ganz genau hin, gibt es einen Trick den zugeordneten Wert zu berechnen:

Du kannst den zugeordneten Wert also auch durch Multiplikation mit \col[1]{12}$\col[1]{12}$ sowie der Multiplikation mit dem Kehrbruch des Ausgangswertes berechnen.

\triangleright$\triangleright$ Produktgleichheit einer Wertetabelle

Berechnest du das Produkt aus den Wertepaaren (*Personenanzahl* und *Zeit*), dann erhältst du immer dasselbe Ergebnis.

• \col[4]1 \cdot \col[5]{12} = \col[1]{12}$\col[4]1 \cdot \col[5]{12} = \col[1]{12}$

• \col[4]2 \cdot \col[5]6 = \col[1]{12}$\col[4]2 \cdot \col[5]6 = \col[1]{12}$

• \col[4]3 \cdot \col[5]4 = \col[1]{12}$\col[4]3 \cdot \col[5]4 = \col[1]{12}$

• ...

Diese Eigenschaft nennt sich Produktgleichheit.

2. Graph für antiproportionale Zuordnungen

Natürlich kannst du eine antiproportionale Zuordnung auch als Graph darstellen. Der Graph einer antiproportionalen Zuordnung hat eine ganz besondere Form.

\triangleright$\triangleright$ Antiproportionale Veränderung eines Funktionsgraphen

Die antiproportionale Veränderung erkennst du am Graphen daran, dass sich hier die Wertepaare ungleichmäßig verändern. \rarr$\rarr$ Das hat zu Folge, dass die Werte der einen Größe immer größer werden und die Werte der anderen Größe immer kleiner. Das führt zu der speziellen „Hyperbel-Form” des Graphen.

\triangleright$\triangleright$ Antiproportionale Zuordnung eines Funktionsgraphen

Auch hier siehst du nochmals verbildlicht, dass jeder Wert der Ausgangsgröße mit einem anderen Faktor multipliziert werden muss, um zur zugeordneten Größe zu gelangen.

\triangleright$\triangleright$ Produktgleichheit

Berechnest du hier wieder das Produkt aus den Wertepaaren, erhältst du auch hier immer den **Antiproportionalitätsfaktor** \col[1]{p=12}$\col[1]{p=12}$.
Ist ja auch logisch, denn wir haben die Werte von der Tabelle oben ja nicht verändert, sondern nur als Schaubild dargestellt!

3. Gleichung für antiproportionale Zuordnungen

Auch kannst du antiproportionale Zuordnungen als Gleichung darstellen. Eine solche Gleichung ermöglicht es dir, Wertepaare ganz schnell zu berechnen.

Um vom Ausgangswert (Personenanzahl) auf den zugeordneten Wert (Zeit) zu kommen, musst du wie oben erklät immer „mal den Antiproportionalitätsfaktor und mal den Kehrbruch des Ausgangswertes“ rechnen, also:

x \xrightarrow{\cdot \col[1]p \cdot \frac{1}{x} } y$x \xrightarrow{\cdot \col[1]p \cdot \frac{1}{x} } y$

Das führt also zu folgender Gleichung:

\triangleright$\triangleright$ Antiproportionale Veränderung bei der Funktionsgleichung

Dass sich die Werte antiproportional verändern, erkennst du an der Gleichung am besten, indem du Werte einsetzt: Setzt du einen doppelt so großen x$x$-Wert ein, kommt nur ein halb so großer y$y$ Wert wieder raus.

\triangleright$\triangleright$ Antiproportionale Zuordnung bei der Funktionsgleichung

Die antiproportionale Zuordnung erkennst du eigentlich direkt an der Gleichung selbst:
\rarr$\rarr$ Der Personenanzahl wird immer das \col[1]{12}\cdot \frac{1}{\textsf{Anzahl}}$\col[1]{12}\cdot \frac{1}{\textsf{Anzahl}}$-fache zugeordnet. Und genau das steht ja als Gleichung da!
\rarr$\rarr$ Oder auch: Jedem y$y$-Wert wird das \col[1]{12}\cdot \frac{1}{x}$\col[1]{12}\cdot \frac{1}{x}$-fache des x$x$-Werts zugewiesen.

\triangleright$\triangleright$ Produktgleichheit bei der Funkionsgleichung

Das Produkt aus den Wertepaaren (Personenanzahl x$x$ und Zeit y$y$) ist immer gleich. Das erkennst du, indem du die Gleichung so umstellt, dass das Produktt x \cdot y$x \cdot y$ da steht.
\rarr$\rarr$ Du siehst, dass dann x \cdot y = \col[1]{12}$x \cdot y = \col[1]{12}$ da steht und das heißt ja genau so was wie „*Das Produkt x \cdot y$x \cdot y$ ist immer \col[1]{12}$\col[1]{12}$.*“

Antiproportionale Zuordnungen Beispiele

Antiproportionale Zuordnungen erkennen

Aufgabe

Handelt es sich bei folgenden Wertepaaren um eine antiproportionale Zuordnung?

Lösung

Um zu prüfen, ob es sich um eine antiproportionale Zuordnung handelt, kannst du beispielsweise prüfen, ob das Produkt der Wertepaare immer gleich ist. Dann du erhälts dabei immer den Antiproportionalitätsfaktor:

Alle Wertepaare haben dasselbe Produkt. Also ist die hier vorliegende Zuordnung antiproportional. \checkmark$\checkmark$

Antiproportionale Zuordnungen berechnen

Aufgabe

Um eine Baugrube für ein Einfamilienhaus auszuheben, brauchen 3$3$ Bagger 36 \text{ h}$36 \text{ h}$.

a) Berechne zuerst den Antiproportionalitätsfaktor dieser antiproportionalen Zuordnung.

b) Stelle dann die Funktionsgleichung auf.

Lösung

In der Aufgabenstellung wird der Anzahl an Baggern die Arbeitszeit zugeordnet, also:

\boxed{ \textsf{Anzahl} \rarr \textsf{ Zeit}}$\boxed{ \textsf{Anzahl} \rarr \textsf{ Zeit}}$

Dies ist eine antiproportionale Zuordnung, denn je mehr Bagger, desto weniger Zeit.

a) Der **Antiproportionalitätsfaktor** ergibt sich ja aus dem Produkt der Wertepaare. Also „Anzahl mal Zeit“:

\rarr$\rarr$ Der Antiproportionalitätsfaktor ist also \col[1]{108}$\col[1]{108}$.

b) Mit dem Antiproportionalitätsfaktor kannst du nun ganz schnell die Gleichung aufstellen, denn alle antiproportionalen Zuordnungen lassen sich als Gleichung der Form \boxed{ y= \col[1]p \cdot \frac{1}{x} }$\boxed{ y= \col[1]p \cdot \frac{1}{x} }$ oder \boxed{ y= \frac{ \col[1]p}{x} }$\boxed{ y= \frac{ \col[1]p}{x} }$ darstellen. Mit \col[1]{p=108}$\col[1]{p=108}$ ergibt sich dann:

Antiproportionale Zuordnung Zusammenfassung

Eine antiproportionale Zuordnung kannst du als Wertetabelle, als Graph und als Gleichung darstellen.

1. Die Wertepaare der Tabelle einer antiproportionalen Zuordnung ändern sich gegensätzlich.

2. Der Graph einer antiproportionalen Zuordnung ist eine Hyperbel.

3. Die Gleichung einer antiproportionalen Zuordnung hat die Form:
   \boxed{y=\col[1]{p}\cdot \frac{1}{x}}$\boxed{y=\col[1]{p}\cdot \frac{1}{x}}$.

Dabei ist \col[1]p$\col[1]p$ der **Antiproportionalitätsfaktor**. Er ist das Produkt der beiden Wertepaare x \cdot y$x \cdot y$ und ist bei antiproportionalen Zuordnungen immer gleich.
\rarr$\rarr$ Das nennt man Produktgleichheit.