Lineare Funktionen Eigenschaften

Du lernst in der Schule gerade deine erste Funktion kennen, die aussieht wie ein Strich in der Landschaft? Dann ist das sicherlich eine lineare Funktion! Sie hat nämlich als Graph eine Gerade.

Aber wofür brauchst du solche linearen Funktionen überhaupt, was bedeutet y=mx+b$y=mx+b$ und welche Eigenschaften haben sie?

In der simpleclub-App zeigen wir dir, was es mit der Funktionsgleichung einer linearen Funktion und deren Funktionsgraphen sowie der Steigung und des y$y$-Achsenabschnitts auf sich hat.

Lineare Funktionen einfach erklärt

Die lineare Funktion ist die neben der proportionalen Funktion die einfachste Funktion, die es gibt.

Die lineare Funktion

• hat als Graph eine Gerade
  \rarr$\rarr$ Diese Gerade muss nicht durch den Ursprung gehen, sondern kann auch nach oben oder unten verschoben sein. Auch kann sie fallen und steigen.
• hat die Funktionsgleichung \boxed{ y=\col[1]{m}x\col[2]{+b} }$\boxed{ y=\col[1]{m}x\col[2]{+b} }$.
  \rarr$\rarr$ \col[1]{m}$\col[1]{m}$ ist die Steigung und \col[2]b$\col[2]b$ der \col[2]y$\col[2]y$**-Achsenabschnitt**
• lässt sich auch in eine Wertetabelle übertragen.
  \rarr$\rarr$ Ändern sich die x$x$-Werte einer linearen Funktion gleichmäßig (z.B. immer \col[4]{+1}$\col[4]{+1}$), dann müssen sich auch die y$y$-Werte gleichmäßig verändern (z.B. immer \col[5]{-3}$\col[5]{-3}$) \rarr$\rarr$ nur dann ist die Funktion linear!

Lineare Funktion Definition

Lineare Funktionen Erklärung

Wie jede Funktion hat auch die lineare Funktion viele Gesichter. Sie lässt sich also

• als Graph (Gerade),

• als Gleichung (Geradengleichung) und

• als Tabelle

darstellen. Alle drei Gesichter lernst du nun kennen:

Graph einer linearen Funktion

Das erste „Gesicht“, hinter dem sich eine lineare Funktion versteckt, ist der Funktionsgraph einer linearen Funktion. Dieser ist sehr einfach zu beschreiben, denn der Graph einer linearen Funktion ist einfach eine Gerade.
Der Graph einer linearen Funktion ist sehr ähnlich zum Graph einer proportionalen Funktion.

Der Graph einer linearen Funktion hat verschiedene Eigenschaften.

**Steigung** \col[1]{m}$\col[1]{m}$

Jede Gerade im Koordinatensystem hat eine bestimmte Steigung. Sie gibt an

• ob eine Gerade steigt oder fällt und
• wie steil bzw. flach die Gerade steigt/fällt.

\col[2]y$\col[2]y$-**Achsenabschnitt** \col[2]b$\col[2]b$

Der y$y$-Achsenabschnitt gibt an, wo die Gerade die y$y$-Achse schneidet \rarr$\rarr$ also wie stark die Gerade nach oben und unten verschoben ist.

Funktionsgleichung einer linearen Funktion

Wie der Name „lineare Funktion“ schon sagt, ist diese Funktion linear. \rarr$\rarr$ Das bedeutet, dass in der Funktionsgleichung immer nur ein „normales“ x$x$ (also ein x$x$ mit der Potenz 1$1$) steht.
Du findest in linearen Funktionen niemals ein x^2$x^2$ oder ein x^3$x^3$.

Deshalb werden lineare Funktionen auch oft Funktionen 1. Grades bezeichnet.

Wie du weißt, besitzt jede Funktion eine Zuordnungsvorschrift. Das heißt, ein Wert x$x$ aus der Ausgangsmenge wird einem Wert y$y$ aus der Zielmenge zugeordnet. Diese Zuordnung erfolgt bei Funktionen mittels einer Regel (der Zuordnungsvorschrift).

Bei linearen Funktionen lautet die Zuordnungsvorschrift:

Daraus ergibt sich dann folgende Funktionsgleichung für lineare Funktionen:

Da eine lineare Funktion als Graph immer eine Gerade hat, wird die Funktionsgleichung von linearen Funktionen auch oft Geradengleichung genannt.

• \col[1]{m}$\col[1]{m}$ steht hier für die **Steigung** der Geraden
  \rarr$\rarr$ Also wie steil oder flach die Gerade fällt/steigt.
• \col[2]{b}$\col[2]{b}$ steht für den \col[2]y$\col[2]y$**-Achsenabschnitt**
  \rarr$\rarr$ Er gibt an, wo die Gerade die y$y$-Achse schneidet.

Beispiele:

Beispiele für Funktionsgleichungen linearer Funktionen (Geradengleichungen) könnten sein:

Wertetabelle einer linearen Funktion

Das letzte „Gesicht“, hinter dem sich eine lineare Funktion „verstecken“ kann, ist die Wertetabelle.

Die Wertetabelle kennst du bereits von den Schaubildern von Zuordnungen.

\triangleright$\triangleright$ Veränderungs-Aspekt:
Es gibt noch eine weitere Betrachtungsweise: Nämlich wie sich die Wertepaare einer linearen Funktion verändern.
Dir sollte auffallen, dass sich die Wertepaare linear verändern. Das heißt, dass die Werte gleichmäßig zu- oder abnehmen.
\rarr$\rarr$ Erhöhst du beispielsweise die x$x$-Werte im Beispiel unten immer um \col[4]{+1}$\col[4]{+1}$, dann ändert sich der y$y$-Wert gleichmäßig mit, denn dieser ändert sich dann immer um \col[5]{-2}$\col[5]{-2}$.

\triangleright$\triangleright$ Zuordnungs-Aspekt:
Auch bei linearen Funktionen wird jedem x$x$ aus der Ausgangsmenge ein y$y$ aus der Zielmenge zugeordnet. Je nachdem wie die Zuordnungsvorschrift lautet. In der Tabelle unten lautet die Zuordnungsvorschrift x \mapsto 2x+1$x \mapsto 2x+1$.
\rarr$\rarr$ Einem Wert x$x$ wird hier also immer das 2x+1$2x+1$-fache zugeordnet.

\triangleright$\triangleright$ Zuordnungs- und Veränderungsaspekt im Vergleich
Hier findet du beide Ansichten nochmal im Vergleich:

Beispiele linearer Funktionen

Aufgabe Funktionsgleichung

Aufgabe

Gegeben sind folgende Funktionsgleichungen linearer Funktionen:

\small{\fcolorbox{white}{grey}{\textsf{a)}}} \normalsize ~~ f(x)=\frac{1}{3}x-5$\small{\fcolorbox{white}{grey}{\textsf{a)}}} \normalsize ~~ f(x)=\frac{1}{3}x-5$

\small{\fcolorbox{white}{grey}{\textsf{b)}}} \normalsize ~~ g(x)=-x+3$\small{\fcolorbox{white}{grey}{\textsf{b)}}} \normalsize ~~ g(x)=-x+3$

\small{\fcolorbox{white}{grey}{\textsf{c)}}} \normalsize ~~ h(x)=-2x$\small{\fcolorbox{white}{grey}{\textsf{c)}}} \normalsize ~~ h(x)=-2x$

Gib von jeder Funktion die Steigung und den y-Achsenabschnitt an.

Lösung

Die **Steigung** \col[1]{m }$\col[1]{m }$ einer linearen Funktionsgleichung liest du immer am Faktor vor dem x$x$ ab.
Und den **y-Achsenabschnitt** \col[2]{b}$\col[2]{b}$ liest du an dem Summanden ohne x$x$ ab:

• Die Steigung liegt hier bei \col[1]{m= \frac{1}{3}}$\col[1]{m= \frac{1}{3}}$.

• Der y-Achsenabschnitt liegt hier bei \col[2]{b=-5}$\col[2]{b=-5}$.

• Die Steigung liegt hier bei \col[1]{m= -1}$\col[1]{m= -1}$.
  Hinweis: Du kannst \col[1]{-}x$\col[1]{-}x$ auch zu \col[1]{-1}x$\col[1]{-1}x$ umschreiben, dann lässt sich die Steigung leichter ablesen.

• Der y-Achsenabschnitt liegt hier bei \col[2]{b=3}$\col[2]{b=3}$.

• Die Steigung liegt hier bei \col[1]{m=-2}$\col[1]{m=-2}$.

• Der y-Achsenabschnitt liegt hier bei \col[2]{b=0}$\col[2]{b=0}$.
  Hinweis: Steht hinten nach dem x$x$ kein Summand mehr, dann ist das einfach so, als würde dort ein unsichtbares \col[2]{+0}$\col[2]{+0}$ stehen.

Aufgabe Wertetabelle

Aufgabe

Schau dir folgende Wertetabelle an. Handelt es sich hier um eine lineare Funktion?

Lösung

Nein, denn der y$y$-Wert ändert sich nicht gleichmäßig \rarr$\rarr$ Die Funktion ist also nicht linear.

Aufgabe Begründen

Aufgabe

Gegeben ist folgender Graph:

Bearbeite folgende Aufgaben:

\small \fcolorbox{white}{grey}{\textsf{a)}}$\small \fcolorbox{white}{grey}{\textsf{a)}}$ Übertrage die Funktion in eine Wertetabelle.

\small \fcolorbox{white}{grey}{\textsf{b)}}$\small \fcolorbox{white}{grey}{\textsf{b)}}$ Handelt es sich um eine lineare Funktion?
Begründe mithilfe des Graphen UND mithilfe der Wertetabelle!

Lösung

\small \fcolorbox{white}{grey}{\textsf{a)}}$\small \fcolorbox{white}{grey}{\textsf{a)}}$ Zuerst sollst du die Funktion in eine Wertetabelle übertragen. Dafür schaust du dir einfach gut ablesbare Werte an und trägst diese ein:

\small \fcolorbox{white}{grey}{\textsf{b)}}$\small \fcolorbox{white}{grey}{\textsf{b)}}$ Anschließend sollst du mithilfe des Graphen UND mithilfe der Wertetabelle begründen, ob es sich um eine lineare Funktion handelt:

Ja, es handelt sich um eine lineare Funktion, denn....

• ... der Graph ist eine Gerade.

• ... die Werte in der Wertetabelle ändern sich gleichmäßig. \rarr$\rarr$ Während die x$x$-Werte immer um \col[4]{+1}$\col[4]{+1}$ steigen, nehmen die zugehörigen y$y$ -Werte immer um \col[5]{-2}$\col[5]{-2}$ ab.

Zusammenfassung

Eine lineare Funktion...

• ... hat als Graph eine Gerade.

• ... hat die Funktionsgleichung \boxed{ y=\col[1]{m}\cdot x\col[2]{+b} }$\boxed{ y=\col[1]{m}\cdot x\col[2]{+b} }$.

• ... lässt sich auch in eine Wertetabelle übertragen.
  \rarr$\rarr$ Die Werte ändern sich gleichmäßig.