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Dreisatz mit Prozenten

„20~\% $20~\%$ auf ALLES!“ Diese Anzeigen kennst du bestimmt vom Einkaufen. Aber wie viel kosten die Sachen denn jetzt noch?

Das kannst du mit der Formel des Prozentwertes berechnen. Du weißt die Formel aber nicht mehr? Kein Problem! Verwende einfach den Dreisatz mit Prozenten, der funktioniert nämlich immer!

simpleclub zeigt dir, wie du den Dreisatz mit Prozenten anwendest.

Dreisatz mit Prozenten einfach erklärt

Der Dreisatz heißt Dreisatz, weil du hier immer in drei Schritten vorgehst:

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Die bekannte Zuordnung aufschreiben.

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Auf das **Ein**fache schließen.

\fcolorbox{white}{grey}{3.} $\fcolorbox{white}{grey}{3.}$ Auf das gesuchte **Viel**fache schließen.

Dreisätze lassen sich übersichtlich in einer Art tabellarischer Form darstellen:

Tabelle mit zwei Spalten, bei der eine A und eine B heißt. Es sind drei leere Zeilen abgebildet und von einer zur nächsten Zeile jeweils ein Pfeil links und rechts.

Dieses Vorgehen kannst du nicht nur bei Zuordnungen anwenden (z.B. Gewicht der Äpfel \rightarrow $\rightarrow$ Preis), sondern auch bei Prozenten.

Der Dreisatz bei Prozenten funktioniert dabei genauso wie der proportionale Dreisatz. Du rechnest auf beiden Seiten also immer dasselbe.

Dreisatz mit Prozenten Definition

Mit dem Dreisatz kannst du bei Prozenten in drei Schritten sowohl den Prozentwert (W $W$ ), den Prozentsatz (p $p$ ) als auch den Grundwert (G $G$ ) berechnen.

Der Aufbau hängt davon ab, was du suchst.

Grundwert gesucht:

\small \begin{aligned} \col[3]{ : \big(} \quad \\[2mm] \col[3]{ ~ \cdot 100~ \big(} \quad \end{aligned} \begin{aligned} {\textsf{Prozentsatz}} \quad ~ \\[1mm] ? \quad ~~~~~~~~~ \\[1mm] {100~\%} \quad ~~~~ \end{aligned} ~ \begin{aligned} \overset{\wedge}{=} \\[1mm] \overset{\wedge}{=} \\[1mm] \overset{\wedge}{=} \end{aligned} ~~ \begin{aligned} & ~~~{\textsf{Prozentwert}}\\[1mm] & ~~~\qquad? \\[1mm] & ~~~~{\textsf{Grundwert}} \end{aligned} \small \begin{aligned} \quad \col[3]{ \big) :}~~~~~~~ \\[2mm] \quad \col[3]{ \big) ~ \cdot100} \end{aligned}

\small \begin{aligned} \col[3]{ : \big(} \quad \\[2mm] \col[3]{ ~ \cdot 100~ \big(} \quad \end{aligned} \begin{aligned} {\textsf{Prozentsatz}} \quad ~ \\[1mm] ? \quad ~~~~~~~~~ \\[1mm] {100~\%} \quad ~~~~ \end{aligned} ~ \begin{aligned} \overset{\wedge}{=} \\[1mm] \overset{\wedge}{=} \\[1mm] \overset{\wedge}{=} \end{aligned} ~~ \begin{aligned} & ~~~{\textsf{Prozentwert}}\\[1mm] & ~~~\qquad? \\[1mm] & ~~~~{\textsf{Grundwert}} \end{aligned} \small \begin{aligned} \quad \col[3]{ \big) :}~~~~~~~ \\[2mm] \quad \col[3]{ \big) ~ \cdot100} \end{aligned}

Prozentwert oder Prozentsatz gesucht:

\small \begin{aligned} \col[3]{ : \big(} \quad \\[2mm] \col[3]{ ~ \cdot ~ \big(} \quad \end{aligned} \begin{aligned} 100~\% \quad ~~~~~~ \\[1mm] ? \quad ~~~~~~~~~~ \\[1mm] {\textsf{Prozentsatz}} \quad ~ \end{aligned} ~ \begin{aligned} \overset{\wedge}{=} \\[1mm] \overset{\wedge}{=} \\[1mm] \overset{\wedge}{=} \end{aligned} ~~ \begin{aligned} & ~~~~{\textsf{Grundwert}}\\[1mm] & ~~~\qquad? \\[1mm] & ~~~{\textsf{Prozentwert}} \end{aligned} \small \begin{aligned} \quad \col[3]{ \big) :} \\[2mm] \quad \col[3]{ \big) ~ \cdot} \end{aligned}

\small \begin{aligned} \col[3]{ : \big(} \quad \\[2mm] \col[3]{ ~ \cdot ~ \big(} \quad \end{aligned} \begin{aligned} 100~\% \quad ~~~~~~ \\[1mm] ? \quad ~~~~~~~~~~ \\[1mm] {\textsf{Prozentsatz}} \quad ~ \end{aligned} ~ \begin{aligned} \overset{\wedge}{=} \\[1mm] \overset{\wedge}{=} \\[1mm] \overset{\wedge}{=} \end{aligned} ~~ \begin{aligned} & ~~~~{\textsf{Grundwert}}\\[1mm] & ~~~\qquad? \\[1mm] & ~~~{\textsf{Prozentwert}} \end{aligned} \small \begin{aligned} \quad \col[3]{ \big) :} \\[2mm] \quad \col[3]{ \big) ~ \cdot} \end{aligned}

Du kannst den Dreisatz mit dem Entspricht-Zeichen \overset{\wedge}{=} $\overset{\wedge}{=}$ oder in einer Tabelle schreiben.

Dreisatz mit Prozenten Erklärung

In der Prozentrechnung ist immer einer der folgenden Werte gesucht:

**Grundwert**: Der Wert, der 100~\% $100~\%$ entspricht.
z.B. 100~\% $100~\%$ entsprechen \col[4]{60} $\col[4]{60}$ Personen.
**Prozentwert**: Der Wert, der einem gegebenen Prozentsatz entspricht.
z.B. 20~\% $20~\%$ von 60 $60$ Personen sind \col[5]{12} $\col[5]{12}$ Personen.
**Prozentsatz**: Die Prozentangabe, die einem gegebenen Prozentwert entspricht.
z.B. 12 $12$ von 60 $60$ Personen entsprechen \col[6]{20~\%} $\col[6]{20~\%}$ .

Alle drei Werte können sowohl mit Formeln (siehe die Themen Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz) als auch mit dem Dreisatz berechnet werden! Der Vorteil des Dreisatzes ist, dass er immer nach demselben Schema funktioniert. Hast du das verstanden, kannst du anders als bei den Formeln gar nicht mehr durcheinander kommen!

Grundwert gesucht

Ist der **Grundwert** gesucht, dann ist immer ein Prozentwert und der dazugehörige Prozentsatz gegeben.

Du startest in der ersten Zeile also mit dem Prozentsatz und dem Prozentwert. Diese Zuordnung kennst du schließlich.
In der letzten Zeile steht der gesuchte Grundwert, der 100~\% $100~\%$ entspricht.

Dreisatztabelle, bei der in der ersten Zeile Prozentsatz und Prozentwert steht und in der letzten 100 % und Grundwert. Die Zeile dazwischen ist leer.

Lass uns das direkt an einem Beispiel ansehen.

Eine Fußballmannschaft bestehend aus der Startaufstellung und einigen Ersatzspielern kauft für alle Spieler neue Trikots. 15~\% $15~\%$ der Trikots haben aber eine falsche Beflockung. Das sind 3 $3$ Stück.
Wie viele Trikots wurden bestellt.

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Die bekannte Zuordnung aufschreiben.

\qquad\implies $\qquad\implies$ 3 $3$ Trikots entsprechen 15~\% $15~\%$ .

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Auf das **Ein**fache schließen.

\qquad\implies $\qquad\implies$ Auf \col[1]{1~\%} $\col[1]{1~\%}$ schließen.

\fcolorbox{white}{grey}{3.} $\fcolorbox{white}{grey}{3.}$ Auf das gesuchte **Viel**fache schließen.

\qquad\implies $\qquad\implies$ Auf \col[2]{100~\%} $\col[2]{100~\%}$ schließen.

Schritt

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Prozentwert gesucht

Ist der **Prozentwert** gesucht, dann ist immer ein Grundwert und ein Prozentsatz gegeben.

Nun startest du in der ersten Zeile mit dem gegebenen Grundwert, welcher 100~\% $100~\%$ entspricht. Diese Zuordnung kennst du nämlich.
In der letzten Zeile steht jetzt der gegebene Prozentsatz und der gesuchte Prozentwert.

Tabelle des Dreisatzes, bei dem in der ersten Zeile 100 % und Grundwert steht und in der letzten Zeile Prozentsatz und Prozentwert. Die zweite Zeile ist leer.

Lass uns das wieder am Beispiel von eben ansehen. Jetzt lautet die Fragestellung nur etwas anders:

Eine Fußballmannschaft mit 20 $20$ Spielern kauft für jeden Spieler ein neues Trikot. 15~\% $15~\%$ der gelieferten Trikots haben aber eine falsche Beflockung.
Wie viel Stück sind fehlerhaft?

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Die bekannte Zuordnung aufschreiben.

\qquad\implies $\qquad\implies$ 20 $20$ Trikots entsprechen 100~\% $100~\%$ .

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Auf das **Ein**fache schließen.

\qquad\implies $\qquad\implies$ Auf \col[1]{1~\%} $\col[1]{1~\%}$ schließen.

\fcolorbox{white}{grey}{3.} $\fcolorbox{white}{grey}{3.}$ Auf das gesuchte **Viel**fache schließen.

\qquad\implies $\qquad\implies$ Auf \col[2]{15~\%} $\col[2]{15~\%}$ schließen.

Schritt

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Übungen gefällig?

Nutze den Übungstest, um zu sehen, wie gut du das Thema verstehst. Wenn du dich bereit fühlst, kannst du dich selbst testen und sehen, welche Note du bekommen würdest!

Lerne mehr und teste dein Wissen mit dem Übungstest.

Prozentsatz gesucht

Ist der **Prozentsatz** gesucht, dann ist immer der Grundwert und ein Prozentwert gegeben.

Wie eben startest du in der ersten Zeile wieder mit dem gegebenen Grundwert, welcher 100~\% $100~\%$ entspricht. Diese Zuordnung kennst du ja auch hier.
In der letzten Zeile steht jetzt der gegebene Prozentwert und der gesuchte Prozentsatz.

Jetzt lautet die Fragestellung des Beispiels nochmal etwas anders:

Eine Fußballmannschaft mit 20 $20$ Spielern kauft für jeden Spieler ein neues Trikot. 3 $3$ der gelieferten Trikots haben aber eine falsche Beflockung.
Wie viel Prozent der Trikots sind fehlerhaft?

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Die bekannte Zuordnung aufschreiben.

\qquad\implies $\qquad\implies$ 20 $20$ Trikots entsprechen 100~\% $100~\%$ .

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Auf das **Ein**fache schließen.

\qquad\implies $\qquad\implies$ Auf \col[1]1 $\col[1]1$ Stück schließen.

\fcolorbox{white}{grey}{3.} $\fcolorbox{white}{grey}{3.}$ Auf das gesuchte **Viel**fache schließen.

\qquad\implies $\qquad\implies$ Auf \col[2]3 $\col[2]3$ Stück schließen.

Schritt

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Dreisatz mit Prozenten Beispiele

Einfaches Beispiel

Aufgabe

Ein Pool hat ein Fassungsvermögen von insgesamt 5000\text{ l} $5000\text{ l}$ . Es wurden bereits 1500\text{ l} $1500\text{ l}$ Wasser eingefüllt.

Zu wie viel Prozent ist der Pool bereits befüllt? Berechne mit dem Dreisatz.

Lösung

Du suchst den Prozentsatz. Also wie viel Prozent entsprechen die 1500\text{ l} $1500\text{ l}$ ?

Starte in der ersten Zeile der Tabelle also mit der bekannten Zuordnung. Das ist hier der Grundwert, welcher bekanntlich 100~\% $100~\%$ entspricht. Anschließend gehst du wie gewohnt in drei Schritten vor.

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Die bekannte Zuordnung aufschreiben.

\qquad\implies $\qquad\implies$ 5000\text{ l} $5000\text{ l}$ entsprechen 100~\% $100~\%$ .

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Auf das **Ein**fache schließen.

\qquad\implies $\qquad\implies$ Auf \col[1]{1\text{ l}} $\col[1]{1\text{ l}}$ schließen.

\fcolorbox{white}{grey}{3.} $\fcolorbox{white}{grey}{3.}$ Auf das gesuchte **Viel**fache schließen.

\qquad\implies $\qquad\implies$ Auf \col[2]{1500\text{ l}} $\col[2]{1500\text{ l}}$ schließen.

\small \begin{aligned} \col[3]{ :5000 ~ \big(} \quad \\[2mm] \col[3]{ ~ \cdot 1500~ \big(} \quad \end{aligned} \begin{aligned} 100~\% \quad ~ \\[1mm] {0,02~\%} \quad \\[1mm] \lsg{30~\%} \quad \end{aligned} ~ \begin{aligned} \overset{\wedge}{=} \\[1mm] \overset{\wedge}{=} \\[1mm] \overset{\wedge}{=} \end{aligned} ~~ \begin{aligned} & ~~~5000\text{ l}\\[1mm] & ~\qquad\col[1]{1\text{ l}} \\[1mm] & ~~~\col[2]{1500\text{ l}} \end{aligned} \small \begin{aligned} \quad \col[3]{ \big) :5000} \\[2mm] \quad \col[3]{ \big) \cdot1500} \end{aligned}

\small \begin{aligned} \col[3]{ :5000 ~ \big(} \quad \\[2mm] \col[3]{ ~ \cdot 1500~ \big(} \quad \end{aligned} \begin{aligned} 100~\% \quad ~ \\[1mm] {0,02~\%} \quad \\[1mm] \lsg{30~\%} \quad \end{aligned} ~ \begin{aligned} \overset{\wedge}{=} \\[1mm] \overset{\wedge}{=} \\[1mm] \overset{\wedge}{=} \end{aligned} ~~ \begin{aligned} & ~~~5000\text{ l}\\[1mm] & ~\qquad\col[1]{1\text{ l}} \\[1mm] & ~~~\col[2]{1500\text{ l}} \end{aligned} \small \begin{aligned} \quad \col[3]{ \big) :5000} \\[2mm] \quad \col[3]{ \big) \cdot1500} \end{aligned}

Der Pool ist bereits zu 30~\% $30~\%$ gefüllt.

Schwieriges Beispiel

Aufgabe

Nach einem Preisanstieg um 5~\% $5~\%$ kostet die Hose jetzt 52,50~€ $52,50~€$ .

Wie viel hat die Hose vor dem Preisanstieg gekostet? Berechne mit dem Dreisatz.

Lösung

Du suchst den Ursprungswert. Das ist nichts anderes als der Grundwert.

Gegeben ist also ein Prozentwert (52,50~€) $(52,50~€)$ und ein Prozentsatz. Der Prozentsatz kann dabei wie hier mit 100~\%+5~\%=105~\% $100~\%+5~\%=105~\%$ auch größer sein als 100~\% $100~\%$ .

Trotzdem kannst du aber unbeeindruckt die drei Schritte durchziehen.

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Die bekannte Zuordnung aufschreiben.

\qquad\implies $\qquad\implies$ 52,50~€ $52,50~€$ entsprechen 105~\% $105~\%$ .

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Auf das **Ein**fache schließen.

\qquad\implies $\qquad\implies$ Auf \col[1]{1~\%} $\col[1]{1~\%}$ schließen.

\fcolorbox{white}{grey}{3.} $\fcolorbox{white}{grey}{3.}$ Auf das gesuchte **Viel**fache schließen.

\qquad\implies $\qquad\implies$ Auf \col[2]{100~\%} $\col[2]{100~\%}$ schließen.

\small \begin{aligned} \col[3]{ :105 ~ \big(} \quad \\[2mm] \col[3]{ ~ \cdot 100~ \big(} \quad \end{aligned} \begin{aligned} 105~\% \quad ~ \\[1mm] \col[1]{1~\%} \quad ~ \\[1mm] \col[2]{100~\%} \quad \end{aligned} ~ \begin{aligned} \overset{\wedge}{=} \\[1mm] \overset{\wedge}{=} \\[1mm] \overset{\wedge}{=} \end{aligned} ~~ \begin{aligned} & ~52,50~€\\[1mm] & ~~~0,50~€ \\[1mm] & ~\lsg{50,00~€} \end{aligned} \small \begin{aligned} \quad \col[3]{ \big) :105}\\[2mm] \quad \col[3]{ \big) \cdot100} \end{aligned}

\small \begin{aligned} \col[3]{ :105 ~ \big(} \quad \\[2mm] \col[3]{ ~ \cdot 100~ \big(} \quad \end{aligned} \begin{aligned} 105~\% \quad ~ \\[1mm] \col[1]{1~\%} \quad ~ \\[1mm] \col[2]{100~\%} \quad \end{aligned} ~ \begin{aligned} \overset{\wedge}{=} \\[1mm] \overset{\wedge}{=} \\[1mm] \overset{\wedge}{=} \end{aligned} ~~ \begin{aligned} & ~52,50~€\\[1mm] & ~~~0,50~€ \\[1mm] & ~\lsg{50,00~€} \end{aligned} \small \begin{aligned} \quad \col[3]{ \big) :105}\\[2mm] \quad \col[3]{ \big) \cdot100} \end{aligned}

Die Hose hat ursprünglich 50~€ $50~€$ gekostet.

Dreisatz mit Prozenten Zusammenfassung

Der Dreisatz mit Prozenten funktioniert genauso wie der Dreisatz proportionaler Zuordnungen.

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Die bekannte Zuordnung aufschreiben.

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Auf das **Ein**fache schließen.

\fcolorbox{white}{grey}{3.} $\fcolorbox{white}{grey}{3.}$ Auf das gesuchte **Viel**fache schließen.

Um von einem zum nächsten Schritt zu kommen, rechnest du auf beiden Seiten der Tabelle dasselbe.

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