Parallelogramm - Flächeninhalt & Umfang

Bestimmt ist dir im Mathematik-Unterricht schon einmal das Parallelogramm begegnet. Im Alltag findet man solche Flächen eher selten, im Unterricht kommen sie allerdings immer wieder vor.

Von so einem Parallelogramm kannst du natürlich den Flächeninhalt und den Umfang berechnen.

simpleclub zeigt dir jetzt wie du ganz fix an die Formeln kommst, um sowohl den Flächeninhalt als auch den Umfang verschiedener Parallelogramme zu berechnen.

Flächeninhalt & Umfang eines Parallelogramms einfach erklärt

Umfang eines Parallelogramms

Bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander. Außerdem müssen sie auch immer gleich lang sein! Das bedeutet, du kannst den Umfang eines Parallelogramms mit der Umfangsformel des Rechtecks berechnen.

\rarr \text{A}_\textsf{P} = 2\col[3]a+2\col[2]bAP=2a+2b\rarr \text{A}_\textsf{P} = 2\col[3]a+2\col[2]b

Tippe auf das Parallelogramm und das Maßband.

Flächeninhalt eines Parallelogramms

Das Parallelogramm ist ein Viereck, daher benutzt du hier die Formel "Länge mal Höhe". Dabei ist die längere der beiden Grundseiten des Parallelogramms die Seite \col[3]{a}a\col[3]{a}. Diese multiplizierst du mit der Höhe.

\rarr \text{A}_\textsf{P} = \col[3]{a} \cdot \col[1]{h_a}AP=aha\rarr \text{A}_\textsf{P} = \col[3]{a} \cdot \col[1]{h_a}

Die Höhe ist dabei der Abstand (d.h. die Distanz) der beiden parallelen Grundseiten voneinander.

Umfang eines Parallelogramms Formel

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, das sich durch folgende Eigenschaften auszeichnet:

  • Gegenüberliegende Seiten sind parallel
  • Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang

Der Umfang eines Parallelogramms berechnet sich einfach aus der Summe aller vier Seiten. Da je zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind, bedeutet das also:

\boxed{\text{U}_\textsf{P}= 2\text{a}+2\text{b}}UP=2a+2b\boxed{\text{U}_\textsf{P}= 2\text{a}+2\text{b}}

Flächeninhalt eines Parallelogramms Formel

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnet sich aus ''Grundseite mal Höhe'', das bedeutet also:

\boxed{ \text{A}_P= a \cdot h_a}AP=aha\boxed{ \text{A}_P= a \cdot h_a}

Herleitung Flächeninhalt eines Parallelogramms

Du kannst dir die Formel für den Flächeninhalt auch einfach über bereits bekannte Flächen herleiten. Jedes Parallelogramm lässt sich nämlich durch einen Umbau in ein Rechteck verwandeln.

Start
Höhenlinie
Umbau

\rarr\rarr Das heißt, der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist einfach die Fläche des Rechtecks, das durch die Grundseite und die Höhenlinie begrenzt wird. Die Flächeninhaltsformel für Rechtecke kennst du ja bereits.


Flächeninhalt & Umfang eines Parallelogramms Beispiel

Aufgabe

Gegeben ist ein Parallelogramm mit den folgenden Längenmaßen:

\begin{aligned} a&=8 \text{ cm} \\ b&=4 \text{ cm} \\ h_a&=3 \text{ cm} \\ \end{aligned}a=8 cmb=4 cmha=3 cm\begin{aligned} a&=8 \text{ cm} \\ b&=4 \text{ cm} \\ h_a&=3 \text{ cm} \\ \end{aligned}
Parallelogramm

Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Parallelogramms.

Lösung

Du musst nun einfach die Werte aus der Angabe in die jeweilige Formel einsetzen.

Für den Umfang brauchst du die Formel \boxed{ \text{U}_\textsf{P}=2a+2b}UP=2a+2b\boxed{ \text{U}_\textsf{P}=2a+2b} und kannst dann direkt das Ergebnis berechnen.

\begin{aligned} \text{U}_\textsf{P} &=2a+2b\\ &= 2 \cdot 8\text{ cm} + 2 \cdot 4\text{ cm} \\ &= \lsg{ 24 \text{ cm} } \end{aligned}UP=2a+2b=28 cm+24 cm=24 cm\begin{aligned} \text{U}_\textsf{P} &=2a+2b\\ &= 2 \cdot 8\text{ cm} + 2 \cdot 4\text{ cm} \\ &= \lsg{ 24 \text{ cm} } \end{aligned}

Für den Flächeninhalt brauchst du die Formel \boxed{ \text{A}_\textsf{P}=a \cdot h_a }AP=aha\boxed{ \text{A}_\textsf{P}=a \cdot h_a } und kannst auch hier direkt das Ergebnis berechnen:

\begin{aligned} \text{A}_\textsf{P} &=a \cdot h_a \\[2mm] &= 8 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} \\[2mm] &= \lsg{ 24 \text{ cm}^2 } \end{aligned}AP=aha=8 cm3 cm=24 cm2\begin{aligned} \text{A}_\textsf{P} &=a \cdot h_a \\[2mm] &= 8 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} \\[2mm] &= \lsg{ 24 \text{ cm}^2 } \end{aligned}

Zusammenfassung

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, das sich durch folgende Eigenschaften auszeichnet:

  • Gegenüberliegende Seiten sind parallel
  • Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang

Der Umfang eines Parallelogramms berechnet sich einfach aus der Summe aller vier Seiten. Da je zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind, bedeutet das also:

\boxed{\text{U}_\textsf{P}= 2\text{a}+2\text{b}}UP=2a+2b\boxed{\text{U}_\textsf{P}= 2\text{a}+2\text{b}}

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnet sich aus ''Grundseite mal Höhe''. Das bedeutet also:

\boxed{ \text{A}_P= a \cdot h_a}AP=aha\boxed{ \text{A}_P= a \cdot h_a}
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