Binomische Formeln

Die binomischen Formeln sind Formeln zur Auflösung von zwei Klammern, die miteinander multipliziert werden. In den Klammern werden entweder zwei Elemente \col[1]{a}a\col[1]{a} und \col[2]{b}b\col[2]{b} addiert oder subtrahiert:

\begin{aligned} &\quad \bullet ~ (\col[1]{a} + \col[2]{b})^2 = \col[1]{a}^2 + 2\col[1]{a}\col[2]{b} + \col[2]{b}^2 \\ &\quad \bullet ~ (\col[1]{a}-\col[2]{b})^2 = \col[1]{a}^2 - 2\col[1]{a}\col[2]{b} + \col[2]{b}^2 \\ &\quad \bullet ~ (\col[1]{a}+\col[2]{b})\cdot (\col[1]{a}-\col[2]{b}) = \col[1]{a}^2 - \col[2]{b}^2 \end{aligned}(a+b)2=a2+2ab+b2(ab)2=a22ab+b2(a+b)(ab)=a2b2\begin{aligned} &\quad \bullet ~ (\col[1]{a} + \col[2]{b})^2 = \col[1]{a}^2 + 2\col[1]{a}\col[2]{b} + \col[2]{b}^2 \\ &\quad \bullet ~ (\col[1]{a}-\col[2]{b})^2 = \col[1]{a}^2 - 2\col[1]{a}\col[2]{b} + \col[2]{b}^2 \\ &\quad \bullet ~ (\col[1]{a}+\col[2]{b})\cdot (\col[1]{a}-\col[2]{b}) = \col[1]{a}^2 - \col[2]{b}^2 \end{aligned}

Erklärung

Die binomischen Formeln helfen dir dabei, Terme wie

\begin{aligned} & \quad \bullet ~ (x+4)^2 \\ & \quad \bullet ~ (x-4)^2\\ & \quad \bullet ~ (x+4)\cdot(x-4) \end{aligned}(x+4)2(x4)2(x+4)(x4)\begin{aligned} & \quad \bullet ~ (x+4)^2 \\ & \quad \bullet ~ (x-4)^2\\ & \quad \bullet ~ (x+4)\cdot(x-4) \end{aligned}

ohne großen Aufwand auszumultiplizieren.

Hierbei werden stets zwei Klammerterme mit zwei Einträgen \col[1]{a}a\col[1]{a} und \col[2]{b}b\col[2]{b} miteinander multipliziert.

Gleichzeitig kannst du die binomischen Formeln verwenden, um Terme wie

\begin{aligned} &\quad \bullet ~ x^2+8x+16 \\ &\quad \bullet ~ x^2-8x+16 \\ &\quad \bullet ~ x^2-16 \end{aligned}x2+8x+16x28x+16x216\begin{aligned} &\quad \bullet ~ x^2+8x+16 \\ &\quad \bullet ~ x^2-8x+16 \\ &\quad \bullet ~ x^2-16 \end{aligned}

wieder zu faktorisieren und diese somit in die Klammer-Schreibweise zu überführen.

\rarr\rarr Binomische Formeln funktionieren somit in zwei Richtungen

1. Binomische Formel

Die erste binomische Formel erkennst du daran, dass die beiden Einträge \col[1]{a}a\col[1]{a} und \col[2]{b}b\col[2]{b} in der Klammer addiert werden.

DIe Formel kannst du herleiten, indem du die Klammer (\col[1]{a}+\col[2]{b})(a+b)(\col[1]{a}+\col[2]{b}) mit sich selbst multiplizierst und vereinfachst:

\begin{aligned} (\col[1]{a}+\col[2]{b})^2 &= (\col[1]{a}+\col[2]{b})\cdot (\col[1]{a}+\col[2]{b}) \\ &= \col[1]{a}\cdot \col[1]{a}+\col[1]{a}\cdot \col[2]{b}+ \col[2]{b} \cdot \col[1]{a} + \col[2]{b}\cdot \col[2]{b} \\ &= \col[1]{a}^2 + 2\col[1]{a}\col[2]{b} + \col[2]{b}^2 \end{aligned}(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2\begin{aligned} (\col[1]{a}+\col[2]{b})^2 &= (\col[1]{a}+\col[2]{b})\cdot (\col[1]{a}+\col[2]{b}) \\ &= \col[1]{a}\cdot \col[1]{a}+\col[1]{a}\cdot \col[2]{b}+ \col[2]{b} \cdot \col[1]{a} + \col[2]{b}\cdot \col[2]{b} \\ &= \col[1]{a}^2 + 2\col[1]{a}\col[2]{b} + \col[2]{b}^2 \end{aligned}

Somit gilt:

1. Binomische Formel

(\col[1]{a}+\col[2]{b})^2 = \col[1]{a}^2 + 2\col[1]{a}\col[2]{b} + \col[2]{b}^2(a+b)2=a2+2ab+b2(\col[1]{a}+\col[2]{b})^2 = \col[1]{a}^2 + 2\col[1]{a}\col[2]{b} + \col[2]{b}^2

Beispiele:

\begin{aligned} &\quad \bullet ~ (\col[1]{x}+\col[2]{4})^2 = \col[1]{x}^2 + 2\col[1]{x}\cdot \col[2]{4} + \col[2]{4}^2 = \lsg{x^2+8x+16} \\[2mm] &\quad \bullet ~ x^2 + 8x + 16= \col[1]{x}^2 + 2\col[1]{x}\cdot \col[2]{4} + \col[2]{4}^2= \lsg{(\col[1]{x}+\col[2]{4})^2} \end{aligned}(x+4)2=x2+2x4+42=x2+8x+16x2+8x+16=x2+2x4+42=(x+4)2\begin{aligned} &\quad \bullet ~ (\col[1]{x}+\col[2]{4})^2 = \col[1]{x}^2 + 2\col[1]{x}\cdot \col[2]{4} + \col[2]{4}^2 = \lsg{x^2+8x+16} \\[2mm] &\quad \bullet ~ x^2 + 8x + 16= \col[1]{x}^2 + 2\col[1]{x}\cdot \col[2]{4} + \col[2]{4}^2= \lsg{(\col[1]{x}+\col[2]{4})^2} \end{aligned}

Geometrisch kannst du dir das auch wiefolgt herleiten:

Baue aus den Figuren ein großes Quadrat.

2. Binomische Formel

Bei der zweiten binomische Formel werden die Einträge \col[1]{a}a\col[1]{a} und \col[2]{b}b\col[2]{b} in der Klammer voneinander subtrahiert.

DIe Formel kannst du wie bei der ersten binomischen Formel herleiten, indem du die Klammer (\col[1]{a}-\col[2]{b})(ab)(\col[1]{a}-\col[2]{b}) mit sich selbst multiplizierst und dann wieder vereinfachst:

\begin{aligned} (\col[1]{a}-\col[2]{b})^2 &= (\col[1]{a}-\col[2]{b})\cdot (\col[1]{a}-\col[2]{b}) \\ &= \col[1]{a}\cdot \col[1]{a}+\col[1]{a}\cdot (-\col[2]{b}) + (-\col[2]{b})\cdot \col[1]{a}+ (-\col[2]{b})\cdot(-\col[2]{b})\\ &= \col[1]{a}\cdot \col[1]{a}-\col[1]{a}\cdot \col[2]{b} -\col[2]{b} \cdot \col[1]{a}+\col[2]{b} \cdot \col[2]{b}\\ &= \col[1]{a}^2 - 2\col[1]{a}\col[2]{b} + \col[2]{b}^2 \end{aligned}(ab)2=(ab)(ab)=aa+a(b)+(b)a+(b)(b)=aaabba+bb=a22ab+b2\begin{aligned} (\col[1]{a}-\col[2]{b})^2 &= (\col[1]{a}-\col[2]{b})\cdot (\col[1]{a}-\col[2]{b}) \\ &= \col[1]{a}\cdot \col[1]{a}+\col[1]{a}\cdot (-\col[2]{b}) + (-\col[2]{b})\cdot \col[1]{a}+ (-\col[2]{b})\cdot(-\col[2]{b})\\ &= \col[1]{a}\cdot \col[1]{a}-\col[1]{a}\cdot \col[2]{b} -\col[2]{b} \cdot \col[1]{a}+\col[2]{b} \cdot \col[2]{b}\\ &= \col[1]{a}^2 - 2\col[1]{a}\col[2]{b} + \col[2]{b}^2 \end{aligned}

Somit gilt:

2. Binomische Formel

(\col[1]{a}-\col[2]{b})^2 = \col[1]{a}^2 - 2\col[1]{a}\col[2]{b} + \col[2]{b}^2(ab)2=a22ab+b2(\col[1]{a}-\col[2]{b})^2 = \col[1]{a}^2 - 2\col[1]{a}\col[2]{b} + \col[2]{b}^2

Beispiele:

\begin{aligned} &\quad \bullet ~ (\col[1]{x}-\col[2]{4})^2 = \col[1]{x}^2 - 2\col[1]{x}\cdot \col[2]{4} + \col[2]{4}^2 = \lsg{x^2-8x+16} \\[2mm] &\quad \bullet ~ x^2-8x+16=\col[1]{x}^2 - 2\col[1]{x}\cdot \col[2]{4} + \col[2]{4}^2 = \lsg{(\col[1]{x}-\col[2]{4})^2} \end{aligned}(x4)2=x22x4+42=x28x+16x28x+16=x22x4+42=(x4)2\begin{aligned} &\quad \bullet ~ (\col[1]{x}-\col[2]{4})^2 = \col[1]{x}^2 - 2\col[1]{x}\cdot \col[2]{4} + \col[2]{4}^2 = \lsg{x^2-8x+16} \\[2mm] &\quad \bullet ~ x^2-8x+16=\col[1]{x}^2 - 2\col[1]{x}\cdot \col[2]{4} + \col[2]{4}^2 = \lsg{(\col[1]{x}-\col[2]{4})^2} \end{aligned}

Geometrisch kannst du dir das auch wiefolgt herleiten:

Bewege den Slider nach rechts.

3. Binomische Formel

Bei der dritten binomischen Formel multiplizierst du auch zwei Klammer-Ausdrücke miteinander. In diesem Fall werden in der einen Klammer \col[1]{a}a\col[1]{a} und \col[2]{b}b\col[2]{b} addiert und in der anderen Klammer \col[1]{a}a\col[1]{a} und \col[2]{b}b\col[2]{b} subtrahiert.

Multipliziere hier aus und vereinfache, um die Formel herzuleiten:

\begin{aligned} (\col[1]{a}+\col[2]{b})\cdot(\col[1]{a}-\col[2]{b}) &= (\col[1]{a}+\col[2]{b})\cdot(\col[1]{a}-\col[2]{b}) \\ &= \col[1]{a}\cdot \col[1]{a}+\col[1]{a}\cdot (-\col[2]{b}) + \col[2]{b}\cdot \col[1]{a} +\col[2]{b}\cdot (-\col[2]{b})\\ &= \col[1]{a}\cdot \col[1]{a}\cancel{-\col[1]{a} \cdot \col[2]{b}} \cancel{+ \col[2]{b}\cdot \col[1]{a}} -\col[2]{b}\cdot \col[2]{b} \\ &= \col[1]{a}^2 - \col[2]{b}^2 \end{aligned}(a+b)(ab)=(a+b)(ab)=aa+a(b)+ba+b(b)=aaab+babb=a2b2\begin{aligned} (\col[1]{a}+\col[2]{b})\cdot(\col[1]{a}-\col[2]{b}) &= (\col[1]{a}+\col[2]{b})\cdot(\col[1]{a}-\col[2]{b}) \\ &= \col[1]{a}\cdot \col[1]{a}+\col[1]{a}\cdot (-\col[2]{b}) + \col[2]{b}\cdot \col[1]{a} +\col[2]{b}\cdot (-\col[2]{b})\\ &= \col[1]{a}\cdot \col[1]{a}\cancel{-\col[1]{a} \cdot \col[2]{b}} \cancel{+ \col[2]{b}\cdot \col[1]{a}} -\col[2]{b}\cdot \col[2]{b} \\ &= \col[1]{a}^2 - \col[2]{b}^2 \end{aligned}

Somit gilt:

3. Binomische Formel

(\col[1]{a}+\col[2]{b})\cdot(\col[1]{a}-\col[2]{b}) = \col[1]{a}^2 - \col[2]{b}^2(a+b)(ab)=a2b2(\col[1]{a}+\col[2]{b})\cdot(\col[1]{a}-\col[2]{b}) = \col[1]{a}^2 - \col[2]{b}^2

Beispiele:

\begin{aligned} &\quad \bullet ~(\col[1]{x}+\col[2]{4})\cdot(\col[1]{x}-\col[2]{4}) = \col[1]{x}^2 - \col[2]{4}^2 = \lsg{x^2-16} \\[2mm] &\quad \bullet ~ x^2-16 =\col[1]{x}^2 - \col[2]{4}^2 = \lsg{(\col[1]{x}+\col[2]{4})\cdot(\col[1]{x}-\col[2]{4})} \end{aligned}(x+4)(x4)=x242=x216x216=x242=(x+4)(x4)\begin{aligned} &\quad \bullet ~(\col[1]{x}+\col[2]{4})\cdot(\col[1]{x}-\col[2]{4}) = \col[1]{x}^2 - \col[2]{4}^2 = \lsg{x^2-16} \\[2mm] &\quad \bullet ~ x^2-16 =\col[1]{x}^2 - \col[2]{4}^2 = \lsg{(\col[1]{x}+\col[2]{4})\cdot(\col[1]{x}-\col[2]{4})} \end{aligned}

Geometrisch kannst du dir das auch wiefolgt herleiten:

Schiebe den Button nach rechts.

Beispiele

1. Binomische Formel

Aufgabe

Löse von folgenden Gleichungen die Klammern auf und vereinfache, wenn möglich.

\begin{aligned} &\quad \bullet ~ (\col[1]{2}+\col[2]{x})^2 \\ &\quad \bullet ~ (\col[1]{-2}+\col[2]{z})^2 \\ &\quad \bullet ~ (\col[1]{2xy}+\col[2]{5})^2 \end{aligned}(2+x)2(2+z)2(2xy+5)2\begin{aligned} &\quad \bullet ~ (\col[1]{2}+\col[2]{x})^2 \\ &\quad \bullet ~ (\col[1]{-2}+\col[2]{z})^2 \\ &\quad \bullet ~ (\col[1]{2xy}+\col[2]{5})^2 \end{aligned}

Lösung

Wende die 1. Binomische Formel

\boxed{(\col[1]{a}+\col[2]{b})^2 = \col[1]{a}^2 + 2\col[1]{a}\col[2]{b} + \col[2]{b}^2}(a+b)2=a2+2ab+b2\boxed{(\col[1]{a}+\col[2]{b})^2 = \col[1]{a}^2 + 2\col[1]{a}\col[2]{b} + \col[2]{b}^2}

an:

\begin{aligned} \quad \bullet ~ (\col[1]{2}+\col[2]{x})^2 &= \col[1]{2}^2 + 2\cdot\col[1]{2}\col[2]{x} + \col[2]{x}^2 \\ &= \lsg{x^2+4x+4} \end{aligned}(2+x)2=22+22x+x2=x2+4x+4\begin{aligned} \quad \bullet ~ (\col[1]{2}+\col[2]{x})^2 &= \col[1]{2}^2 + 2\cdot\col[1]{2}\col[2]{x} + \col[2]{x}^2 \\ &= \lsg{x^2+4x+4} \end{aligned}\begin{aligned} \quad \bullet ~ (\col[1]{-2}+\col[2]{z})^2 &= (\col[1]{-2})^2 + 2\cdot(\col[1]{-2})\col[2]{z} + \col[2]{z}^2 \\ &= \lsg{z^2-4z+4} \end{aligned}(2+z)2=(2)2+2(2)z+z2=z24z+4\begin{aligned} \quad \bullet ~ (\col[1]{-2}+\col[2]{z})^2 &= (\col[1]{-2})^2 + 2\cdot(\col[1]{-2})\col[2]{z} + \col[2]{z}^2 \\ &= \lsg{z^2-4z+4} \end{aligned}\begin{aligned} \quad \bullet ~ (\col[1]{2xy}+\col[2]{5})^2 &= (\col[1]{2xy})^2 + 2\cdot (\col[1]{2xy})\cdot \col[2]{5} + \col[2]{5}^2 \\ &= \lsg{4x^2y^2+20xy+25} \end{aligned}(2xy+5)2=(2xy)2+2(2xy)5+52=4x2y2+20xy+25\begin{aligned} \quad \bullet ~ (\col[1]{2xy}+\col[2]{5})^2 &= (\col[1]{2xy})^2 + 2\cdot (\col[1]{2xy})\cdot \col[2]{5} + \col[2]{5}^2 \\ &= \lsg{4x^2y^2+20xy+25} \end{aligned}

2. Binomische Formel

Aufgabe

Löse von folgenden Gleichungen die Klammern auf und vereinfache, wenn möglich.

\begin{aligned} &\quad \bullet ~ (\col[1]{2}-\col[2]{x})^2 \\ &\quad \bullet ~(\col[1]{-2}-\col[2]{z})^2 \\ &\quad \bullet ~(\col[1]{2xy}-\col[2]{5})^2 \end{aligned}(2x)2(2z)2(2xy5)2\begin{aligned} &\quad \bullet ~ (\col[1]{2}-\col[2]{x})^2 \\ &\quad \bullet ~(\col[1]{-2}-\col[2]{z})^2 \\ &\quad \bullet ~(\col[1]{2xy}-\col[2]{5})^2 \end{aligned}

Lösung

Wende die 2. Binomische Formel

\boxed{(\col[1]{a}-\col[2]{b})^2 = \col[1]{a}^2 - 2\col[1]{a}\col[2]{b} + \col[2]{b}^2}(ab)2=a22ab+b2\boxed{(\col[1]{a}-\col[2]{b})^2 = \col[1]{a}^2 - 2\col[1]{a}\col[2]{b} + \col[2]{b}^2}

an:

\begin{aligned} \quad \bullet ~ (\col[1]{2}-\col[2]{x})^2 &= \col[1]{2}^2 - 2\cdot\col[1]{2}\col[2]{x} + \col[2]{x}^2 \\ &= \lsg{x^2-4x+4} \end{aligned}(2x)2=2222x+x2=x24x+4\begin{aligned} \quad \bullet ~ (\col[1]{2}-\col[2]{x})^2 &= \col[1]{2}^2 - 2\cdot\col[1]{2}\col[2]{x} + \col[2]{x}^2 \\ &= \lsg{x^2-4x+4} \end{aligned}\begin{aligned} \quad \bullet ~ (\col[1]{-2}-\col[2]{z})^2 &= (\col[1]{-2})^2 - 2\cdot(\col[1]{-2})\col[2]{z} + \col[2]{z}^2 \\ &= \lsg{z^2+4z+4} \end{aligned}(2z)2=(2)22(2)z+z2=z2+4z+4\begin{aligned} \quad \bullet ~ (\col[1]{-2}-\col[2]{z})^2 &= (\col[1]{-2})^2 - 2\cdot(\col[1]{-2})\col[2]{z} + \col[2]{z}^2 \\ &= \lsg{z^2+4z+4} \end{aligned}\begin{aligned} \quad \bullet ~ (\col[1]{2xy} - \col[2]{5})^2 &= (\col[1]{2xy})^2 - 2\cdot (\col[1]{2xy})\cdot \col[2]{5} + \col[2]{5}^2 \\ &= \lsg{4x^2y^2-20xy+25} \end{aligned}(2xy5)2=(2xy)22(2xy)5+52=4x2y220xy+25\begin{aligned} \quad \bullet ~ (\col[1]{2xy} - \col[2]{5})^2 &= (\col[1]{2xy})^2 - 2\cdot (\col[1]{2xy})\cdot \col[2]{5} + \col[2]{5}^2 \\ &= \lsg{4x^2y^2-20xy+25} \end{aligned}

3. Binomische Formel

Aufgabe

Löse von folgenden Gleichungen die Klammern auf und vereinfache, wenn möglich.

\begin{aligned} &\quad \bullet ~ (\col[1]{2}+\col[2]{x}) \cdot (\col[1]{2}-\col[2]{x}) \\ &\quad \bullet ~ (\col[1]{-2}+\col[2]{z})\cdot (\col[1]{-2}-\col[2]{z}) \\ &\quad \bullet ~ (\col[1]{2xy}+\col[2]{5})\cdot (\col[1]{2xy}-\col[2]{5}) \end{aligned}(2+x)(2x)(2+z)(2z)(2xy+5)(2xy5)\begin{aligned} &\quad \bullet ~ (\col[1]{2}+\col[2]{x}) \cdot (\col[1]{2}-\col[2]{x}) \\ &\quad \bullet ~ (\col[1]{-2}+\col[2]{z})\cdot (\col[1]{-2}-\col[2]{z}) \\ &\quad \bullet ~ (\col[1]{2xy}+\col[2]{5})\cdot (\col[1]{2xy}-\col[2]{5}) \end{aligned}

Lösung

Wende die 3. Binomische Formel

\boxed{(\col[1]{a}+\col[2]{b})\cdot(\col[1]{a}-\col[2]{b}) = \col[1]{a}^2 - \col[2]{b}^2}(a+b)(ab)=a2b2\boxed{(\col[1]{a}+\col[2]{b})\cdot(\col[1]{a}-\col[2]{b}) = \col[1]{a}^2 - \col[2]{b}^2}

an:

\begin{aligned} \quad \bullet ~ (\col[1]{2}+\col[2]{x}) \cdot (\col[1]{2}-\col[2]{x}) &= \col[1]{2}^2-\col[2]{x}^2 \\ &= \lsg{-x^2+4} \end{aligned}(2+x)(2x)=22x2=x2+4\begin{aligned} \quad \bullet ~ (\col[1]{2}+\col[2]{x}) \cdot (\col[1]{2}-\col[2]{x}) &= \col[1]{2}^2-\col[2]{x}^2 \\ &= \lsg{-x^2+4} \end{aligned}\begin{aligned} \quad \bullet ~ (\col[1]{-2}+\col[2]{z})\cdot (\col[1]{-2}-\col[2]{z}) &=(\col[1]{-2})^2-\col[2]{z}^2 \\ &=\lsg{-z^2+4} \end{aligned}(2+z)(2z)=(2)2z2=z2+4\begin{aligned} \quad \bullet ~ (\col[1]{-2}+\col[2]{z})\cdot (\col[1]{-2}-\col[2]{z}) &=(\col[1]{-2})^2-\col[2]{z}^2 \\ &=\lsg{-z^2+4} \end{aligned}\begin{aligned} \quad \bullet ~ (\col[1]{2xy}+\col[2]{5})\cdot (\col[1]{2xy}-\col[2]{5}) &= (\col[1]{2xy})^2-\col[2]{5}^2 \\ &= \lsg{4x^2y^2-25} \end{aligned}(2xy+5)(2xy5)=(2xy)252=4x2y225\begin{aligned} \quad \bullet ~ (\col[1]{2xy}+\col[2]{5})\cdot (\col[1]{2xy}-\col[2]{5}) &= (\col[1]{2xy})^2-\col[2]{5}^2 \\ &= \lsg{4x^2y^2-25} \end{aligned}
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