Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche

Bei der Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüchen muss man zwischen endlichen und periodischen Dezimalzahlen unterscheiden. Der Bruch wird jedoch in beiden Fällen mit der gleichen Formel gebildet:

Erklärung

Endliche Dezimalzahlen → Bruch

Zuerst schauen wir uns endliche Dezimalzahlen an, also Dezimalzahlen die nur begrenzt Nachkommastellen haben.

Zum Beispiel: 0,4$0,4$, 0,081$0,081$, 7,55$7,55$, 0,20$0,20$

Vorgehensweise

\fcolorbox{white}{grey}{1.}$\fcolorbox{white}{grey}{1.}$

Den **Zähler** kannst du eigentlich direkt aus der **Dezimalzahl ablesen**, indem du das Komma weglässt und alle Nullen am Anfang und am Ende wegstreichst.

Beispiele

• 0,45$0,45$ \implies$\implies$ Zähler = \col[1]{45}$\col[1]{45}$
• 0,081$0,081$ \implies$\implies$ Zähler = \col[1]{81}$\col[1]{81}$
• 7,55$7,55$ \implies$\implies$ Zähler = \col[1]{755}$\col[1]{755}$
• 0,20$0,20$ \implies$\implies$ Zähler = \col[1]{2}$\col[1]{2}$

\fcolorbox{white}{grey}{2.}$\fcolorbox{white}{grey}{2.}$

Die **Anzahl der Ziffern** deiner Zahl hinter dem Komma bestimmt den **Nenner** nach dem folgenden Muster:

• eine Ziffer \implies$\implies$ eine Null \implies$\implies$ Nenner = \col[2]{10}$\col[2]{10}$
• zwei Ziffern \implies$\implies$ zwei Nullen \implies$\implies$ Nenner = \col[2]{100}$\col[2]{100}$
• drei Ziffern \implies$\implies$ drei Nullen \implies$\implies$ Nenner = \col[2]{1000}$\col[2]{1000}$

Beispiele

• \col[1]{45}$\col[1]{45}$ \implies$\implies$ zwei Ziffern \implies$\implies$ Nenner = \col[2]{100}$\col[2]{100}$
• \col[1]{81}$\col[1]{81}$ \implies$\implies$ zwei Ziffern \implies$\implies$ Nenner = \col[2]{1 00 0}$\col[2]{1 00 0}$
• \col[1]{755}$\col[1]{755}$ \implies$\implies$ drei Ziffern \implies$\implies$ Nenner = \col[2]{1000}$\col[2]{1000}$
• \col[1]{2}$\col[1]{2}$ \implies$\implies$ eine Ziffer \implies$\implies$ Nenner = \col[2]{10}$\col[2]{10}$

\fcolorbox{white}{grey}{3.}$\fcolorbox{white}{grey}{3.}$

Im letzten Schritt notierst du den Bruch: \Large \col[3]{\frac{\col[1]{\textsf{Zähler}}}{\col[2]{\textsf{Nenner}}}}$\Large \col[3]{\frac{\col[1]{\textsf{Zähler}}}{\col[2]{\textsf{Nenner}}}}$

Beispiele:

• 0,45 = \Large \col[3]{\frac{\col[1]{45}}{\col[2]{100}}}$0,45 = \Large \col[3]{\frac{\col[1]{45}}{\col[2]{100}}}$

• 0,081= \Large \col[3]{\frac{\col[1]{81}}{\col[2]{1000}}}$0,081= \Large \col[3]{\frac{\col[1]{81}}{\col[2]{1000}}}$

• 0,755=\Large \col[3]{\frac{\col[1]{755}}{\col[2]{1000}}}$0,755=\Large \col[3]{\frac{\col[1]{755}}{\col[2]{1000}}}$

• 0,2 = \Large \col[3]{\frac{\col[1]{2}}{\col[2]{10}}}$0,2 = \Large \col[3]{\frac{\col[1]{2}}{\col[2]{10}}}$

Periodische Dezimalzahlen → Bruch

Nun schauen wir und Periodische Dezimalzahlen an, also Zahlen deren Nachkommastellen sich immer wiederholen.

Zum Beispiel: 0,\overline{45}$0,\overline{45}$, 0,\overline{081}$0,\overline{081}$, 0,\overline{20}$0,\overline{20}$, 2,\overline{4}$2,\overline{4}$, 10,\overline{34}$10,\overline{34}$

Vorgehensweise

\fcolorbox{white}{grey}{1.}$\fcolorbox{white}{grey}{1.}$

Den **Zähler** kannst du eigentlich direkt aus der **Dezimalzahl ablesen**, indem du das Komma weglässt und alle Nullen am Anfang weglässt.

Beispiele:

• 0,\overline{45}$0,\overline{45}$ \implies$\implies$ Zähler = \col[1]{45}$\col[1]{45}$
• 0,\overline{081}$0,\overline{081}$ \implies$\implies$ Zähler = \col[1]{81}$\col[1]{81}$
• 0,\overline{20}$0,\overline{20}$ \implies$\implies$ Zähler = \col[1]{20}$\col[1]{20}$

Achtung: Ist deine Dezimalzahl jedoch größer als 1$1$, so musst du die Zahl vor dem Komma mit entsprechend 9,99$9,99$ oder 999$999$ multiplizieren und mit der Zahl nach dem Komma addieren.

Beispiele:

• 2,\overline{4}$2,\overline{4}$ \implies$\implies$ 2\cdot 9 + 4 = 22$2\cdot 9 + 4 = 22$
• 10,\overline{34}$10,\overline{34}$ \implies$\implies$ 10\cdot99 + 34 = 1024$10\cdot99 + 34 = 1024$

\fcolorbox{white}{grey}{2.}$\fcolorbox{white}{grey}{2.}$

Der Nenner wird allerdings leicht anders gebildet. Trotzdem bestimmt auch hier die **Anzahl der Nachkommastellen** den **Nenner**. Allerdings nach dem folgenden Muster:

• 1$1$ Ziffer \implies$\implies$ Nenner = \col[2]{9}$\col[2]{9}$
• 2$2$ Ziffern \implies$\implies$ Nenner = \col[2]{99}$\col[2]{99}$
• 3$3$ Ziffern \implies$\implies$ Nenner = \col[2]{999}$\col[2]{999}$
• Und immer so weiter...

\fcolorbox{white}{grey}{3.}$\fcolorbox{white}{grey}{3.}$

Bruch aufschreiben: \Large \col[3]{\frac{\col[1]{\textsf{Zähler}}}{\col[2]{\textsf{Nenner}}}}$\Large \col[3]{\frac{\col[1]{\textsf{Zähler}}}{\col[2]{\textsf{Nenner}}}}$

Beispiele

Endliche Dezimalzahlen umwandeln

Aufgabe

Schreibe die Dezimalzahl 0,351$0,351$ als Bruch.

Lösung

\fcolorbox{white}{grey}{1.}$\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Zähler ablesen, alle Nullen vorne weglassen

0,351$0,351$ \implies$\implies$ 351

\fcolorbox{white}{grey}{2.}$\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Nenner nach der entsprechenden Formel ablesen

drei Ziffern \implies \col[2]{1000}$\implies \col[2]{1000}$

\fcolorbox{white}{grey}{3.}$\fcolorbox{white}{grey}{3.}$ Bruch notieren

\implies 0,351 =\Large \lsg{\col[3]{\frac{\col[1]{351}}{\col[2]{1000}}}}$\implies 0,351 =\Large \lsg{\col[3]{\frac{\col[1]{351}}{\col[2]{1000}}}}$

Periodische Dezimalzahlen umwandeln

Aufgabe

Schreibe die Dezimalzahl 0,\overline{351}$0,\overline{351}$ als Bruch.

Lösung

\fcolorbox{white}{grey}{1.}$\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Zähler ablesen, alle Nullen vorne weglassen

0,\overline{351}$0,\overline{351}$ \implies$\implies$ 351

\fcolorbox{white}{grey}{2.}$\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Nenner nach der entsprechenden Formel ablesen

drei Ziffern \implies \col[2]{999}$\implies \col[2]{999}$

\fcolorbox{white}{grey}{3.}$\fcolorbox{white}{grey}{3.}$ Bruch notieren

0,\overline{351} = \Large \lsg{\col[3]{\frac{\col[1]{351}}{\col[2]{999}}}}$0,\overline{351} = \Large \lsg{\col[3]{\frac{\col[1]{351}}{\col[2]{999}}}}$