Injektivität, Surjektivität und Bijektivität

Die drei Eigenschaften Injektivität, Surjektivität und Bijektivität beziehen sich auf Abbildungen zwischen zwei Mengen. Es handelt sich um Abbildungseigenschaften.


Erklärung

Eine Abbildung f:M \rightarrow Nf:MNf:M \rightarrow N ist eine eindeutige Zuordnung zwischen zwei Mengen MMM und NNN. Durch eine Abbildung fff wird dabei jedem x \in MxMx \in M aus der Definitionsmenge genau ein y \in NyNy \in N aus der Wertemenge zugeordnet.
Eine Abbildung kann injektiv, surjektiv oder bijektiv sein, je nachdem wie sie die Definitionsmenge auf die Wertemenge abbildet.

Injektivität

fff heißt injektiv, falls f(x_1) \neq f(x_2)f(x1)f(x2)f(x_1) \neq f(x_2) für alle x_1, x_2 \in Mx1,x2Mx_1, x_2 \in M mit x_1 \neq x_2x1x2x_1 \neq x_2 gilt.

Oder alternativ:
f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2f(x1)=f(x2)x1=x2f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2 für alle x_1, x_2 \in Mx1,x2Mx_1, x_2 \in M

  • Jedes Element der Wertemenge wird also maximal einmal als Funktionswert angenommen.
  • Das bedeutet, dass keine zwei verschiedenen Elemente der Definitionsmenge auf das gleiche Element der Wertemenge abgebildet werden.
  • Eine injektive Abbildung hat somit die Eigenschaft, dass ein Element yyy aus dem Wertebereich NNN höchstens ein Urbild x \in MxMx \in M besitzt.
  • Damit ist auch eine Rückidentifizierung von „rechts nach links“ möglich. Injektive Abbildungen werden deshalb oft als linkseindeutig bezeichnet.

Beispiele:

\begin{aligned} f&: ~\R \rightarrow \R, ~~x \mapsto 6x\\[2mm] f&: ~\R \rightarrow \R, ~~x \mapsto x^3 \end{aligned}f:RR,x6xf:RR,xx3\begin{aligned} f&: ~\R \rightarrow \R, ~~x \mapsto 6x\\[2mm] f&: ~\R \rightarrow \R, ~~x \mapsto x^3 \end{aligned}
Hier ist eine injektive Funktion dargestellt, bei der nicht auf jedes Element aus der Wertemenge abgebildet wird.
Abbildung zur Injektivität

Surjektivität

Eine Abbildung fff heißt surjektiv, falls es zu jedem y \in NyNy \in N mindestens ein x \in MxMx \in M mit y=f(x)y=f(x)y=f(x) gibt und damit f(M)=Nf(M)=Nf(M)=N gilt.

  • Für eine surjektive Abbildung gilt, dass der Wertebereich NNN so klein ist, dass jedes Element yyy aus dem Wertebereich NNN mindestens ein Urbild x \in MxMx \in M hat.
  • Jedes Element der Wertemenge wird also mindestens einmal angenommen, besitzt also ein nichtleeres Urbild.
  • Daher bezeichnet man surjektive Abbildungen auch als rechtstotal.
  • Beispiele: f: \R \rightarrow \R, x \mapsto 6x+4f:RR,x6x+4f: \R \rightarrow \R, x \mapsto 6x+4 oder f: \R \rightarrow \R{^+_0}, x \mapsto x^2f:RR0+,xx2f: \R \rightarrow \R{^+_0}, x \mapsto x^2
Hier ist eine Funktion dargestellt bei der jedes Element aus der Wertemenge mindestens einmal getroffen wird.
Abbildung zur Surjektivität

Bijektivität

Eine Abbildung fff heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

  • Eine bijektive Abbildung ordnet jedem Element x\in MxMx\in M durch die Zuordnungsvorschrift f(x)=yf(x)=yf(x)=y genau ein y \in NyNy \in N zu und umgekehrt.
  • Das heißt insbesondere, dass bei einer bijektiven Abbildung die Mengen MMM und NNN gleichmächtig sind, also |M|=|N|M=N|M|=|N| gilt.
  • Eine bijektive Abbildung besitzt stets eine Umkehrabbildung, sie ist also invertierbar.
  • Beispiele: f: \R \rightarrow \R, x \mapsto 6x+4f:RR,x6x+4f: \R \rightarrow \R, x \mapsto 6x+4 oder f: \R \rightarrow \R, x \mapsto x^3f:RR,xx3f: \R \rightarrow \R, x \mapsto x^3
Hier ist eine Funktion dargestellt bei der jedes Element aus der Definitionsmenge auf genau ein Element aus der Wertemenge abgebildet wird.
Abbildung zur Bijektivität

Die Komposition zweier injektiver (bzw. surjektiver, bijektiver) Abbildungen ist injektiv (bzw. surjektiv, bijektiv).


Beispiele

Hier ist eine Funktion dargestellt, bei der x1 und x4 beide auf y1 abbilden.
  • Diese Abbildung ist nicht injektiv, da das Element y_1y1y_1 zwei Urbilder hat.
  • Außerdem ist sie nicht surjektiv, da das Element y_3y3y_3 kein Urbild besitzt.
  • Damit ist die Abbildung auch nicht bijektiv.
Hier ist eine Funktion dargestellt, bei der jedes Element aus der Definitionsmenge auf genau ein Element aus der Wertemenge abgebildet wird.
  • Diese Abbildung ist injektiv, da jedes Element y_nyny_n mit n \in \NnNn \in \N höchstens ein Urbild hat.
  • Außerdem ist sie surjektiv, da jedes Element y_nyny_n mindestens ein Urbild besitzt.
  • Die Abbildung ist also injektiv und surjektiv und damit hat jedes Element y_nyny_n genau ein Urbild und ist damit bijektiv.
Hier ist eine Funktion dargestellt, bei der nicht auf jedes Element aus der Wertemenge abgebildet wird.
  • Die Abbildung ist injektiv, da jedes Element y_nyny_n höchstens ein Urbild hat.
  • Sie ist allerdings nicht surjektiv, da das Element y_3y3y_3 kein Urbild besitzt.
  • Damit ist die Abbildung nicht bijektiv.
Hier ist eine Funktion dargestellt, die auf die Elemente y1 und y2 genau einmal abbildet und auf das Element y3 aus der Wertemenge doppelt.
  • Diese Abbildung ist surjektiv, da jedes Element y_nyny_n mindestens ein Urbild besitzt.
  • Allerdings ist die Abbildung nicht injektiv, da das Element y_3y3y_3 zwei Urbilder hat.
  • Damit ist die Abbildung auch nicht bijektiv.
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