Trapeze nachweisen im Raum

Ein Trapez ist ein Viereck, das sich durch folgende Eigenschaft auszeichnet:

  • Zwei parallele Seiten

Nachweis

Du hast vier Punkte in einer Ebene gegeben, die ein Trapez bilden. Um das nachzuweisen, musst du nur zeigen, dass zwei Seiten parallel sind.

Schritt 1: Kantenvektoren bilden.

Die Kantenvektoren sind die Vektoren der Seiten.

Schritt 2: Prüfen, ob gegenüberliegende Kantenvektoren Vielfache voneinander sind.

Wenn ein Paar Kantenvektoren Vielfache voneinander sind, sind diese gegenüberliegenden Seiten parallel und das Viereck ist ein Trapez.

Besonderheit

Quadrate, Rauten, Rechtecke und Parallelogramme sind auch Trapeze.


Beispiel

Die Punkte A, B, C und D liegen in einer Ebene. Weise nach, dass sie ein Trapez bilden.

A~(3|2|1), B~(7|-1|8), C~(3|3|0), D~(1|4|-3)A(321),B(718),C(330),D(143)A~(3|2|1), B~(7|-1|8), C~(3|3|0), D~(1|4|-3)

Schritt 1: Kantenvektoren bilden.

\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 7-3 \\ -1-2 \\ 8-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}AB=(731281)=(437)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 7-3 \\ -1-2 \\ 8-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3-7 \\ 3-(-1) \\ 0-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ -8 \end{pmatrix}BC=(373(1)08)=(448)\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3-7 \\ 3-(-1) \\ 0-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ -8 \end{pmatrix}\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 4-3 \\ -3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}CD=(134330)=(213)\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 4-3 \\ -3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}\overrightarrow{DA} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 2-4 \\ 1-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}DA=(31241(3))=(224)\overrightarrow{DA} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 2-4 \\ 1-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}

Schritt 2: Prüfen, ob gegenüberliegende Kantenvektoren Vielfache voneinander sind.

Es liegen sich die Vektoren AB und CD sowie die Vektoren BC und DA gegenüber.

Du checkst am besten zuerst die Vektoren BC und DA, denn die sehen schon sehr verdächtig nach Vielfachen aus.

\overrightarrow{DA}=r\cdot\overrightarrow{BC}DA=rBC\overrightarrow{DA}=r\cdot\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} = (-2)\cdot\begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ -8 \end{pmatrix}(224)=(2)(448)\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} = (-2)\cdot\begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ -8 \end{pmatrix}

Damit sind die Vektoren BC und DA mit r=-2 Vielfache voneinander. Demzufolge handelt es sich beim Viereck ABCD um ein Trapez.

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