Winkel an Geradenkreuzungen

Schneiden sich zwei Geraden, dann schließen sie vier Winkel ein, die du alle bestimmen kannst. Du weißt bereits, wie du die Winkel mit deinem Geodreieck misst. Alle vier Winkel zu messen dauert aber ein bisschen.
Wäre es nicht toll, wenn du nur einen Winkel messen müsstest und die anderen drei ganz fix berechnen könntest?
simpleclub zeigt dir, welche Beziehungen zwischen Winkeln bestehen und wie dir das beim schnellen Bestimmen hilft.

Winkel an Geradenkreuzungen einfach erklärt

Bei der Winkelbetrachtung an Geradenkreuzungen wird zwischen einfachen Geradenkreuzungen und Doppelkreuzungen unterschieden.

Winkel an einfachen Geradenkreuzungen

Zwei Geraden, die nicht parallel zueinander sind, schneiden sich in einem Punkt. Dort bilden sie vier Schnittwinkel.
\rarr$\rarr$ Alle vier Schnittwinkel haben einen gemeinsamen Scheitelpunkt, welcher der Schnittpunkt der beiden Geraden ist.

Die vier Winkel stehen in folgenden Beziehungen zueinander:

• Nebenwinkel: Winkel, die nebeneinander liegen, heißen Nebenwinkel. Sie haben zusammen 180°$180°$.
  Hier: \col[1]{\alpha}+\col[2]{\beta}=180°$\col[1]{\alpha}+\col[2]{\beta}=180°$, \col[2]{\beta}+\col[3]{\gamma}=180°$\col[2]{\beta}+\col[3]{\gamma}=180°$, \col[3]{\gamma}+\col[4]{\delta}=180°$\col[3]{\gamma}+\col[4]{\delta}=180°$, \col[4]{\delta}+\col[1]{\alpha}=180°$\col[4]{\delta}+\col[1]{\alpha}=180°$

• Scheitelwinkel: Winkel, die gegenüber liegen, heißen Scheitelwinkel. Sie sind gleich groß.
  Hier: \col[1]{\alpha}=\col[3]{\gamma}$\col[1]{\alpha}=\col[3]{\gamma}$, \col[2]{\beta}=\col[4]{\delta}$\col[2]{\beta}=\col[4]{\delta}$

Winkel an parallelen Doppelkreuzungen

Bei Doppelkreuzungen werden zwei Geraden von einer Schnittgeraden geschnitten. Es entstehen zwei Schnittpunkte.

Eine besondere Form der Doppelkreuzungen sind parallele Doppelkreuzungen. Dabei sind zwei Geraden parallel. Diese werden von einer nicht parallelen Schnittgeraden geschnitten. Es bilden sich zwei Schnittpunkte mit insgesamt acht Schnittwinkel.

Zwischen den acht Winkeln bestehen folgende Beziehungen:

• Stufenwinkel: Winkel, die auf der gleichen Seite der Schnittgeraden und auf der gleichen Seite der Parallelen liegen, heißten Stufenwinkel. Sie sind gleich groß.
  Hier: \col[1]{\alpha_1}=\col[1]{\alpha_2}$\col[1]{\alpha_1}=\col[1]{\alpha_2}$, \col[2]{\beta_1}=\col[2]{\beta_2}$\col[2]{\beta_1}=\col[2]{\beta_2}$, \col[3]{\gamma_1}=\col[3]{\gamma_2}$\col[3]{\gamma_1}=\col[3]{\gamma_2}$, \col[4]{\delta_1}=\col[4]{\delta_2}$\col[4]{\delta_1}=\col[4]{\delta_2}$

• Wechselwinkel: Winkel, die auf unterschiedlichen Seiten der Schnittgeraden und auf unterschiedlichen Seiten der Parallelen liegen, heißen Wechselwinkel. Sie sind gleich groß.
  Hier: \col[1]{\alpha_1}=\col[3]{\gamma_2}$\col[1]{\alpha_1}=\col[3]{\gamma_2}$, \col[2]{\beta_1}=\col[4]{\delta_2}$\col[2]{\beta_1}=\col[4]{\delta_2}$, \col[3]{\gamma_1}=\col[1]{\alpha_2}$\col[3]{\gamma_1}=\col[1]{\alpha_2}$, \col[4]{\delta_1}=\col[2]{\beta_2}$\col[4]{\delta_1}=\col[2]{\beta_2}$

• Nachbarwinkel: Winkel, die auf der gleichen Seite der Schnittgeraden und auf unterschiedlichen Seiten der Parallelen liegen, heißen Nachbarwinkel. Sie haben zusammen 180°$180°$.
  Hier: \col[1]{\alpha_1}+\col[4]{\delta_2}=180°$\col[1]{\alpha_1}+\col[4]{\delta_2}=180°$, \col[2]{\beta_1}+\col[3]{\gamma_2}=180°$\col[2]{\beta_1}+\col[3]{\gamma_2}=180°$, \col[3]{\gamma_1}+\col[2]{\beta_2}=180°$\col[3]{\gamma_1}+\col[2]{\beta_2}=180°$, \col[4]{\delta_1}+\col[1]{\alpha_2}=180°$\col[4]{\delta_1}+\col[1]{\alpha_2}=180°$

Achtung: Diese Beziehungen existieren nur, wenn zwei der Geraden parallel sind! Sind sie nicht parallel, dann heißen die Winkel zwar trotzdem Stufenwinkel, Wechselwinkel und Nachbarwinkel. Dass sie gleich groß sind bzw. sich zu 180°$180°$ ergänzen, gilt dann aber nicht!

Winkel an Geradenkreuzungen Definition

Winkel an einfachen Geradenkreuzungen

Winkel an parallelen Doppelkreuzungen

Winkel an Geradenkreuzungen Erklärung

Winkel an einfachen Geradenkreuzungen

Nebenwinkel

Winkel, die nebeneinander liegen, haben zusammen immer 180°$180°$. Das ist ja auch logisch, schließlich bilden sie zusammen einen gestreckten Winkel und wie du bereits weißt, hat dieser genau 180°$180°$.

An jeder Geradenkreuzung gibt es immer vier Nebenwinkel. Dabei gilt, dass jeder Winkel zwei Nebenwinkel hat. Klicke bei folgender Animation auf einen Winkel, um die beiden Nebenwinkel zu sehen.

Scheitelwinkel

Jede Geradenkreuzung hat zwei Winkel, die sich jeweils gegenüber liegen. Diese sind jeweils gleich groß.

Die folgende Animation zeigt dir, welche beiden Scheitelwinkel es bei einfachen Geradenkreuzungen gibt.

Winkel an parallelen Doppelkreuzungen

Wichtig: Nachfolgende Winkeltypen existieren zwar auch bei nicht parallelen Doppelkreuzungen. Die beschriebenen Beziehungen (gleich groß bzw. zusammen 180°$180°$) gelten aber nur bei parallelen Doppelkreuzungen. Bei parallelen Doppelkreuzungen sind zwei Geraden parallel (hier g_1$g_1$ und g_2$g_2$) und eine Schnittgerade (hier h$h$) schneidet beide Parallelen.

Stufenwinkel (auch F-Winkel)

Stufenwinkel heißen so, weil eines der Stufenwinkelpaare (bei uns \col[3]{\gamma_1}$\col[3]{\gamma_1}$ und \col[3]{\gamma_2}$\col[3]{\gamma_2}$) so aussieht, als würden sie zwei Stufen einer Treppe bilden.

Bei demselben Winkelpaar könntest du dir auch ein F vorstellen, unter dem die beiden Winkel liegen. Deshalb werden sie auch F-Winkel genannt.

\rarr$\rarr$ Wichtig ist, dass sie auf der gleichen Seite der Schnittgeraden und auf der gleichen Seite der Parallelen liegen. Das ist für vier Winkelpaare der Fall, weshalb es immer vier Stufenwinkel gibt. Nachfolgende Animation zeigt dir alle vier Stufenwinkel.

Wie du in der Animation siehst, sind Stufenwinkel an parallelen Doppelkreuzungen immer gleich groß.

Wechselwinkel (auch Z-Winkel)

Diese Winkelpaare heißen so, weil sie auf unterschiedlichen Seiten der Schnittgeraden und auf unterschiedlichen Seiten der Parallelen liegen. Du kannst du also vorstellen, dass einer der Winkel die Seite wechselt.

Wechselwinkel werden auch Z-Winkel genannt. Das kommt daher, dass eines der Wechselwinkelpaare von einem Z eingeschlossen wird. Bei uns ist das \col[4]{\delta_1}$\col[4]{\delta_1}$ und \col[2]{\beta_2}$\col[2]{\beta_2}$.

Es gibt immer vier Wechselwinkel, die dir nachfolgende Animation zeigt.

Wie du in der Animation siehst, sind Wechselwinkel an parallelen Doppelkreuzungen immer gleich groß.

Nachbarwinkel (auch E-Winkel)

Nachbarwinkel heißen so, weil sie wie Nachbarn auf einer Seite der Straße (also der Schnittgeraden) liegen und entweder nah beieinander (Lieblingsnachbarn) oder möglichst weit entfernt sind (weniger beliebte Nachbarn). Bei uns sind z.B. \col[3]{\gamma_1}$\col[3]{\gamma_1}$ und \col[2]{\beta_2}$\col[2]{\beta_2}$ wie Lieblingsnachbarn einander zugeneigt.

Bei demselben Winkelpaar kannst du dir auch vorstellen, dass sie von einem E mit gedachtem Mittelstrich als Grundstücksgrenze getrennt sind. Deshalb wird der Nachbarwinkel auch E-Winkel genannt.

Wichtig ist, dass sie auf der gleichen Seite der Schnittgeraden, aber auf unterschiedlichen Seiten der Parallelen liegen. Das ist für nachfolgende vier Winkelpaare der Fall.

Nachbarwinkel an parallelen Doppelkreuzungen haben zusammen immer 180°$180°$.

Winkel an Geradenkreuzungen Beispiele

Beispiel einfache Geradenkreuzung

Aufgabe

Der Winkel \col[3]{\gamma}$\col[3]{\gamma}$ hat \col[3]{30°}$\col[3]{30°}$.

Berechne \col[1]{\alpha}$\col[1]{\alpha}$, \col[2]{\beta}$\col[2]{\beta}$ und \col[4]{\delta}.$\col[4]{\delta}.$

Lösung

• \col[1]{\alpha}$\col[1]{\alpha}$ und \col[3]{\gamma}$\col[3]{\gamma}$ sind Scheitelwinkel. Sie sind also gleich groß.
  \implies \col[1]{\alpha}=\lsg{\col[1]{30°}}$\implies \col[1]{\alpha}=\lsg{\col[1]{30°}}$

• \col[2]{\beta}$\col[2]{\beta}$ und \col[3]{\gamma}$\col[3]{\gamma}$ sind Nebenwinkel. Sie haben zusammen also 180°$180°$.
  \implies \col[2]{\beta}=180°-\col[3]{30°}=\lsg{\col[2]{150°}}$\implies \col[2]{\beta}=180°-\col[3]{30°}=\lsg{\col[2]{150°}}$

• \col[4]{\delta}$\col[4]{\delta}$ und \col[3]{\gamma}$\col[3]{\gamma}$ sind Nebenwinkel. Sie haben zusammen also 180°$180°$.
  \implies \col[4]{\delta}=180°-\col[3]{30°}=\lsg{\col[4]{150°}}$\implies \col[4]{\delta}=180°-\col[3]{30°}=\lsg{\col[4]{150°}}$

Kontrolle: Auch \col[2]{\beta}$\col[2]{\beta}$ und \col[4]{\delta}$\col[4]{\delta}$ sind Scheitelwinkel und deshalb gleich groß. Es muss also \col[2]{\beta}=\col[4]{\delta}$\col[2]{\beta}=\col[4]{\delta}$ gelten, was wegen \col[2]{150°}=\col[4]{150°}$\col[2]{150°}=\col[4]{150°}$ der Fall ist. \large\checkmark$\large\checkmark$

Beispiel parallele Doppelkreuzung

Aufgabe

g$g$ und h$h$ sind parallel (g\parallel h)$(g\parallel h)$ und werden von k$k$ geschnitten. Der Winkel \col[1]{\alpha=50°}$\col[1]{\alpha=50°}$ ist gegeben.

Berechne die Winkel \col[2]{\beta}$\col[2]{\beta}$, \col[3]{\gamma}$\col[3]{\gamma}$ und \col[4]{\delta}$\col[4]{\delta}$.

Lösung

Du hast verschiedene Möglichkeiten die Winkel zu berechnen.

Eine Möglichkeit ist folgende:

• \col[1]{\alpha}$\col[1]{\alpha}$ und \col[4]{\delta}$\col[4]{\delta}$ sind Nachbarwinkel. Sie haben zusammen 180°$180°$.
  \implies \col[4]{\delta}=180°-\col[1]{50°}=\lsg{\col[4]{130°}}$\implies \col[4]{\delta}=180°-\col[1]{50°}=\lsg{\col[4]{130°}}$

• \col[1]{\alpha}$\col[1]{\alpha}$ und \col[3]{\gamma}$\col[3]{\gamma}$ sind Wechselwinkel. Sie sind also gleich groß.
  \implies \col[3]{\gamma}=\lsg{\col[3]{50°}}$\implies \col[3]{\gamma}=\lsg{\col[3]{50°}}$

• \col[2]{\beta}$\col[2]{\beta}$ und \col[3]{\gamma}$\col[3]{\gamma}$ sind Stufenwinkel. Sie sind also gleich groß.
  \implies \col[2]{\beta}=\lsg{\col[2]{50°}}$\implies \col[2]{\beta}=\lsg{\col[2]{50°}}$

Winkel an Geradenkreuzungen Zusammenfassung

Es wird zwischen einfachen Geradenkreuzungen aus zwei sich schneidenden Geraden und parallelen Doppelkreuzungen aus zwei parallelen Geraden und einer Schnittgeraden durch beide Parallelen unterschieden.

Bei einfachen Geradenkreuzungen gibt es

• Nebenwinkel, die zusammen immer 180°$180°$ haben.
• Scheitelwinkel, die immer gleich groß sind.

Bei parallelen Doppelkreuzungen gibt es

• Stufenwinkel, die immer gleich groß sind.
• Wechselwinkel, die immer gleich groß sind.
• Nachbarwinkel, die zusammen immer 180°$180°$ haben.