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Quadratische Ergänzung

Mit der quadratischen Ergänzung kannst du quadratische Gleichungen lösen.

Erklärung

Möchtest du eine quadratische Gleichung lösen, musst du nach xxx auflösen.

x^2-6x+5=0x2−6x+5=0x^2-6x+5=0

Die Idee der quadratischen Ergänzung ist es, die Gleichung umzuschreiben, sodass du eine binomische Formel anwenden kannst.

Du formst also den linken Teil deiner Gleichung in diese Form um.

x^2+2 a x + a^2 = (x+a)^2x2+2ax+a2=(x+a)2x^2+2 a x + a^2 = (x+a)^2
  1. Terme vor xxx vergleichen und aaa berechnen.
  1. Trick: Quadrat von aaa auf beiden Seiten der Gleichung ergänzen.
  1. Gleichung umstellen, sodass binomische Formel auf einer Seite steht.
  1. Binomische Formel anwenden.

Nun ist die quadratische Ergänzung abgeschlossen. Du musst noch die Wurzel ziehen...

(x-3) = \pm\sqrt{4} = \pm2(x−3)=±4=±2(x-3) = \pm\sqrt{4} = \pm2

... und bekommst dann die beiden Lösungen der Gleichung.

x_1 = 3+2 = \underline{\underline{5}}x1=3+2=5‾‾x_1 = 3+2 = \underline{\underline{5}}x_2 = 3-2=\underline{\underline{1}}x2=3−2=1‾‾x_2 = 3-2=\underline{\underline{1}}

Gleichungen in Normalform bringen

Hinweis: Damit du die binomische Formel anwenden kannst, muss die quadratische Gleichung in Normalform sein.

x^2-6x+5 = 0x2−6x+5=0x^2-6x+5 = 0

Ist die Gleichung nicht in Normalform, teile die gesamte Gleichung durch den Vorfaktor.

\textcolor{sc_color_3}{2}x^2-12x+10 = 0 \space\space\space |: \textcolor{sc_color_3}{2}2x2−12x+10=0∣:2\textcolor{#DD2238}{2}x^2-12x+10 = 0 \space\space\space |: \textcolor{#DD2238}{2}x^2-6x + 5 = 0x2−6x+5=0x^2-6x + 5 = 0

Scheitelpunktform

Du kannst die quadratische Ergänzung auch nutzen, um eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform zu bringen.

Gehe dazu genauso vor wie bei der Gleichungsumformung. Du musst hier aber noch alle Rechenschritte wieder rückgängig machen.

\begin{aligned} x^2-6x+5& \space\space\space |+9\\ x^2-6x+9+5& \space\space\space |-5\\ x^2-6x+9&\\ (x-3)^2& \end{aligned}x2−6x+5∣+9x2−6x+9+5∣−5x2−6x+9(x−3)2\begin{aligned} x^2-6x+5& \space\space\space |+9\\ x^2-6x+9+5& \space\space\space |-5\\ x^2-6x+9&\\ (x-3)^2& \end{aligned}

Jetzt noch die Rechenschritte rückgängig machen.

\begin{aligned} (x-3)^2 &\space\space\space |+5\\ (x-3)^2 +5 &\space\space\space |-9\\ (x-3)^2 -4& \end{aligned}(x−3)2∣+5(x−3)2+5∣−9(x−3)2−4\begin{aligned} (x-3)^2 &\space\space\space |+5\\ (x-3)^2 +5 &\space\space\space |-9\\ (x-3)^2 -4& \end{aligned}

Dies ist die Scheitelpunktform.

Beispiele

Quadratische Ergänzung - einfach

Aufgabe

Bestimme die Lösung der quadratischen Gleichung

x^2+5x+6 = 0x2+5x+6=0x^2+5x+6 = 0

mittels quadratischer Ergänzung.

Lösung

Die Gleichung ist bereits in Normalform.

Du möchtest die Gleichung

x^2+5x+6 = 0x2+5x+6=0x^2+5x+6 = 0

in die Form

x^2+2ax+a^2x2+2ax+a2x^2+2ax+a^2

bringen.

Bestimme das a (Hälfte der Zahl vor dem x)

2a=52a=52a=5a=\dfrac{5}{2}a=52a=\dfrac{5}{2}

Ergänze das Quadrat von a auf beiden Seiten der Gleichung.

x^2+5x+6 + \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 = 0 + \left(\dfrac{5}{2}\right)^2x2+5x+6+(52)2=0+(52)2x^2+5x+6 + \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 = 0 + \left(\dfrac{5}{2}\right)^2\left(x^2+5x+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2\right) +6=\dfrac{25}{4}(x2+5x+(52)2)+6=254\left(x^2+5x+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2\right) +6=\dfrac{25}{4}

Schreibe jetzt alles für die binomische Formel auf die linke Seite und den Rest auf die rechte Seite.

\left(x^2+5x+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2\right) +6=\dfrac{25}{4} \space\space\space |-6(x2+5x+(52)2)+6=254∣−6\left(x^2+5x+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2\right) +6=\dfrac{25}{4} \space\space\space |-6\left(x^2+5x+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2\right) =\dfrac{25}{4}-\dfrac{24}{4} = \dfrac{1}{4}(x2+5x+(52)2)=254−244=14\left(x^2+5x+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2\right) =\dfrac{25}{4}-\dfrac{24}{4} = \dfrac{1}{4}

Wende nun die binomische Formel an.

\left(x+\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(x+52)2=14\left(x+\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}

Jetzt kannst du die Wurzel ziehen

x+\frac{5}{2} =\pm \frac{1}{2}x+52=±12x+\frac{5}{2} =\pm \frac{1}{2}

und du bekommst die beiden Lösungen der Gleichung.

x_1 = -\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{4}{2} = -2x1=−52+12=−42=−2x_1 = -\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{4}{2} = -2x_2 = -\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{6}{2} = -3x2=−52−12=−62=−3x_2 = -\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{6}{2} = -3

Quadratische Ergänzung - kompliziert

Aufgabe

Bestimme die Lösung der quadratischen Gleichung

2x^2+4x+3=22x2+4x+3=22x^2+4x+3=2

mittels quadratischer Ergänzung.

Lösung

Teile durch den Vorfaktor 2

\textcolor{sc_color_3}{2}x^2+4x+3\space\space\space |:\textcolor{sc_color_3}{2}2x2+4x+3∣:2\textcolor{#DD2238}{2}x^2+4x+3\space\space\space |:\textcolor{#DD2238}{2}x^2+2x+\frac{3}{2}x2+2x+32x^2+2x+\frac{3}{2}

Du möchtest die Gleichung

x^2+2x+\frac{3}{2} = 1x2+2x+32=1x^2+2x+\frac{3}{2} = 1

in die Form

x^2+2ax+a^2x2+2ax+a2x^2+2ax+a^2

bringen.

Bestimme das a (Hälfte der Zahl vor dem x)

2a=22a=22a=2a=1a=1a=1

Ergänze das Quadrat von a auf beiden Seiten der Gleichung.

x^2+2x+\frac{3}{2} + \left(1\right)^2 = 1 + \left(1\right)^2x2+2x+32+(1)2=1+(1)2x^2+2x+\frac{3}{2} + \left(1\right)^2 = 1 + \left(1\right)^2x^2+2x+1+\frac{3}{2}=2x2+2x+1+32=2x^2+2x+1+\frac{3}{2}=2

Schreibe jetzt alles für die binomische Formel auf die linke Seite und den Rest auf die rechte Seite.

x^2+2x+1+\frac{3}{2}=2 \space\space\space | - \frac{3}{2}x2+2x+1+32=2∣−32x^2+2x+1+\frac{3}{2}=2 \space\space\space | - \frac{3}{2}x^2+2x+1 = \frac{4-3}{2} = \frac{1}{2}x2+2x+1=4−32=12x^2+2x+1 = \frac{4-3}{2} = \frac{1}{2}

Wende nun die binomische Formel an.

(x+1)^2 = \frac{1}{2}(x+1)2=12(x+1)^2 = \frac{1}{2}

Jetzt kannst du die Wurzel ziehen

x+1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}x+1=±12x+1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}

und du bekommst die beiden Lösungen der Gleichung.

x_1 =-1+ \frac{1}{\sqrt{2}}x1=−1+12x_1 =-1+ \frac{1}{\sqrt{2}}x_2 =-1- \frac{1}{\sqrt{2}}x2=−1−12x_2 =-1- \frac{1}{\sqrt{2}}

Scheitelpunktform

Aufgabe

Bringe die Funktion

2x^2+4x+32x2+4x+32x^2+4x+3

in Scheitelpunktform.

Lösung

Merke dir alle Rechenschritte!

Bringe die Funktion in Normalform. Teile durch 2.

2x^2+4x+3 \space\space\space |\textcolor{sc_color_4}{:2}2x2+4x+3∣:22x^2+4x+3 \space\space\space |\textcolor{#00856C}{:2}x^2+2x+\frac{3}{2}x2+2x+32x^2+2x+\frac{3}{2}

Bestimme a.

a=\frac{2}{2} = 1a=22=1a=\frac{2}{2} = 1

Ergänze das Quadrat von a.

x^2+2x+\frac{3}{2} \space\space\space |\textcolor{sc_color_5}{+1}x2+2x+32∣+1x^2+2x+\frac{3}{2} \space\space\space |\textcolor{#A86500}{+1}x^2+2x+\frac{3}{2} + 1x2+2x+32+1x^2+2x+\frac{3}{2} + 1

Forme weiter um, bis du die binomische Formel anwenden kannst.

x^2+2x+\frac{3}{2} + 1 \space\space\space |\textcolor{sc_color_6}{-\frac{3}{2}}x2+2x+32+1∣−32x^2+2x+\frac{3}{2} + 1 \space\space\space |\textcolor{#9F35A5}{-\frac{3}{2}}x^2+2x + 1x2+2x+1x^2+2x + 1

Wende die binomische Formel an.

(x+1)^2(x+1)2(x+1)^2

Führe jetzt noch die Rechenschritte rückwärts aus.

(x+1)^2 \space\space\space |\textcolor{sc_color_6}{+\frac{3}{2}}(x+1)2∣+32(x+1)^2 \space\space\space |\textcolor{#9F35A5}{+\frac{3}{2}}(x+1)^2+\frac{3}{2} \space\space\space |\textcolor{sc_color_5}{-1}(x+1)2+32∣−1(x+1)^2+\frac{3}{2} \space\space\space |\textcolor{#A86500}{-1}(x+1)^2+\frac{1}{2} \space\space\space |\textcolor{sc_color_4}{\cdot2}(x+1)2+12∣⋅2(x+1)^2+\frac{1}{2} \space\space\space |\textcolor{#00856C}{\cdot2}2(x+1)^2+12(x+1)2+12(x+1)^2+1

Die Funktion ist jetzt in Scheitelpunktform.

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