Wurzelgleichungen

Gleichungen, die mindestens einen Wurzelterm enthalten, nennst du Wurzelgleichungen. Der Wurzelterm enthält hierbei meistens eine Variable.


Erklärung

Gleichungen der Form

\begin{aligned} & \quad \bullet ~ \sqrt{x+1}-4=9~ \\ & \quad \bullet ~ \sqrt{x-9}-\sqrt{2x-3}=4 \\ & \quad \bullet ~ \sqrt{\sqrt{x-5}+1}=2~ \end{aligned}x+14=9x92x3=4x5+1=2\begin{aligned} & \quad \bullet ~ \sqrt{x+1}-4=9~ \\ & \quad \bullet ~ \sqrt{x-9}-\sqrt{2x-3}=4 \\ & \quad \bullet ~ \sqrt{\sqrt{x-5}+1}=2~ \end{aligned}

nennst du Wurzelgleichungen. Du erkennst sie daran, dass sie mindestens eine Wurzel enthalten, wobei unter der Wurzel meistens eine Variable wie xxx steht.

Vorgehen

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Wurzel isolieren

Eine Gleichung, die eine Variable wie xxx enthält, löst du, indem du nach xxx auflöst. Bei Wurzelgleichungen steht das xxx hierbei meistens unter der Wurzel.

Die Wurzel kannst du durch Potenzieren auflösen. Bevor du allerdings potenzieren kannst, musst du oftmals zunächst die Wurzel isolieren. Damit ist gemeint, dass die Wurzel alleine stehen soll.

Hier siehst du einmal ein Beispiel, was passiert, wenn du die Wurzel nicht isolierst:

\begin{aligned} \sqrt{x+2}-2 &= 4 &&\quad | \col[1]{(}\square\col[1]{)^2} \\ \col[1]{\large(}\sqrt{x+2}-2\col[1]{\large)^2} &= 4\col[1]{^2} \\ (\sqrt{x+2}-2) \cdot (\sqrt{x+2}-2) &= 16 \\ \sqrt{x+2}\cdot \sqrt{x+2}-4\cdot \sqrt{x+2}+4 &= 16 \\ ... &= ... \end{aligned}x+22=4()2(x+22)2=42(x+22)(x+22)=16x+2x+24x+2+4=16...=...\begin{aligned} \sqrt{x+2}-2 &= 4 &&\quad | \col[1]{(}\square\col[1]{)^2} \\ \col[1]{\large(}\sqrt{x+2}-2\col[1]{\large)^2} &= 4\col[1]{^2} \\ (\sqrt{x+2}-2) \cdot (\sqrt{x+2}-2) &= 16 \\ \sqrt{x+2}\cdot \sqrt{x+2}-4\cdot \sqrt{x+2}+4 &= 16 \\ ... &= ... \end{aligned}

Wenn du Additions- oder Subtraktionsterme potenzierst (hier: quadrierst), wirst du die Wurzelterme nicht los, da du den gesamten Term mit sich selber mehrmals multiplizierst.

Merke dir daher stets zu Beginn die Wurzel zu isolieren (nicht immer zwingend erforderlich).

Beispiel:

\begin{aligned} \sqrt{x+2}-2 &= 4 &&\quad |+2 \\ \sqrt{x+2} &= 6 \end{aligned}x+22=4+2x+2=6\begin{aligned} \sqrt{x+2}-2 &= 4 &&\quad |+2 \\ \sqrt{x+2} &= 6 \end{aligned}

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Potenzieren und weitere Äquivalenzumformungen

Im nächsten Schritt kannst du die Wurzel durch Potenzieren auflösen.

Erinnere dich:

\begin{aligned} & \quad \bullet ~ \sqrt{\square} \implies (\square)\col[1]{^2} \\ & \quad \bullet ~ \sqrt[\col[1]{3}]{\square} \implies (\square)\col[1]{^3} \\ & \quad \bullet ~ \sqrt[\col[1]{4}]{\square} \implies (\square)\col[1]{^4} \\ & \quad \bullet ~... \\ & \quad \bullet ~ \sqrt[\col[1]{n}]{\square} \implies (\square)\col[1]{^n} \end{aligned}

Nach dem Potenzieren kannst du durch weitere Äquivalenzumformungen nach der Variablen auflösen.

Hinweis: Manchmal musst du wie beispielsweise bei einer doppelten Wurzel mehrmals potenzieren.

Beispiel:

\begin{aligned} \sqrt{x+2} &= 6 &&\quad | \col[1]{(}\square\col[1]{)^2} \\ \col[1]{\large (}\sqrt{x+2}\col[1]{\large )^2} &= 6\col[1]{^2} \\ x+2 &= 36 && \quad |-2 \\ x &= \lsg{34} \end{aligned}x+2=6()2(x+2)2=62x+2=362x=34\begin{aligned} \sqrt{x+2} &= 6 &&\quad | \col[1]{(}\square\col[1]{)^2} \\ \col[1]{\large (}\sqrt{x+2}\col[1]{\large )^2} &= 6\col[1]{^2} \\ x+2 &= 36 && \quad |-2 \\ x &= \lsg{34} \end{aligned}

Beispiele

Gleichung mit einer Wurzel

Aufgabe

Löse folgende Gleichung.

\sqrt{2x-8}+9 = 18 2x8+9=18\sqrt{2x-8}+9 = 18

Lösung

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Wurzel isolieren

\begin{aligned} \sqrt{2x-8}+9 &= 18 &&\quad |-9 \\ \sqrt{2x-8} &= 9 \end{aligned}2x8+9=1892x8=9\begin{aligned} \sqrt{2x-8}+9 &= 18 &&\quad |-9 \\ \sqrt{2x-8} &= 9 \end{aligned}

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Potenzieren und weitere Äquivalenzumformungen

\begin{aligned} \sqrt{2x-8} &= 9 &&\quad | \col[1]{(}\square\col[1]{)^2} \\ \col[1]{\large (}\sqrt{2x-8}\col[1]{\large )^2} &= 9\col[1]{^2} \\ 2x-8 &= 81 && \quad |+8 \\ 2x &= 89 && \quad |:2 \\ x &= \lsg{44,5} \end{aligned}2x8=9()2(2x8)2=922x8=81+82x=89:2x=44,5\begin{aligned} \sqrt{2x-8} &= 9 &&\quad | \col[1]{(}\square\col[1]{)^2} \\ \col[1]{\large (}\sqrt{2x-8}\col[1]{\large )^2} &= 9\col[1]{^2} \\ 2x-8 &= 81 && \quad |+8 \\ 2x &= 89 && \quad |:2 \\ x &= \lsg{44,5} \end{aligned}

Gleichung mit zwei Wurzeln

Aufgabe

Löse folgende Gleichung.

\sqrt{6x+2} - \sqrt{3x+4} = 06x+23x+4=0\sqrt{6x+2} - \sqrt{3x+4} = 0

Lösung

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Wurzel isolieren

In diesem Fall musst du nicht die Wurzel isolieren.

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Potenzieren und weitere Äquivalenzumformungen

Trenne die Wurzeln zunächst voneinander, damit du danach quadrieren kannst:

\begin{aligned} \sqrt{6x+2} - \sqrt{3x+5} &= 0 &&\quad |+\sqrt{3x+5} \\ \sqrt{6x+2} &= \sqrt{3x+5} &&\quad | \col[1]{(}\square\col[1]{)^2} \\ \col[1]{\large (}\sqrt{6x+2}\col[1]{\large{)}^2} &= \col[1]{\large(}\sqrt{3x+5}\col[1]{\large{)}^2} \\ 6x+2 &= 3x+5 && \quad |-3x \\ 3x+2 &= 5 && \quad |-2 \\ 3x &= 3 && \quad |:3 \\ x &= \lsg{1} \end{aligned}6x+23x+5=0+3x+56x+2=3x+5()2(6x+2)2=(3x+5)26x+2=3x+53x3x+2=523x=3:3x=1\begin{aligned} \sqrt{6x+2} - \sqrt{3x+5} &= 0 &&\quad |+\sqrt{3x+5} \\ \sqrt{6x+2} &= \sqrt{3x+5} &&\quad | \col[1]{(}\square\col[1]{)^2} \\ \col[1]{\large (}\sqrt{6x+2}\col[1]{\large{)}^2} &= \col[1]{\large(}\sqrt{3x+5}\col[1]{\large{)}^2} \\ 6x+2 &= 3x+5 && \quad |-3x \\ 3x+2 &= 5 && \quad |-2 \\ 3x &= 3 && \quad |:3 \\ x &= \lsg{1} \end{aligned}

Gleichung mit doppelter Wurzel

Aufgabe

Löse folgende Gleichung.

\sqrt{\sqrt{6x+1}-4} = 1 6x+14=1\sqrt{\sqrt{6x+1}-4} = 1

Lösung

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Wurzel isolieren

In diesem Fall musst du nicht die Wurzel isolieren.

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Potenzieren und weitere Äquivalenzumformungen

In diesem Fall musst du mehrmals potenzieren.

\begin{aligned} \sqrt{\sqrt{6x+1}-4} &= 1 && \quad | \col[1]{(}\square\col[1]{)^2} \\ \col[1]{\large (}\sqrt{\sqrt{6x+1}-4}\col[1]{\large)^2} &= 1\col[1]{^2} \\ \sqrt{6x+1}-4 &= 1 && \quad | +4 \\ \sqrt{6x+1} &= 5 && \quad | \col[1]{(}\square\col[1]{)^2} \\ \col[1]{\large (}\sqrt{6x+1}\col[1]{\large)^2} &= 5\col[1]{^2} \\ 6x+1&= 25 && \quad |-1 \\ 6x&= 24 && \quad |:6 \\ x &= \lsg{4} \end{aligned}6x+14=1()2(6x+14)2=126x+14=1+46x+1=5()2(6x+1)2=526x+1=2516x=24:6x=4\begin{aligned} \sqrt{\sqrt{6x+1}-4} &= 1 && \quad | \col[1]{(}\square\col[1]{)^2} \\ \col[1]{\large (}\sqrt{\sqrt{6x+1}-4}\col[1]{\large)^2} &= 1\col[1]{^2} \\ \sqrt{6x+1}-4 &= 1 && \quad | +4 \\ \sqrt{6x+1} &= 5 && \quad | \col[1]{(}\square\col[1]{)^2} \\ \col[1]{\large (}\sqrt{6x+1}\col[1]{\large)^2} &= 5\col[1]{^2} \\ 6x+1&= 25 && \quad |-1 \\ 6x&= 24 && \quad |:6 \\ x &= \lsg{4} \end{aligned}
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