Was ist eine Gleichung?

Bei einer Gleichung werden zwei Terme (also Rechenausdrücke) oder zwei Zahlen durch ein Gleichheitszeichen verbunden:

\textsf{Term 1} \underbrace{=}_{\textsf{Gleichheitszeichen}} \textsf{Term 2}Term1=GleichheitszeichenTerm2\textsf{Term 1} \underbrace{=}_{\textsf{Gleichheitszeichen}} \textsf{Term 2}

Damit eine Gleichung stimmt, müssen die Rechenausdrücke rechts und links vom Gleichheitszeichen den gleichen Wert aufweisen.


Erklärung

Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, zwischen denen ein Gleichheitszeichen steht.

Das Wort gleich, welches in Gleichung und Gleichheitszeichen auftaucht, sagt aus, dass die beiden Terme gleichwertig sind.

Du kannst dir das auch mit einer Balkenwaage vorstellen:

Balkenwaage mit Termen

Die beiden Terme links und rechts des Gleichheitszeichens müssen immer gleich (ausgewogen) sein.

Zusammenhang Terme & Gleichungen

Terme und Gleichungen hängen stark miteinander zusammen:

Eine Gleichung sagt aus, dass zwei Terme gleich sind, was durch das Gleichheitszeichen in der Mitte symbolisiert wird:

\textsf{Term 1} \underbrace{=}_{\textsf{Gleichheitszeichen}} \textsf{Term 2}Term1=GleichheitszeichenTerm2\textsf{Term 1} \underbrace{=}_{\textsf{Gleichheitszeichen}} \textsf{Term 2}

Beispiele:

\begin{aligned} &\bullet \quad \underbrace{60\ \text{s}}_{\textsf{Term 1}}=\underbrace{1\ \text{min}}_{\textsf{Term 2}} \\[2mm] &\bullet \quad \underbrace{2x}_{\textsf{Term 1}}=\underbrace{2x}_{\textsf{Term 2}} \\[2mm] &\bullet \quad \underbrace{7}_{\textsf{Term 1}}=\underbrace{3x-2}_{\textsf{Term 2}} \end{aligned} 60 sTerm1=1 minTerm22xTerm1=2xTerm27Term1=3x2Term2\begin{aligned} &\bullet \quad \underbrace{60\ \text{s}}_{\textsf{Term 1}}=\underbrace{1\ \text{min}}_{\textsf{Term 2}} \\[2mm] &\bullet \quad \underbrace{2x}_{\textsf{Term 1}}=\underbrace{2x}_{\textsf{Term 2}} \\[2mm] &\bullet \quad \underbrace{7}_{\textsf{Term 1}}=\underbrace{3x-2}_{\textsf{Term 2}} \end{aligned}

Im Folgenden siehst du noch einmal die genauen Unterschiede zwischen Termen und Gleichungen:

Terme

Gleichungen

  • Besteht aus Zahlen und Variablen, die mit Rechenzeichen miteinander verknüpft sind.
  • Für Variablen können beliebige Werte eingesetzt werden.
  • Auch eine einzelne Zahl ist schon ein Term.
  • Besteht aus zwei Termen, zwischen denen ein Gleichzeichen steht.
  • Für die Variablen gibt es häufig nur eine richtige Lösung.

Beispiele:

x^3-2x+142x-12421x32x+142x12421x^3-2x+142x-124216464644a4a4a

Beispiele:

x-3=6x3=6x-3=65=55=55=5z=zz=zz=z

Beispiel

Gleichungen erkennen

Aufgabe

Handelt es sich bei den folgenden Rechenausdrücken um Gleichungen?

\begin{aligned} \quad &\bullet \quad x^2 \\ \quad &\bullet \quad 1\ \text{m}=1000\ \text{cm} \\ \quad &\bullet \quad x=1 \\ \quad &\bullet \quad 1\ \text{kg}=1000\ \text{g} \\ \quad &\bullet \quad y^5+y^3+3y^2 -y+6 \\\quad &\bullet \quad z^2+2=z^3-1 \\ \quad &\bullet \quad 3=5 \\ \quad &\bullet \quad a=a \end{aligned}x21 m=1000 cmx=11 kg=1000 gy5+y3+3y2y+6z2+2=z313=5a=a\begin{aligned} \quad &\bullet \quad x^2 \\ \quad &\bullet \quad 1\ \text{m}=1000\ \text{cm} \\ \quad &\bullet \quad x=1 \\ \quad &\bullet \quad 1\ \text{kg}=1000\ \text{g} \\ \quad &\bullet \quad y^5+y^3+3y^2 -y+6 \\\quad &\bullet \quad z^2+2=z^3-1 \\ \quad &\bullet \quad 3=5 \\ \quad &\bullet \quad a=a \end{aligned}

Lösung

Eine Gleichung hat immer die Form

\boxed{\textsf{Term 1} \underbrace{=}_{\textsf{Gleichheitszeichen}} \textsf{Term 2}}Term1=GleichheitszeichenTerm2\boxed{\textsf{Term 1} \underbrace{=}_{\textsf{Gleichheitszeichen}} \textsf{Term 2}}

wobei ein Term hierbei aus Variablen, Zahlen, Einheiten und Rechenzeichen bestehen darf.

Des Weiteren erfüllt eine Gleichung die Eigenschaft, dass Term 1 und Term 2 gleichwertig sind.

Für die folgenden Rechenausdrücke folgt also:

Rechenausdruck

Handelt es sich um eine Gleichung?

x^2 x2x^2

Nein, da es nicht der Form \textsf{Term 1} = \textsf{Term 2}Term1=Term2\textsf{Term 1} = \textsf{Term 2} entspricht.

1\ \text{m}=1000\ \text{cm} 1 m=1000 cm1\ \text{m}=1000\ \text{cm}

Nein, da es nicht der Form \textsf{Term 1} = \textsf{Term 2}Term1=Term2\textsf{Term 1} = \textsf{Term 2} entspricht. 1\ \text{m}1 m1\ \text{m} und 1000\ \text{cm}1000 cm1000\ \text{cm} sind schließlich nicht gleich. 1\ \text{m}1 m1\ \text{m} und 100\ \text{cm}100 cm100\ \text{cm} wären gleich.

x=1 x=1x=1

Ja, da es der Form \textsf{Term 1} = \textsf{Term 2}Term1=Term2\textsf{Term 1} = \textsf{Term 2} entspricht.

1\ \text{kg}=1000\ \text{g} 1 kg=1000 g1\ \text{kg}=1000\ \text{g}

Ja, da es der Form \textsf{Term 1} = \textsf{Term 2}Term1=Term2\textsf{Term 1} = \textsf{Term 2} entspricht. 1\ \text{kg}1 kg1\ \text{kg} sind außerdem genauso viel wie 1000\ \text{g}1000 g1000\ \text{g}.

y^5+y^3+3y^2-y+6 y5+y3+3y2y+6y^5+y^3+3y^2-y+6

Nein, da es nicht der Form \textsf{Term 1} = \textsf{Term 2}Term1=Term2\textsf{Term 1} = \textsf{Term 2} entspricht.

z^2+2=z^3-1 z2+2=z31z^2+2=z^3-1

Ja, da es der Form \textsf{Term 1} = \textsf{Term 2}Term1=Term2\textsf{Term 1} = \textsf{Term 2} entspricht.

3=5 3=53=5

Nein, da es nicht der Form \textsf{Term 1} = \textsf{Term 2}Term1=Term2\textsf{Term 1} = \textsf{Term 2} entspricht. 333 und 555 sind schließlich nicht gleich.

a=aa=aa=a

Ja, da es der Form \textsf{Term 1} = \textsf{Term 2}Term1=Term2\textsf{Term 1} = \textsf{Term 2} entspricht.

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