Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche

Bei der Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüchen muss man zwischen endlichen und periodischen Dezimalzahlen unterscheiden. Der Bruch wird jedoch in beiden Fällen mit der gleichen Formel gebildet:

\col[3]{\frac{\col[1]{\textsf{Dezimalzahl ohne Komma}}}{\col[2]{\textsf{Anzahl der Nachkommastellen}}}}DezimalzahlohneKommaAnzahlderNachkommastellen\col[3]{\frac{\col[1]{\textsf{Dezimalzahl ohne Komma}}}{\col[2]{\textsf{Anzahl der Nachkommastellen}}}}

Erklärung

Man kann jede endliche und periodische Dezimalzahl als Bruch darstellen.

Endliche Dezimalzahlen → Bruch

Zuerst schauen wir uns endliche Dezimalzahlen an, also Dezimalzahlen die nur begrenzt Nachkommastellen haben.

Zum Beispiel: 0,40,40,4, 0,0810,0810,081, 7,557,557,55, 0,200,200,20

Vorgehensweise

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.}

Den **Zähler** kannst du eigentlich direkt aus der **Dezimalzahl ablesen**, indem du das Komma weglässt und alle Nullen am Anfang und am Ende wegstreichst.

Beispiele

  • 0,450,450,45 \implies\implies Zähler = \col[1]{45}45\col[1]{45}
  • 0,0810,0810,081 \implies\implies Zähler = \col[1]{81}81\col[1]{81}
  • 7,557,557,55 \implies\implies Zähler = \col[1]{755}755\col[1]{755}
  • 0,200,200,20 \implies\implies Zähler = \col[1]{2}2\col[1]{2}

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.}

Die **Anzahl der Ziffern** deiner Zahl hinter dem Komma bestimmt den **Nenner** nach dem folgenden Muster:

  • eine Ziffer \implies\implies eine Null \implies\implies Nenner = \col[2]{10}10\col[2]{10}
  • zwei Ziffern \implies\implies zwei Nullen \implies\implies Nenner = \col[2]{100}100\col[2]{100}
  • drei Ziffern \implies\implies drei Nullen \implies\implies Nenner = \col[2]{1000}1000\col[2]{1000}

Beispiele

  • \col[1]{45}45\col[1]{45} \implies\implies zwei Ziffern \implies\implies Nenner = \col[2]{100}100\col[2]{100}
  • \col[1]{81}81\col[1]{81} \implies\implies zwei Ziffern \implies\implies Nenner = \col[2]{100}100\col[2]{100}
  • \col[1]{755}755\col[1]{755} \implies\implies drei Ziffern \implies\implies Nenner = \col[2]{1000}1000\col[2]{1000}
  • \col[1]{2}2\col[1]{2} \implies\implies eine Ziffer \implies\implies Nenner = \col[2]{10}10\col[2]{10}

\fcolorbox{white}{grey}{3.}3.\fcolorbox{white}{grey}{3.}

Im letzten Schritt notierst du den Bruch: \Large \col[3]{\frac{\col[1]{\textsf{Zähler}}}{\col[2]{\textsf{Nenner}}}}Za¨hlerNenner\Large \col[3]{\frac{\col[1]{\textsf{Zähler}}}{\col[2]{\textsf{Nenner}}}}

Beispiele:

  • 0,45 = \Large \col[3]{\frac{\col[1]{45}}{\col[2]{100}}}0,45=451000,45 = \Large \col[3]{\frac{\col[1]{45}}{\col[2]{100}}}

  • 0,81= \Large \col[3]{\frac{\col[1]{81}}{\col[2]{100}}}0,81=811000,81= \Large \col[3]{\frac{\col[1]{81}}{\col[2]{100}}}

  • 0,755=\Large \col[3]{\frac{\col[1]{755}}{\col[2]{1000}}}0,755=75510000,755=\Large \col[3]{\frac{\col[1]{755}}{\col[2]{1000}}}

  • 0,2 = \Large \col[3]{\frac{\col[1]{2}}{\col[2]{10}}}0,2=2100,2 = \Large \col[3]{\frac{\col[1]{2}}{\col[2]{10}}}

Start
Zähler aufschreiben
Nenner aufschreiben
Bruch aufschreiben

Periodische Dezimalzahlen → Bruch

Nun schauen wir und Periodische Dezimalzahlen an, also Zahlen deren Nachkommastellen sich immer wiederholen.

Zum Beispiel: 0,\overline{45}0,450,\overline{45}, 0,\overline{081}0,0810,\overline{081}, 0,\overline{20}0,200,\overline{20}, 2,\overline{4}2,42,\overline{4}, 10,\overline{34}10,3410,\overline{34}

Vorgehensweise

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.}

Den **Zähler** kannst du eigentlich direkt aus der **Dezimalzahl ablesen**, indem du das Komma weglässt und alle Nullen am Anfang weglässt.

Beispiele:

  • 0,\overline{45}0,450,\overline{45} \implies\implies Zähler = \col[1]{45}45\col[1]{45}
  • 0,\overline{081}0,0810,\overline{081} \implies\implies Zähler = \col[1]{81}81\col[1]{81}
  • 0,\overline{20}0,200,\overline{20} \implies\implies Zähler = \col[1]{20}20\col[1]{20}

Achtung: Ist deine Dezimalzahl jedoch größer als 111, so musst du die Zahl vor dem Komma mit entsprechend 9,999,999,99 oder 999999999 multiplizieren und mit der Zahl nach dem Komma addieren.

Beispiele:

  • 2,\overline{4}2,42,\overline{4} \implies\implies 2\cdot 9 + 4 = 2229+4=222\cdot 9 + 4 = 22
  • 10,\overline{34}10,3410,\overline{34} \implies\implies 10\cdot99 + 34 = 10241099+34=102410\cdot99 + 34 = 1024

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.}

Der Nenner wird allerdings leicht anders gebildet. Trotzdem bestimmt auch hier die **Anzahl der Nachkommastellen** den **Nenner**. Allerdings nach dem folgenden Muster:

  • 111 Ziffer \implies\implies Nenner = \col[2]{9}9\col[2]{9}
  • 222 Ziffern \implies\implies Nenner = \col[2]{99}99\col[2]{99}
  • 333 Ziffern \implies\implies Nenner = \col[2]{999}999\col[2]{999}
  • Und immer so weiter...

\fcolorbox{white}{grey}{3.}3.\fcolorbox{white}{grey}{3.}

Bruch aufschreiben: \Large \col[3]{\frac{\col[1]{\textsf{Zähler}}}{\col[2]{\textsf{Nenner}}}}Za¨hlerNenner\Large \col[3]{\frac{\col[1]{\textsf{Zähler}}}{\col[2]{\textsf{Nenner}}}}

Die Nullen hinter dem Komma darfst du nicht einfach wegstreichen, wenn sie unter dem Periodenstrich stehen.

Start
Nenner aufschreiben
Bruch ergänzen

Beispiele

Endliche Dezimalzahlen umwandeln

Aufgabe

Schreibe die Dezimalzahl 0,3510,3510,351 als Bruch.

Lösung

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Zähler ablesen, alle Nullen vorne weglassen

0,3510,3510,351 \implies\implies 351

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Nenner nach der entsprechenden Formel ablesen

drei Ziffern \implies \col[2]{1000}1000\implies \col[2]{1000}

\fcolorbox{white}{grey}{3.}3.\fcolorbox{white}{grey}{3.} Bruch notieren

\implies 0,351 =\Large \lsg{\col[3]{\frac{\col[1]{351}}{\col[2]{1000}}}}0,351=3511000\implies 0,351 =\Large \lsg{\col[3]{\frac{\col[1]{351}}{\col[2]{1000}}}}

Periodische Dezimalzahlen umwandeln

Aufgabe

Schreibe die Dezimalzahl 0,\overline{351}0,3510,\overline{351} als Bruch.

Lösung

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Zähler ablesen, alle Nullen vorne weglassen

0,\overline{351}0,3510,\overline{351} \implies\implies 351

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Nenner nach der entsprechenden Formel ablesen

drei Ziffern \implies \col[2]{999}999\implies \col[2]{999}

\fcolorbox{white}{grey}{3.}3.\fcolorbox{white}{grey}{3.} Bruch notieren

0,\overline{351} = \Large \lsg{\col[3]{\frac{\col[1]{351}}{\col[2]{999}}}}0,351=3519990,\overline{351} = \Large \lsg{\col[3]{\frac{\col[1]{351}}{\col[2]{999}}}}

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