Ganzrationale Funktionen - Allgemein

Du beschäftigst dich im Matheunterricht gerade mit Funktionen? Genauer gesagt mit Polynomen?

Dann werden dir im Unterricht sicherlich auch ganzrationale Funktionen begegnen.

Aber: Was ist eine ganzrationale Funktion und wie sieht sie aus?

simpleclub erklärt dir, was du zu ganzrationalen Funktionen wissen solltest.


Ganzrationale Funktion einfach erklärt

Ganzrationale Funktion Definition

Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion vom folgenden Typ:

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0f(x)=anxn+an1xn1+...+a2x2+a1x+a0f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0

Die Zahlen a_n, a_{n-1},\ldots , a_1, a_0an,an1,,a1,a0a_n, a_{n-1},\ldots , a_1, a_0 heißen Koeffizienten und sind irgendwelche reellen Zahlen.

Die Zahlen n, n-1,...,1n,n1,...,1n, n-1,...,1 werden die Exponenten genannt und sind immer natürliche Zahlen.

Ganzrationale Funktion Bezeichnung

Der Grad einer ganzrationalen Funktion wird immer anhand der höchsten Potenz der Variable ermittelt.

Beispiele:

Bezeichnung

Beispiel

Funktion 0. Grades

f(x)=2f(x)=2f(x)=2

Funktion 1. Grades

f(x)=3x+1f(x)=3x+1f(x)=3x+1

Funktion 2. Grades

f(x)=4x^2-x+3f(x)=4x2x+3f(x)=4x^2-x+3

Funktion 3. Grades

f(x)=3x^3-2x^2+4f(x)=3x32x2+4f(x)=3x^3-2x^2+4

Funktion 4. Grades

f(x)=5x^4-x^3+xf(x)=5x4x3+xf(x)=5x^4-x^3+x

Dabei wird eine Funktion ersten Grades auch als lineare Funktion und eine Funktion zweiten Grades auch als quadratische Funktion bezeichnet.

Besonderheiten bei der Kurvendiskussion

Für alle Elemente der Kurvendiskussion, die hier nicht aufgeführt werden, gehst du wie in den dazu passenden Topics beschrieben vor.

Definitionsbereich

Als Definitionsbereich einer ganzrationalen Funktion sind immer die reellen Zahlen anzugeben.

Symmetrie

Achsensymmetrie

Punktsymmetrie

Alle Exponenten sind gerade.

Alle Exponenten sind ungerade.

Oder überprüfe:

f(x)=f(-x)f(x)=f(x)f(x)=f(-x)

Oder überprüfe:

-f(x)=f(-x)f(x)=f(x)-f(x)=f(-x)

Schnittpunkt mit der y-Achse

Für den Schnittpunkt mit der y-Achse verwendest du den Koeffizienten a_0a0a_0 als y-Wert. Der x-Wert ist (wie immer) 0.

Ganzrationale Funktion Nullstellen

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Ist der Grad n ungerade, so hat sie mindestens eine Nullstelle.

Berechnung von Nullstellen ab Funktion 3. Grades
Substitution

Die Substitution wendest du an, um die Nullstellen innerhalb einer biquadratischen Gleichung zu ermitteln.

Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen 4. Grades, die keine ungeraden Exponenten enthalten.

ax^4+bx^2+c=0ax4+bx2+c=0ax^4+bx^2+c=0

Du kannst nun z=x² substituieren und erhältst folgende Gleichung:

az^2+bz+c=0az2+bz+c=0az^2+bz+c=0

Fahre nun wie bei der Nullstellenberechnung für quadratische Funktionen mit Hilfe der pq-Formel fort.

Satz vom Nullprodukt

Wenn in deiner Funktion der Koeffizient a_0a0a_0 fehlt, kannst du ausklammern!

f(x)=3x^3+2x^2-4xf(x)=3x3+2x24xf(x)=3x^3+2x^2-4x\Leftrightarrow f(x)=x(3x^2+2x-4)f(x)=x(3x2+2x4)\Leftrightarrow f(x)=x(3x^2+2x-4)

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist!

Demzufolge ist eine der Nullstellen 0 und für den anderen Faktor fährst du mit anderen, dir bekannten Methoden fort.

Polynomdivision

Eine Polynomdivision kannst du durchführen, um den Grad der Funktion um eins zu verringern. Dafür findest du zuerst eine Nullstelle durch Probieren heraus und rechnest Folgendes:

f(x):(x-x_0)=...f(x):(xx0)=...f(x):(x-x_0)=...

Dabei ist x_0x0x_0 deine Nullstelle durch Probieren. Du erhältst nun eine Funktion, die einen Grad unter deiner Ursprungsfunktion liegt. Mit dieser kannst du die Polynomdivision mit einer ihrer Nullstellen erneut durchführen oder mit anderen Methoden (pq-Formel, etc.) fortfahren, um die restlichen Nullstellen herauszufinden.


Ganzrationale Funktion Beispiel

Du hast eine ganzrationale Funktion f(x) gegeben.

f(x)=8x^3-8xf(x)=8x38xf(x)=8x^3-8x

Hierbei handelt es sich um eine Funktion 3. Grades, da die höchste Potenz 3 ist.

Wir schauen uns nun die oben erklärten Besonderheiten bei der Kurvendiskussion an.

1.) Definitionsbereich

D=\realsD=RD=\reals

2.) Symmetrie

Alle Exponenten sind ungerade, demzufolge ist die Funktion punktsymmetrisch.

3.) Schnittpunkt mit der y-Achse

In dieser Funktion ist der Koeffizient a_0=0a0=0a_0=0. Demzufolge ist der Schnittpunkt mit der y-Achse der Koordinatenursprung.

S_y~(0|0)Sy(00)S_y~(0|0)

4.) Nullstellen

Der Grad von der Funktion ist 3 und damit ungerade. Demzufolge hat die Funktion mindestens eine und maximal drei Nullstellen.

Du kannst den Satz vom Nullprodukt anwenden.

f(x)=8x^3-8x \\ \Leftrightarrow f(x)=x(8x^2-8)f(x)=8x38xf(x)=x(8x28)f(x)=8x^3-8x \\ \Leftrightarrow f(x)=x(8x^2-8)\implies f(x)=0 \\ \Leftrightarrow 0=x(8x^2-8)f(x)=00=x(8x28)\implies f(x)=0 \\ \Leftrightarrow 0=x(8x^2-8)\implies x=0 \implies \underline{\underline{x_1=0}}x=0x1=0\implies x=0 \implies \underline{\underline{x_1=0}}\implies 8x^2-8=08x28=0\implies 8x^2-8=0

Du benötigst für den zweiten Faktor keine pq-Formel, sondern kannst die Gleichung durch Umstellen lösen.

\implies 8x^2-8=0 \ \ \ |+8 \\ \Leftrightarrow 8x^2=8 \ \ \ |:8 \\ \Leftrightarrow x^2=1 \\ \Leftrightarrow x_{2,3}=\sqrt{1} \implies \underline{\underline{x_2=-1}}; \underline{\underline{x_3=1}}8x28=0+88x2=8:8x2=1x2,3=1x2=1;x3=1\implies 8x^2-8=0 \ \ \ |+8 \\ \Leftrightarrow 8x^2=8 \ \ \ |:8 \\ \Leftrightarrow x^2=1 \\ \Leftrightarrow x_{2,3}=\sqrt{1} \implies \underline{\underline{x_2=-1}}; \underline{\underline{x_3=1}}
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