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Du beschäftigst dich im Matheunterricht gerade mit Funktionen? Genauer gesagt mit Polynomen?
Dann werden dir im Unterricht sicherlich auch ganzrationale Funktionen begegnen.
Aber: Was ist eine ganzrationale Funktion und wie sieht sie aus?
simpleclub erklärt dir, was du zu ganzrationalen Funktionen wissen solltest.
Ganzrationale Funktion einfach erklärt
Ganzrationale Funktion Definition
Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion vom folgenden Typ:
Die Zahlen
Die Zahlen
Ganzrationale Funktion Bezeichnung
Der Grad einer ganzrationalen Funktion wird immer anhand der höchsten Potenz der Variable ermittelt.
Beispiele:
Bezeichnung | Beispiel |
|---|---|
Funktion 0. Grades | |
Funktion 1. Grades | |
Funktion 2. Grades | |
Funktion 3. Grades | |
Funktion 4. Grades |
Dabei wird eine Funktion ersten Grades auch als lineare Funktion und eine Funktion zweiten Grades auch als quadratische Funktion bezeichnet.
Besonderheiten bei der Kurvendiskussion
Für alle Elemente der Kurvendiskussion, die hier nicht aufgeführt werden, gehst du wie in den dazu passenden Topics beschrieben vor.
Definitionsbereich
Als Definitionsbereich einer ganzrationalen Funktion sind immer die reellen Zahlen anzugeben.
Symmetrie
Achsensymmetrie | Punktsymmetrie |
|---|---|
Alle Exponenten sind gerade. | Alle Exponenten sind ungerade. |
Oder überprüfe: | Oder überprüfe: |
Schnittpunkt mit der y-Achse
Für den Schnittpunkt mit der y-Achse verwendest du den Koeffizienten
Ganzrationale Funktion Nullstellen
Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Ist der Grad n ungerade, so hat sie mindestens eine Nullstelle.
Berechnung von Nullstellen ab Funktion 3. Grades
Substitution
Die Substitution wendest du an, um die Nullstellen innerhalb einer biquadratischen Gleichung zu ermitteln.
Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen 4. Grades, die keine ungeraden Exponenten enthalten.
Du kannst nun z=x² substituieren und erhältst folgende Gleichung:
Fahre nun wie bei der Nullstellenberechnung für quadratische Funktionen mit Hilfe der pq-Formel fort.
Satz vom Nullprodukt
Wenn in deiner Funktion der Koeffizient
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist!
Demzufolge ist eine der Nullstellen 0 und für den anderen Faktor fährst du mit anderen, dir bekannten Methoden fort.
Polynomdivision
Eine Polynomdivision kannst du durchführen, um den Grad der Funktion um eins zu verringern. Dafür findest du zuerst eine Nullstelle durch Probieren heraus und rechnest Folgendes:
Dabei ist
Ganzrationale Funktion Beispiel
Du hast eine ganzrationale Funktion f(x) gegeben.
Hierbei handelt es sich um eine Funktion 3. Grades, da die höchste Potenz 3 ist.
Wir schauen uns nun die oben erklärten Besonderheiten bei der Kurvendiskussion an.
1.) Definitionsbereich
2.) Symmetrie
Alle Exponenten sind ungerade, demzufolge ist die Funktion punktsymmetrisch.
3.) Schnittpunkt mit der y-Achse
In dieser Funktion ist der Koeffizient
4.) Nullstellen
Der Grad von der Funktion ist 3 und damit ungerade. Demzufolge hat die Funktion mindestens eine und maximal drei Nullstellen.
Du kannst den Satz vom Nullprodukt anwenden.
Du benötigst für den zweiten Faktor keine pq-Formel, sondern kannst die Gleichung durch Umstellen lösen.
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