Steigungswinkel

Der Steigungswinkel \large \col[1]{\alpha}α\large \col[1]{\alpha} an einer bestimmten Stelle \col[1]{x_0}x0\col[1]{x_0} ist der Winkel, den die Tangente t(x)t(x)t(x) und die xxx-Achse einschließen.


Vorgehensweise

Möchtest du den Steigungswinkel an der Stelle \col[1]{x_0}x0\col[1]{x_0} berechnen, so berechnest du zunächst die Steigung an dieser Stelle.

Schritt 1: Steigung \large \col[3]{m}m\large \col[3]{m} bestimmen

Zunächst bestimmst du von der Funktion f(x)f(x)f(x) die 1. Ableitung f'(x)f(x)f'(x).

Danach bestimmst du die Steigung \col[3]{m}m\col[3]{m}, indem du die Stelle \col[1]{x_0}x0\col[1]{x_0} in f'(x)f(x)f'(x) einsetzt.

Du erhältst:

f'(\col[1]{x_0}) = \col[3]{m} f(x0)=mf'(\col[1]{x_0}) = \col[3]{m}

Sonderfall: Steigungswinkel einer Geraden

Der Steigungswinkel \large \col[1]{\alpha}α\large \col[1]{\alpha} einer Geraden f(x)f(x)f(x) ist der Winkel, den die Gerade und die xxx-Achse einschließen.

Da die Steigung einer Geraden überall gleich ist, ist auch der Steigungswinkel für eine Gerade an jeder xxx-Stelle gleich.

Das kannst du in der Animation sehen.

Möchtest du die Steigung \col[3]{m}m\col[3]{m} bestimmen, brauchst du nicht extra die 1. Ableitung bestimmen. Stattdessen kannst du die die Steigung \col[3]{m}m\col[3]{m} direkt an der Funktionsgleichung

f(x) = \col[3]{m} \cdot x + b f(x)=mx+bf(x) = \col[3]{m} \cdot x + b

ablesen.

Schritt 2: Steigungswinkel \large \col[1]{\alpha}α\large \col[1]{\alpha} berechnen

In diesem Schritt bestimmst du den Steigungswinkel \col[1]{\alpha}α\col[1]{\alpha}.

Je nachdem, ob die Steigung positiv oder negativ ist, verwendest du folgende Formeln:

Positive Steigung

Ist die Steigung positiv, so kannst du den Steigungswinkel wie folgt herleiten.

Stelle hierzu das Steigungsdreieck auf:

An eine Gerade ist ein Steigungsdreieck gezeichnet. Die Seite parallel zur y-Achse wird mit Delta y bezeichnet und die Seite paralell zur x-Achse mit Delta x.
\begin{aligned} \tan (\col[1]{\alpha}) &= \frac{\textsf{Gegenkathete}}{\textsf{Ankathete}} \\[1mm] &= \frac{\triangle y}{\triangle x} \\[1mm] &= \col[3]{m} \end{aligned}tan(α)=GegenkatheteAnkathete=yx=m\begin{aligned} \tan (\col[1]{\alpha}) &= \frac{\textsf{Gegenkathete}}{\textsf{Ankathete}} \\[1mm] &= \frac{\triangle y}{\triangle x} \\[1mm] &= \col[3]{m} \end{aligned}\begin{aligned} & \tan (\col[1]{\alpha}) = \col[3]{m} \\ & \implies \col[1]{\alpha} = \arctan (\col[3]{m}) \end{aligned}tan(α)=mα=arctan(m)\begin{aligned} & \tan (\col[1]{\alpha}) = \col[3]{m} \\ & \implies \col[1]{\alpha} = \arctan (\col[3]{m}) \end{aligned}

Negative Steigung

Für eine negative Steigung folgt:

\begin{aligned} \tan (\col[1]{\alpha}) &= \frac{\textsf{Gegenkathete}}{\textsf{Ankathete}} \\[1mm] &= \frac{\triangle y}{\triangle x} \\[1mm] &= \col[3]{m} \end{aligned}tan(α)=GegenkatheteAnkathete=yx=m\begin{aligned} \tan (\col[1]{\alpha}) &= \frac{\textsf{Gegenkathete}}{\textsf{Ankathete}} \\[1mm] &= \frac{\triangle y}{\triangle x} \\[1mm] &= \col[3]{m} \end{aligned}
Zu sehen ist, dass der Winkel des Steigungsdreiecks nun auf der anderen Seite liegt. Darum ist noch der Nebenwinkel zur x-Achse markiert.

In der Abbildung erkennst du, dass der Steigungswinkel nun auf der falschen Seite der Gerade ist. Daher musst du nun noch 180°180°180° hinzuaddieren.

\begin{aligned} & \tan (\col[1]{\alpha'}) = \col[3]{m} \\ & \implies \col[1]{\alpha'} = \arctan (\col[3]{m}) \\ & \implies \col[1]{\alpha} = \col[1]{\alpha'} + 180° \end{aligned}tan(α)=mα=arctan(m)α=α+180°\begin{aligned} & \tan (\col[1]{\alpha'}) = \col[3]{m} \\ & \implies \col[1]{\alpha'} = \arctan (\col[3]{m}) \\ & \implies \col[1]{\alpha} = \col[1]{\alpha'} + 180° \end{aligned}

Beispiele

Steigungswinkel an einer Stelle \large \col[1]{x_0}x0\large \col[1]{x_0} bestimmen

Aufgabenstellung

Berechne den Steigungswinkel der Funktion

f(x)= x^3 +1f(x)=x3+1f(x)= x^3 +1

an der Stelle \col[2]{x_0 = 1}x0=1\col[2]{x_0 = 1}.

Lösung

Um den Steigungswinkel zu bestimmen, kannst du schrittweise vorgehen:

Schritt 1: Ableitung f'(x)f(x)f'(x)

Bestimme zunächst die 1. Ableitung von f (x)f(x)f (x).

\begin{aligned} f (x) &= x^3+1 \\ f'(x) &= 3x^2 \end{aligned}f(x)=x3+1f(x)=3x2\begin{aligned} f (x) &= x^3+1 \\ f'(x) &= 3x^2 \end{aligned}
Schritt 2: Steigung \large \col[3]{m}m\large \col[3]{m}

Als nächstes setzt du die Stelle \col[2]{x_0 = 1}x0=1\col[2]{x_0 = 1} in die 1. Ableitung

f'(x) = 3x^2f(x)=3x2f'(x) = 3x^2

ein.

Den Wert, den du erhältst, ist die Steigung \col[3]{m}m\col[3]{m} an der Stelle \col[2]{x_0 = 1}x0=1\col[2]{x_0 = 1}.

\begin{aligned} f' (\col[2]{x_0}) = f' (\col[2]{1}) &= 3 \cdot \col[2]{x_0}^2 \\ &= 3 \cdot \col[2]{1}^2 \\ &= \col[3]{3} \end{aligned}f(x0)=f(1)=3x02=312=3\begin{aligned} f' (\col[2]{x_0}) = f' (\col[2]{1}) &= 3 \cdot \col[2]{x_0}^2 \\ &= 3 \cdot \col[2]{1}^2 \\ &= \col[3]{3} \end{aligned}

Du erhältst:

\col[3]{m = 3}m=3\col[3]{m = 3}
Schritt 3: Steigungswinkel \large \col[1]{\alpha}α\large \col[1]{\alpha}

Setze nun die Steigung \col[3]{m = 3}m=3\col[3]{m = 3} in die Gleichung

\tan(\col[1]{\alpha}) = \col[3]{m}tan(α)=m\tan(\col[1]{\alpha}) = \col[3]{m}

ein und forme nach \col[1]{\alpha}α\col[1]{\alpha} um:

\begin{aligned} \tan(\col[1]{\alpha}) &= \col[3]{3} & \quad | \arctan(\square) \\ \col[1]{\alpha} &= \arctan(\col[3]{3}) \\ &\approx \col[1]{71,6\degree} \end{aligned}tan(α)=3arctan()α=arctan(3)71,6°\begin{aligned} \tan(\col[1]{\alpha}) &= \col[3]{3} & \quad | \arctan(\square) \\ \col[1]{\alpha} &= \arctan(\col[3]{3}) \\ &\approx \col[1]{71,6\degree} \end{aligned}

Bemerke: Bei Taschenrechnern steht anstelle von \arctanarctan\arctan meistens \tan^{-1}tan1\tan^{-1}. Du erhältst bei beidem das gleiche Ergebnis.

Du erhältst:

\implies \lsg{\col[1]{\alpha \approx 71,6\degree}}α71,6°\implies \lsg{\col[1]{\alpha \approx 71,6\degree}}

Steigungswinkel einer Geraden (Positive Steigung)

Aufgabenstellung

Berechne den Steigungswinkel \col[1]{\alpha}α\col[1]{\alpha} der Geraden

f (x) = 5 \cdot x + 3f(x)=5x+3f (x) = 5 \cdot x + 3

Lösung

\begin{aligned} f(x) &= 5 \cdot x + 3 \\ f'(x) &= 5 \end{aligned}f(x)=5x+3f(x)=5\begin{aligned} f(x) &= 5 \cdot x + 3 \\ f'(x) &= 5 \end{aligned}
Schritt 1: Steigung \large \col[3]{m}m\large \col[3]{m}

Zunächst bestimmst du die Steigung \col[3]{m}m\col[3]{m} der Geraden f(x)f(x)f(x).

Die Steigung kannst du direkt von der Funktionsgleichung ablesen:

f(x) = \col[3]{5} \cdot x + 3f(x)=5x+3f(x) = \col[3]{5} \cdot x + 3

Du erhältst:

\col[3]{m = 5} m=5\col[3]{m = 5}
Schritt 2: Steigungswinkel \large \col[1]{\alpha}α\large \col[1]{\alpha}

Setze nun die Steigung \col[3]{m = 5}m=5\col[3]{m = 5} in die Gleichung

\tan(\col[1]{\alpha}) = \col[3]{m}tan(α)=m\tan(\col[1]{\alpha}) = \col[3]{m}

ein und forme nach \col[1]{\alpha}α\col[1]{\alpha} um:

\begin{aligned} \tan(\col[1]{\alpha}) &= \col[3]{5} & \quad | \arctan(\square) \\ \col[1]{\alpha} &= \arctan(\col[3]{5}) \\ &\approx \col[1]{78,7\degree} \end{aligned}tan(α)=5arctan()α=arctan(5)78,7°\begin{aligned} \tan(\col[1]{\alpha}) &= \col[3]{5} & \quad | \arctan(\square) \\ \col[1]{\alpha} &= \arctan(\col[3]{5}) \\ &\approx \col[1]{78,7\degree} \end{aligned}

Bemerke: Bei Taschenrechnern steht anstelle von \arctanarctan\arctan meistens \tan^{-1}tan1\tan^{-1}. Du erhältst bei beidem das gleiche Ergebnis.

Du erhältst:

\implies \lsg{\col[1]{\alpha \approx 78,7\degree}}α78,7°\implies \lsg{\col[1]{\alpha \approx 78,7\degree}}

Steigungswinkel einer Geraden (Negative Steigung)

Aufgabenstellung

Berechne den Steigungswinkel \col[1]{\alpha}α\col[1]{\alpha} der Geraden

f (x) = -4 \cdot x + 1f(x)=4x+1f (x) = -4 \cdot x + 1

Lösung

Schritt 1: Steigung \large \col[3]{m}m\large \col[3]{m}

Zunächst bestimmst du die Steigung \col[3]{m}m\col[3]{m} der Geraden f(x)f(x)f(x).

Die Steigung kannst du direkt von der Funktionsgleichung ablesen:

f(x) = \col[3]{-4} \cdot x + 1f(x)=4x+1f(x) = \col[3]{-4} \cdot x + 1

Du erhältst:

\col[3]{m = -4} m=4\col[3]{m = -4}
Schritt 2: Steigungswinkel \large \col[1]{\alpha}α\large \col[1]{\alpha}

Setze nun die Steigung \col[3]{m = -4}m=4\col[3]{m = -4} in die Gleichung

\tan(\col[1]{\alpha'}) = \col[3]{m}tan(α)=m\tan(\col[1]{\alpha'}) = \col[3]{m}

ein und forme nach \col[1]{\alpha'}α\col[1]{\alpha'} um:

\begin{aligned} \tan(\col[1]{\alpha'}) &= \col[3]{-4} & \quad | \arctan(\square) \\ \col[1]{\alpha'} &= \arctan(\col[3]{-4}) \\ &\approx \col[1]{-76\degree} \end{aligned}tan(α)=4arctan()α=arctan(4)76°\begin{aligned} \tan(\col[1]{\alpha'}) &= \col[3]{-4} & \quad | \arctan(\square) \\ \col[1]{\alpha'} &= \arctan(\col[3]{-4}) \\ &\approx \col[1]{-76\degree} \end{aligned}

Da \col[1]{\alpha'} < 0°α<0°\col[1]{\alpha'} < 0°, folgt:

\begin{aligned} \col[1]{\alpha} &= \col[1]{\alpha'} + 180° \\ &= \col[1]{-76°} + 180° \\ &= \col[1]{104°} \end{aligned}α=α+180°=76°+180°=104°\begin{aligned} \col[1]{\alpha} &= \col[1]{\alpha'} + 180° \\ &= \col[1]{-76°} + 180° \\ &= \col[1]{104°} \end{aligned}

Bemerke: Bei Taschenrechnern steht anstelle von \arctanarctan\arctan meistens \tan^{-1}tan1\tan^{-1}. Du erhältst bei beidem das gleiche Ergebnis.

Du erhältst:

\implies \lsg{\col[1]{\alpha \approx 104\degree}}α104°\implies \lsg{\col[1]{\alpha \approx 104\degree}}
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