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Rotationskörper

Das Volumen V $V$ eines Rotationskörpers lässt sich mit

V=\pi \int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}(f(x))^2\ \text{d}x

V=\pi \int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}(f(x))^2\ \text{d}x

berechnen.

Erklärung

Ein Rotationskörper entsteht, wenn du die Fläche unter dem Graphen einer Funktion f(x) $f(x)$ in einem Intervall [\col[1]{a};\col[2]{b}] $[\col[1]{a};\col[2]{b}]$ um die x $x$ -Achse rotieren lässt.

Um das Volumen anschaulich herzuleiten kannst du das Intervall [\col[1]{a};\col[2]{b}] $[\col[1]{a};\col[2]{b}]$ in n $n$ kleine Abschnitte teilen:

Jeder Abschnitt hat nun die Breite

\triangle x = \frac{b-a}{n},

\triangle x = \frac{b-a}{n},

also einfach die gesamte Intervallbreite b - a $b - a$ geteilt durch die Anzahl an Abschnitten n $n$ .

Machst du nun die Breite der Rechteckstreifen unendlich klein, entspricht die Höhe der Rechteckstreifen immer der Funktionswert an der jeweilen Stelle, also f(x_i) $f(x_i)$ :

Wenn du nun die einzelnen Rechtecke um die x $x$ -Achse rotieren lässt, wird eine Zylinderscheibe erzeugt:

Das Volumen des Rotationskörpers ist damit dann die Summe aus allen Zylinderscheiben.

Da das mathematisch etwas kompliziert ist, findest du im Folgenden die fertigen Formeln, die du zur Berechnung benutzen kannst:

Vollkörper

Das Volumen eines Rotationskörpers, welcher keinen Hohlraum aufweist, lässt sich mit folgender Formel berechnen:

V=\pi \int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}(f(x))^2\ \text{d}x

V=\pi \int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}(f(x))^2\ \text{d}x

Hohlkörper

Möchtest du hingegen das Volumen eines Rotationskörpers mit Hohlraum berechnen, benutzt du folgende Formel:

\begin{aligned} V_{\textsf{Körper}}&= V_{\textsf{voll}} -V_{\textsf{hohl}} \\[2mm] &=\left(\pi \int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}(f(x))^2\ \text{d}x\right) - \left(\pi \int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}(g(x))^2\ \text{d}x\right) \end{aligned}

\begin{aligned} V_{\textsf{Körper}}&= V_{\textsf{voll}} -V_{\textsf{hohl}} \\[2mm] &=\left(\pi \int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}(f(x))^2\ \text{d}x\right) - \left(\pi \int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}(g(x))^2\ \text{d}x\right) \end{aligned}

Hierbei berechnest du zunächst erst einmal das Volumen V_{\textsf{voll}} $V_{\textsf{voll}}$ des Rotationskörpers, welcher durch die Rotation der Fläche unter dem Graphen der oberen Funktion f(x) $f(x)$ um die x $x$ -Achse entsteht.

Danach berechnest du das Volumen des Hohlraums V_{\textsf{hohl}} $V_{\textsf{hohl}}$ . Der Hohlraum entsteht durch Rotation der Fläche unter dem Funktionsgraphen der unteren Funktion f(x) $f(x)$ .

Danach ziehst du einfach den Hohlraum V_{\textsf{hohl}} $V_{\textsf{hohl}}$ von V_{\textsf{voll}} $V_{\textsf{voll}}$ ab und du hast das gesuchte Volumen.

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Beispiel: Vollkörper

Aufgabenstellung

Bestimme das Volumen V $V$ des Körpers, welcher durch Rotation der Fläche unter dem Graphen von der Funktion

f(x)=x^2+1

f(x)=x^2+1

um die x $x$ -Achse im Intervall [\col[1]{-1};\col[2]{1}] $[\col[1]{-1};\col[2]{1}]$ entsteht.

Lösungsweg 1

Da es sich um einen Rotationskörper ohne Hohlraum handelt, kannst du direkt das Volumen V $V$ des Körpers berechnen. Hierbei setzt du einfach die Intervallgrenzen \col[1]{-1} $\col[1]{-1}$ und \col[2]{1} $\col[2]{1}$ und die Funktion f(x) $f(x)$ in die Formel ein.

Danach berechnest du das Integral, wobei du noch darauf achten musst, die Funktion f(x) $f(x)$ zu quadrieren. Den Faktor \pi $\pi$ kannst du die ganze Zeit vor dem Integral stehen lassen und dann am Ende verrechnen:

\begin{aligned} V&=\pi \int\limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}}(f(x))^2\ \text{d}x \\[3mm] &= \pi \int\limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}}(x^2+1)^2\ \text{d}x \\[3mm] &= \pi \int\limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}}(x^2+1)\cdot(x^2+1)\ \text{d}x \\[3mm] &= \pi \int\limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}}x^4+2x^2+1\ \text{d}x \\[3mm] &= \pi \left[ \frac{1}{5}x^5+\frac{2}{3}x^3+x\right]_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}} \\[3mm] &= \pi \left[ \left( \frac{1}{5}\cdot\col[2]{1}^5+\frac{2}{3}\cdot\col[2]{1}^3+\col[2]{1}\right) - \left( \frac{1}{5}\cdot(\col[1]{-1})^5+\frac{2}{3}\cdot(\col[1]{-1})^3+(\col[1]{-1})\right)\right] \\[3mm] &= \pi \left[ \left( \frac{1}{5}+\frac{2}{3}+1\right) - \left( -\frac{1}{5}-\frac{2}{3}-1\right)\right] \\[3mm] &= \pi \left[ \left( \frac{3}{15}+\frac{10}{15}+\frac{15}{15}\right) - \left( -\frac{3}{15}-\frac{10}{15}-\frac{15}{15}\right)\right] \\[3mm] &= \pi \left[ \left( \frac{28}{15}\right) - \left( -\frac{28}{15}\right)\right] \\[3mm] &= \pi \frac{56}{15} \\[3mm] &\approx \lsg{11,7\ \text{VE}} \end{aligned}

\begin{aligned} V&=\pi \int\limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}}(f(x))^2\ \text{d}x \\[3mm] &= \pi \int\limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}}(x^2+1)^2\ \text{d}x \\[3mm] &= \pi \int\limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}}(x^2+1)\cdot(x^2+1)\ \text{d}x \\[3mm] &= \pi \int\limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}}x^4+2x^2+1\ \text{d}x \\[3mm] &= \pi \left[ \frac{1}{5}x^5+\frac{2}{3}x^3+x\right]_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}} \\[3mm] &= \pi \left[ \left( \frac{1}{5}\cdot\col[2]{1}^5+\frac{2}{3}\cdot\col[2]{1}^3+\col[2]{1}\right) - \left( \frac{1}{5}\cdot(\col[1]{-1})^5+\frac{2}{3}\cdot(\col[1]{-1})^3+(\col[1]{-1})\right)\right] \\[3mm] &= \pi \left[ \left( \frac{1}{5}+\frac{2}{3}+1\right) - \left( -\frac{1}{5}-\frac{2}{3}-1\right)\right] \\[3mm] &= \pi \left[ \left( \frac{3}{15}+\frac{10}{15}+\frac{15}{15}\right) - \left( -\frac{3}{15}-\frac{10}{15}-\frac{15}{15}\right)\right] \\[3mm] &= \pi \left[ \left( \frac{28}{15}\right) - \left( -\frac{28}{15}\right)\right] \\[3mm] &= \pi \frac{56}{15} \\[3mm] &\approx \lsg{11,7\ \text{VE}} \end{aligned}

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt circa V = 11,7 $V = 11,7$ Volumeneinheiten.

Lösungsweg 2

Alternativ kannst du auch deinen Rotationskörper in zwei gleich große Hälften teilen, in dem du die y $y$ -Achse als Mitte betrachtest, da es sich bei f(x) $f(x)$ um eine symmetrische Funktion handelt.

Dann kannst du das Volumen der Rotationskörpers im Intervall [\col[1]{0};\col[2]{1}] $[\col[1]{0};\col[2]{1}]$ berechnen und einfach mit 2 $2$ multiplizieren:

Hier siehst du einmal die Rechnung dazu:

\begin{aligned} V&=2\pi \int\limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}}(f(x))^2\ \text{d}x \\[3mm] &= 2\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}(x^2+1)^2\ \text{d}x \\[3mm] &= 2\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}(x^2+1)\cdot(x^2+1)\ \text{d}x \\[3mm] &= 2\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}x^4+2x^2+1\ \text{d}x \\[3mm] &= 2\pi \left[ \frac{1}{5}x^5+\frac{2}{3}x^3+x\right]_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}} \\[3mm] &= 2\pi \left[ \left( \frac{1}{5}\cdot\col[2]{1}^5+\frac{2}{3}\cdot\col[2]{1}^3+\col[2]{1}\right) - \left( \frac{1}{5}\cdot(\col[1]{0})^5+\frac{2}{3}\cdot(\col[1]{0})^3+(\col[1]{0})\right)\right] \\[3mm] &= 2\pi \left[ \left( \frac{1}{5}+\frac{2}{3}+1\right) - \left( 0\right)\right] \\[3mm] &= 2\pi \left[ \frac{3}{15}+\frac{10}{15}+\frac{15}{15}\right] \\[3mm] &= 2\pi \frac{28}{15} \\[3mm] &= \pi \frac{56}{15} \\[3mm] &\approx \lsg{11,7\ \text{VE}} \end{aligned}

\begin{aligned} V&=2\pi \int\limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}}(f(x))^2\ \text{d}x \\[3mm] &= 2\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}(x^2+1)^2\ \text{d}x \\[3mm] &= 2\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}(x^2+1)\cdot(x^2+1)\ \text{d}x \\[3mm] &= 2\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}x^4+2x^2+1\ \text{d}x \\[3mm] &= 2\pi \left[ \frac{1}{5}x^5+\frac{2}{3}x^3+x\right]_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}} \\[3mm] &= 2\pi \left[ \left( \frac{1}{5}\cdot\col[2]{1}^5+\frac{2}{3}\cdot\col[2]{1}^3+\col[2]{1}\right) - \left( \frac{1}{5}\cdot(\col[1]{0})^5+\frac{2}{3}\cdot(\col[1]{0})^3+(\col[1]{0})\right)\right] \\[3mm] &= 2\pi \left[ \left( \frac{1}{5}+\frac{2}{3}+1\right) - \left( 0\right)\right] \\[3mm] &= 2\pi \left[ \frac{3}{15}+\frac{10}{15}+\frac{15}{15}\right] \\[3mm] &= 2\pi \frac{28}{15} \\[3mm] &= \pi \frac{56}{15} \\[3mm] &\approx \lsg{11,7\ \text{VE}} \end{aligned}

Beispiel: Hohlkörper

Aufgabenstellung

Die Funktionen

\begin{aligned} f(x)&=x^2+2 \\ g(x)&=\frac{1}{2}x+1 \end{aligned}

\begin{aligned} f(x)&=x^2+2 \\ g(x)&=\frac{1}{2}x+1 \end{aligned}

schließen im Intervall [\col[1]{0};\col[2]{1}] $[\col[1]{0};\col[2]{1}]$ eine Fläche ein (siehe Abbildung).

Bestimme das Volumen V $V$ des Hohlkörpers, welcher durch Rotation der eingeschlossenen Fläche um die x $x$ -Achse entsteht.

Lösung

Hier handelt es sich um einen Rotationskörper mit Hohlraum. Somit musst du also einmal das Volumen V_\textsf{groß} $V_\textsf{groß}$ des gesamten Rotationskörpers und das Volumen des Hohlraums berechnen und dann voneinander abziehen:

\begin{aligned} V_{\textsf{Körper}}&= V_{\textsf{voll}} -V_{\textsf{hohl}} \\[3mm] &=\left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}(f(x))^2\ \text{d}x\right] - \left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}(g(x))^2\ \text{d}x\right]\\[3mm] &= \left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}(x^2+2)^2\ \text{d}x\right] - \left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}\left(\frac{1}{2}x+1\right)^2\ \text{d}x\right] \\[3mm] &= \left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}x^4+4x^2+4\ \text{d}x\right]-\left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}\frac{1}{4}x^2+x+1\ \text{d}x\right] \\[3mm] &= \left[\pi \left[ \frac{1}{5}x^5+\frac{4}{3}x^3+4x\right]_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}\right]-\left[\pi \left[ \frac{1}{12}x^3+\frac{1}{2}x^2+x\right]_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}\right] \\[3mm] &= \left[\pi \left( \left( \frac{1}{5}\cdot\col[2]{1}^5+\frac{4}{3}\cdot\col[2]{1}^3+4\cdot\col[2]{1}\right) - \left( \frac{1}{5}\cdot\col[1]{0}^5+\frac{4}{3}\cdot\col[1]{0}^3+4\cdot\col[1]{0}\right)\right)\right] \\[3mm] &\quad-\left[\pi \left( \left( \frac{1}{12}\cdot\col[2]{1}^3+\frac{1}{2}\cdot\col[2]{1}^2+\col[2]{1}\right) - \left( \frac{1}{12}\cdot\col[1]{0}^3+\frac{1}{2}\cdot\col[1]{0}^2+\col[1]{0})\right)\right)\right] \\[3mm] &= \left[\pi \left[ \left( \frac{1}{5}+\frac{4}{3}+4\right) - \left( 0\right)\right)\right]-\left[\pi \left[ \left( \frac{1}{12}+\frac{1}{2}+1\right) - \left( 0\right)\right]\right] \\[3mm] &= \pi \left[ \left(\frac{1}{5}+\frac{4}{3}+4\right)-\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{2}+1\right)\right] \\[3mm] &= \pi \frac{79}{20} \\[3mm] &\approx \lsg{12,41\ \text{VE}} \end{aligned}

\begin{aligned} V_{\textsf{Körper}}&= V_{\textsf{voll}} -V_{\textsf{hohl}} \\[3mm] &=\left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}(f(x))^2\ \text{d}x\right] - \left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}(g(x))^2\ \text{d}x\right]\\[3mm] &= \left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}(x^2+2)^2\ \text{d}x\right] - \left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}\left(\frac{1}{2}x+1\right)^2\ \text{d}x\right] \\[3mm] &= \left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}x^4+4x^2+4\ \text{d}x\right]-\left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}\frac{1}{4}x^2+x+1\ \text{d}x\right] \\[3mm] &= \left[\pi \left[ \frac{1}{5}x^5+\frac{4}{3}x^3+4x\right]_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}\right]-\left[\pi \left[ \frac{1}{12}x^3+\frac{1}{2}x^2+x\right]_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}\right] \\[3mm] &= \left[\pi \left( \left( \frac{1}{5}\cdot\col[2]{1}^5+\frac{4}{3}\cdot\col[2]{1}^3+4\cdot\col[2]{1}\right) - \left( \frac{1}{5}\cdot\col[1]{0}^5+\frac{4}{3}\cdot\col[1]{0}^3+4\cdot\col[1]{0}\right)\right)\right] \\[3mm] &\quad-\left[\pi \left( \left( \frac{1}{12}\cdot\col[2]{1}^3+\frac{1}{2}\cdot\col[2]{1}^2+\col[2]{1}\right) - \left( \frac{1}{12}\cdot\col[1]{0}^3+\frac{1}{2}\cdot\col[1]{0}^2+\col[1]{0})\right)\right)\right] \\[3mm] &= \left[\pi \left[ \left( \frac{1}{5}+\frac{4}{3}+4\right) - \left( 0\right)\right)\right]-\left[\pi \left[ \left( \frac{1}{12}+\frac{1}{2}+1\right) - \left( 0\right)\right]\right] \\[3mm] &= \pi \left[ \left(\frac{1}{5}+\frac{4}{3}+4\right)-\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{2}+1\right)\right] \\[3mm] &= \pi \frac{79}{20} \\[3mm] &\approx \lsg{12,41\ \text{VE}} \end{aligned}

Das Volumen des Hohlkörpers beträgt circa V = 2,98 $V = 2,98$ Volumeneinheiten.

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