Rotationskörper

Das Volumen VVV eines Rotationskörpers lässt sich mit

V=\pi \int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}(f(x))^2\ \text{d}xV=πab(f(x))2 dxV=\pi \int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}(f(x))^2\ \text{d}x

berechnen.


Erklärung

Ein Rotationskörper entsteht, wenn du die Fläche unter dem Graphen einer Funktion f(x)f(x)f(x) in einem Intervall [\col[1]{a};\col[2]{b}][a;b][\col[1]{a};\col[2]{b}] um die xxx-Achse rotieren lässt.

Um das Volumen anschaulich herzuleiten kannst du das Intervall [\col[1]{a};\col[2]{b}][a;b][\col[1]{a};\col[2]{b}] in nnn kleine Abschnitte teilen:

Jeder Abschnitt hat nun die Breite

\triangle x = \frac{b-a}{n},x=ban,\triangle x = \frac{b-a}{n},

also einfach die gesamte Intervallbreite b - abab - a geteilt durch die Anzahl an Abschnitten nnn.

Machst du nun die Breite der Rechteckstreifen unendlich klein, entspricht die Höhe der Rechteckstreifen immer der Funktionswert an der jeweilen Stelle, also f(x_i)f(xi)f(x_i):

Wenn du nun die einzelnen Rechtecke um die xxx-Achse rotieren lässt, wird eine Zylinderscheibe erzeugt:

Das Volumen des Rotationskörpers ist damit dann die Summe aus allen Zylinderscheiben.

Da das mathematisch etwas kompliziert ist, findest du im Folgenden die fertigen Formeln, die du zur Berechnung benutzen kannst:

Vollkörper

Das Volumen eines Rotationskörpers, welcher keinen Hohlraum aufweist, lässt sich mit folgender Formel berechnen:

V=\pi \int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}(f(x))^2\ \text{d}xV=πab(f(x))2 dxV=\pi \int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}(f(x))^2\ \text{d}x

Hohlkörper

Möchtest du hingegen das Volumen eines Rotationskörpers mit Hohlraum berechnen, benutzt du folgende Formel:

\begin{aligned} V_{\textsf{Körper}}&= V_{\textsf{voll}} -V_{\textsf{hohl}} \\[2mm] &=\left(\pi \int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}(f(x))^2\ \text{d}x\right) - \left(\pi \int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}(g(x))^2\ \text{d}x\right) \end{aligned}VKo¨rper=VvollVhohl=(πab(f(x))2 dx)(πab(g(x))2 dx)\begin{aligned} V_{\textsf{Körper}}&= V_{\textsf{voll}} -V_{\textsf{hohl}} \\[2mm] &=\left(\pi \int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}(f(x))^2\ \text{d}x\right) - \left(\pi \int\limits_{\col[1]{a}}^{\col[2]{b}}(g(x))^2\ \text{d}x\right) \end{aligned}

Hierbei berechnest du zunächst erst einmal das Volumen V_{\textsf{voll}}VvollV_{\textsf{voll}} des Rotationskörpers, welcher durch die Rotation der Fläche unter dem Graphen der oberen Funktion f(x)f(x)f(x) um die xxx-Achse entsteht.

Danach berechnest du das Volumen des Hohlraums V_{\textsf{hohl}}VhohlV_{\textsf{hohl}}. Der Hohlraum entsteht durch Rotation der Fläche unter dem Funktionsgraphen der unteren Funktion f(x)f(x)f(x).

Danach ziehst du einfach den Hohlraum V_{\textsf{hohl}}VhohlV_{\textsf{hohl}} von V_{\textsf{voll}}VvollV_{\textsf{voll}} ab und du hast das gesuchte Volumen.


Beispiel: Vollkörper

Aufgabenstellung

Bestimme das Volumen VVV des Körpers, welcher durch Rotation der Fläche unter dem Graphen von der Funktion

f(x)=x^2+1f(x)=x2+1f(x)=x^2+1

um die xxx-Achse im Intervall [\col[1]{-1};\col[2]{1}][1;1][\col[1]{-1};\col[2]{1}] entsteht.

Lösungsweg 1

Da es sich um einen Rotationskörper ohne Hohlraum handelt, kannst du direkt das Volumen VVV des Körpers berechnen. Hierbei setzt du einfach die Intervallgrenzen \col[1]{-1}1\col[1]{-1} und \col[2]{1}1\col[2]{1} und die Funktion f(x)f(x)f(x) in die Formel ein.

Danach berechnest du das Integral, wobei du noch darauf achten musst, die Funktion f(x)f(x)f(x) zu quadrieren. Den Faktor \piπ\pi kannst du die ganze Zeit vor dem Integral stehen lassen und dann am Ende verrechnen:

\begin{aligned} V&=\pi \int\limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}}(f(x))^2\ \text{d}x \\[3mm] &= \pi \int\limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}}(x^2+1)^2\ \text{d}x \\[3mm] &= \pi \int\limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}}(x^2+1)\cdot(x^2+1)\ \text{d}x \\[3mm] &= \pi \int\limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}}x^4+2x^2+1\ \text{d}x \\[3mm] &= \pi \left[ \frac{1}{5}x^5+\frac{2}{3}x^3+x\right]_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}} \\[3mm] &= \pi \left[ \left( \frac{1}{5}\cdot\col[2]{1}^5+\frac{2}{3}\cdot\col[2]{1}^3+\col[2]{1}\right) - \left( \frac{1}{5}\cdot(\col[1]{-1})^5+\frac{2}{3}\cdot(\col[1]{-1})^3+(\col[1]{-1})\right)\right] \\[3mm] &= \pi \left[ \left( \frac{1}{5}+\frac{2}{3}+1\right) - \left( -\frac{1}{5}-\frac{2}{3}-1\right)\right] \\[3mm] &= \pi \left[ \left( \frac{3}{15}+\frac{10}{15}+\frac{15}{15}\right) - \left( -\frac{3}{15}-\frac{10}{15}-\frac{15}{15}\right)\right] \\[3mm] &= \pi \left[ \left( \frac{28}{15}\right) - \left( -\frac{28}{15}\right)\right] \\[3mm] &= \pi \frac{56}{15} \\[3mm] &\approx \lsg{11,7\ \text{VE}} \end{aligned}V=π11(f(x))2 dx=π11(x2+1)2 dx=π11(x2+1)(x2+1) dx=π11x4+2x2+1 dx=π[15x5+23x3+x]11=π[(1515+2313+1)(15(1)5+23(1)3+(1))]=π[(15+23+1)(15231)]=π[(315+1015+1515)(31510151515)]=π[(2815)(2815)]=π561511,7 VE\begin{aligned} V&=\pi \int\limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}}(f(x))^2\ \text{d}x \\[3mm] &= \pi \int\limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}}(x^2+1)^2\ \text{d}x \\[3mm] &= \pi \int\limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}}(x^2+1)\cdot(x^2+1)\ \text{d}x \\[3mm] &= \pi \int\limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}}x^4+2x^2+1\ \text{d}x \\[3mm] &= \pi \left[ \frac{1}{5}x^5+\frac{2}{3}x^3+x\right]_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}} \\[3mm] &= \pi \left[ \left( \frac{1}{5}\cdot\col[2]{1}^5+\frac{2}{3}\cdot\col[2]{1}^3+\col[2]{1}\right) - \left( \frac{1}{5}\cdot(\col[1]{-1})^5+\frac{2}{3}\cdot(\col[1]{-1})^3+(\col[1]{-1})\right)\right] \\[3mm] &= \pi \left[ \left( \frac{1}{5}+\frac{2}{3}+1\right) - \left( -\frac{1}{5}-\frac{2}{3}-1\right)\right] \\[3mm] &= \pi \left[ \left( \frac{3}{15}+\frac{10}{15}+\frac{15}{15}\right) - \left( -\frac{3}{15}-\frac{10}{15}-\frac{15}{15}\right)\right] \\[3mm] &= \pi \left[ \left( \frac{28}{15}\right) - \left( -\frac{28}{15}\right)\right] \\[3mm] &= \pi \frac{56}{15} \\[3mm] &\approx \lsg{11,7\ \text{VE}} \end{aligned}

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt circa V = 11,7V=11,7V = 11,7 Volumeneinheiten.

Lösungsweg 2

Alternativ kannst du auch deinen Rotationskörper in zwei gleich große Hälften teilen, in dem du die yyy-Achse als Mitte betrachtest, da es sich bei f(x)f(x)f(x) um eine symmetrische Funktion handelt.

Dann kannst du das Volumen der Rotationskörpers im Intervall [\col[1]{0};\col[2]{1}][0;1][\col[1]{0};\col[2]{1}] berechnen und einfach mit 222 multiplizieren:

Hier siehst du einmal die Rechnung dazu:

\begin{aligned} V&=2\pi \int\limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}}(f(x))^2\ \text{d}x \\[3mm] &= 2\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}(x^2+1)^2\ \text{d}x \\[3mm] &= 2\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}(x^2+1)\cdot(x^2+1)\ \text{d}x \\[3mm] &= 2\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}x^4+2x^2+1\ \text{d}x \\[3mm] &= 2\pi \left[ \frac{1}{5}x^5+\frac{2}{3}x^3+x\right]_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}} \\[3mm] &= 2\pi \left[ \left( \frac{1}{5}\cdot\col[2]{1}^5+\frac{2}{3}\cdot\col[2]{1}^3+\col[2]{1}\right) - \left( \frac{1}{5}\cdot(\col[1]{0})^5+\frac{2}{3}\cdot(\col[1]{0})^3+(\col[1]{0})\right)\right] \\[3mm] &= 2\pi \left[ \left( \frac{1}{5}+\frac{2}{3}+1\right) - \left( 0\right)\right] \\[3mm] &= 2\pi \left[ \frac{3}{15}+\frac{10}{15}+\frac{15}{15}\right] \\[3mm] &= 2\pi \frac{28}{15} \\[3mm] &= \pi \frac{56}{15} \\[3mm] &\approx \lsg{11,7\ \text{VE}} \end{aligned}V=2π11(f(x))2 dx=2π01(x2+1)2 dx=2π01(x2+1)(x2+1) dx=2π01x4+2x2+1 dx=2π[15x5+23x3+x]01=2π[(1515+2313+1)(15(0)5+23(0)3+(0))]=2π[(15+23+1)(0)]=2π[315+1015+1515]=2π2815=π561511,7 VE\begin{aligned} V&=2\pi \int\limits_{\col[1]{-1}}^{\col[2]{1}}(f(x))^2\ \text{d}x \\[3mm] &= 2\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}(x^2+1)^2\ \text{d}x \\[3mm] &= 2\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}(x^2+1)\cdot(x^2+1)\ \text{d}x \\[3mm] &= 2\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}x^4+2x^2+1\ \text{d}x \\[3mm] &= 2\pi \left[ \frac{1}{5}x^5+\frac{2}{3}x^3+x\right]_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}} \\[3mm] &= 2\pi \left[ \left( \frac{1}{5}\cdot\col[2]{1}^5+\frac{2}{3}\cdot\col[2]{1}^3+\col[2]{1}\right) - \left( \frac{1}{5}\cdot(\col[1]{0})^5+\frac{2}{3}\cdot(\col[1]{0})^3+(\col[1]{0})\right)\right] \\[3mm] &= 2\pi \left[ \left( \frac{1}{5}+\frac{2}{3}+1\right) - \left( 0\right)\right] \\[3mm] &= 2\pi \left[ \frac{3}{15}+\frac{10}{15}+\frac{15}{15}\right] \\[3mm] &= 2\pi \frac{28}{15} \\[3mm] &= \pi \frac{56}{15} \\[3mm] &\approx \lsg{11,7\ \text{VE}} \end{aligned}

Beispiel: Hohlkörper

Aufgabenstellung

Die Funktionen

\begin{aligned} f(x)&=x^2+2 \\ g(x)&=\frac{1}{2}x+1 \end{aligned}f(x)=x2+2g(x)=12x+1\begin{aligned} f(x)&=x^2+2 \\ g(x)&=\frac{1}{2}x+1 \end{aligned}

schließen im Intervall [\col[1]{0};\col[2]{1}][0;1][\col[1]{0};\col[2]{1}] eine Fläche ein (siehe Abbildung).

Bestimme das Volumen VVV des Hohlkörpers, welcher durch Rotation der eingeschlossenen Fläche um die xxx-Achse entsteht.

Lösung

Hier handelt es sich um einen Rotationskörper mit Hohlraum. Somit musst du also einmal das Volumen V_\textsf{groß}VgroßV_\textsf{groß} des gesamten Rotationskörpers und das Volumen des Hohlraums berechnen und dann voneinander abziehen:

\begin{aligned} V_{\textsf{Körper}}&= V_{\textsf{voll}} -V_{\textsf{hohl}} \\[3mm] &=\left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}(f(x))^2\ \text{d}x\right] - \left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}(g(x))^2\ \text{d}x\right]\\[3mm] &= \left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}(x^2+2)^2\ \text{d}x\right] - \left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}\left(\frac{1}{2}x+1\right)^2\ \text{d}x\right] \\[3mm] &= \left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}x^4+4x^2+4\ \text{d}x\right]-\left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}\frac{1}{4}x^2+x+1\ \text{d}x\right] \\[3mm] &= \left[\pi \left[ \frac{1}{5}x^5+\frac{4}{3}x^3+4x\right]_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}\right]-\left[\pi \left[ \frac{1}{12}x^3+\frac{1}{2}x^2+x\right]_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}\right] \\[3mm] &= \left[\pi \left( \left( \frac{1}{5}\cdot\col[2]{1}^5+\frac{4}{3}\cdot\col[2]{1}^3+4\cdot\col[2]{1}\right) - \left( \frac{1}{5}\cdot\col[1]{0}^5+\frac{4}{3}\cdot\col[1]{0}^3+4\cdot\col[1]{0}\right)\right)\right] \\[3mm] &\quad-\left[\pi \left( \left( \frac{1}{12}\cdot\col[2]{1}^3+\frac{1}{2}\cdot\col[2]{1}^2+\col[2]{1}\right) - \left( \frac{1}{12}\cdot\col[1]{0}^3+\frac{1}{2}\cdot\col[1]{0}^2+\col[1]{0})\right)\right)\right] \\[3mm] &= \left[\pi \left[ \left( \frac{1}{5}+\frac{4}{3}+4\right) - \left( 0\right)\right)\right]-\left[\pi \left[ \left( \frac{1}{12}+\frac{1}{2}+1\right) - \left( 0\right)\right]\right] \\[3mm] &= \pi \left[ \left(\frac{1}{5}+\frac{4}{3}+4\right)-\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{2}+1\right)\right] \\[3mm] &= \pi \frac{79}{20} \\[3mm] &\approx \lsg{12,41\ \text{VE}} \end{aligned}VKo¨rper=VvollVhohl=[π01(f(x))2 dx][π01(g(x))2 dx]=[π01(x2+2)2 dx][π01(12x+1)2 dx]=[π01x4+4x2+4 dx][π0114x2+x+1 dx]=[π[15x5+43x3+4x]01][π[112x3+12x2+x]01]=[π((1515+4313+41)(1505+4303+40))][π((11213+1212+1)(11203+1202+0)))]=[π[(15+43+4)(0))][π[(112+12+1)(0)]]=π[(15+43+4)(112+12+1)]=π792012,41 VE\begin{aligned} V_{\textsf{Körper}}&= V_{\textsf{voll}} -V_{\textsf{hohl}} \\[3mm] &=\left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}(f(x))^2\ \text{d}x\right] - \left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}(g(x))^2\ \text{d}x\right]\\[3mm] &= \left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}(x^2+2)^2\ \text{d}x\right] - \left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}\left(\frac{1}{2}x+1\right)^2\ \text{d}x\right] \\[3mm] &= \left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}x^4+4x^2+4\ \text{d}x\right]-\left[\pi \int\limits_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}\frac{1}{4}x^2+x+1\ \text{d}x\right] \\[3mm] &= \left[\pi \left[ \frac{1}{5}x^5+\frac{4}{3}x^3+4x\right]_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}\right]-\left[\pi \left[ \frac{1}{12}x^3+\frac{1}{2}x^2+x\right]_{\col[1]{0}}^{\col[2]{1}}\right] \\[3mm] &= \left[\pi \left( \left( \frac{1}{5}\cdot\col[2]{1}^5+\frac{4}{3}\cdot\col[2]{1}^3+4\cdot\col[2]{1}\right) - \left( \frac{1}{5}\cdot\col[1]{0}^5+\frac{4}{3}\cdot\col[1]{0}^3+4\cdot\col[1]{0}\right)\right)\right] \\[3mm] &\quad-\left[\pi \left( \left( \frac{1}{12}\cdot\col[2]{1}^3+\frac{1}{2}\cdot\col[2]{1}^2+\col[2]{1}\right) - \left( \frac{1}{12}\cdot\col[1]{0}^3+\frac{1}{2}\cdot\col[1]{0}^2+\col[1]{0})\right)\right)\right] \\[3mm] &= \left[\pi \left[ \left( \frac{1}{5}+\frac{4}{3}+4\right) - \left( 0\right)\right)\right]-\left[\pi \left[ \left( \frac{1}{12}+\frac{1}{2}+1\right) - \left( 0\right)\right]\right] \\[3mm] &= \pi \left[ \left(\frac{1}{5}+\frac{4}{3}+4\right)-\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{2}+1\right)\right] \\[3mm] &= \pi \frac{79}{20} \\[3mm] &\approx \lsg{12,41\ \text{VE}} \end{aligned}

Das Volumen des Hohlkörpers beträgt circa V = 2,98V=2,98V = 2,98 Volumeneinheiten.

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