Volumen von Körpern

Das Volumen beschreibt den dreidimensionalen Inhalt eines physikalischen Körpers.


Einheiten

Volumen wird prinzipiell in der Einheit angegeben. Im Alltag wird allerdings auch oft die Einheit L (= Liter) verwendet. Das ist allerdings nur eine andere Bezeichnung und entspricht einfach der Einheit dm³.

1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}1 dm3=1 L1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ L}1 m3=1000 dm3=1000 L1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ L}0,001 \text{ dm}^3 = 1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}0,001 dm3=1 cm3=1 mL0,001 \text{ dm}^3 = 1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}1000 \text{ L} = 1000 \text{ dm}^3 = 1 \text{ m}^31000 L=1000 dm3=1 m31000 \text{ L} = 1000 \text{ dm}^3 = 1 \text{ m}^3

Gängige Volumenberechnungen

Quadervolumen:

V = l\cdot b \cdot hV=lbhV = l\cdot b \cdot h
Zu sehen ist ein Quader. An ihm wurden die drei Seiten der Länge, Breite und Höhe gekennzeichnet. Dies entspricht den Längen, die sich ergeben, wenn man ein Eck in alle drei Richtungen mit den anderen Ecken verbindet.

Kegelvolumen:

V = \frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot hV=13r2πhV = \frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h
Gezeichnet ist ein Kegel, dessen Kreisrunde Grundfläche einen bestimmten Radius r hat. Außerdem ist die Höhe h eingezeichnet, die die Grundlinie mit der Spitze verbindet.

Kugelvolumen:

V = \frac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \piV=43r3πV = \frac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi
Gezeichnet ist eine Kugel mit bestimmten Radius r.

Zylindervolumen:

V = r^2 \cdot \pi \cdot hV=r2πhV = r^2 \cdot \pi \cdot h
Der Zylinder hat eine Grundfläche mit bestimmten Radius r. Außerdem ist die Höhe h des Zylinders eingezeichnet. Diese verbindet die Grundflächen.

Beispiele

Veranschaulichung Volumen

Berechne das Volumen eines Quaders mit Kantenlängen l = 2 dm, b = 1 dm und h = 1 dm. Mit wie viel Wasser kann man diesen Quader füllen?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

l = 2 \text{ dm} \\ b = 1 \text{ dm} \\ h = 1 \text{ dm} l=2 dmb=1 dmh=1 dml = 2 \text{ dm} \\ b = 1 \text{ dm} \\ h = 1 \text{ dm}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

V= \: ?V=?V= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

V = l \cdot b\cdot hV=lbhV = l \cdot b\cdot h

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

V = 2 \text{ dm} \cdot 1\text{ dm}\cdot1\text{ dm}V=2 dm1 dm1 dmV = 2 \text{ dm} \cdot 1\text{ dm}\cdot1\text{ dm}V = 2\text{ dm}^3 = 2 \text{ L}V=2 dm3=2 LV = 2\text{ dm}^3 = 2 \text{ L}

Da das Volumen den Inhalt eines geometrischen Körpers entspricht, kann also die Füllmenge direkt aus dem Volumen abgelesen werden. Der Quader kann also mit 2 L Wasser befüllt werden.

Berechnung Zylindervolumen

Berechne das Volumen eines Zylinders mit Radius 3 cm und Höhe 5 cm.

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

r = 3 \text{ cm} \\ h = 5 \text{ cm} r=3 cmh=5 cmr = 3 \text{ cm} \\ h = 5 \text{ cm}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

V= \: ?V=?V= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

V = r^2 \cdot \pi \cdot hV=r2πhV = r^2 \cdot \pi \cdot h

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

V = (3 \text{ cm})^2 \cdot \pi \cdot 5 \text{ cm}V=(3 cm)2π5 cmV = (3 \text{ cm})^2 \cdot \pi \cdot 5 \text{ cm}V \approx 141,37 \text{ cm}^3V141,37 cm3V \approx 141,37 \text{ cm}^3

Einheitenübung:

Rechne um:

0,01 \text{ m}^3 \text{ in} \text{ dm}^3.0,01 m3 in dm3.0,01 \text{ m}^3 \text{ in} \text{ dm}^3.

Lösung:

0,01 \text{ m}^3 \cdot 1000 = 10 \text{ dm}^30,01 m31000=10 dm30,01 \text{ m}^3 \cdot 1000 = 10 \text{ dm}^3

Rechne um:

500000 \text{ mm}^3 \text{ in} \text{ cm}^3.500000 mm3 in cm3.500000 \text{ mm}^3 \text{ in} \text{ cm}^3.

Lösung:

500000 \text{ mm}^3 \cdot 0,001 = 500 \text{ cm}^3500000 mm30,001=500 cm3500000 \text{ mm}^3 \cdot 0,001 = 500 \text{ cm}^3

Rechne um:

6600 \text{ cm}^3 \text{ in} \text{ L}.6600 cm3 in L.6600 \text{ cm}^3 \text{ in} \text{ L}.

Lösung:

6600 \text{ cm}^3 \cdot 0,001 = 6,6 \text{ L}6600 cm30,001=6,6 L6600 \text{ cm}^3 \cdot 0,001 = 6,6 \text{ L}
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