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Tangensfunktion Grundlagen

Die Tangensfunktion ist eine der drei trigonometrischen Funktionen und wird vor allem beim Rechnen mit rechtwinkligen Dreiecken immer wieder benötigt.

Aber was genau ist die Tangensfunktion und was hat sie mit der Sinus- und Kosinusfunktion zu tun?

Keine Sorge, simpleclub wird dir helfen, das Thema zu verstehen.

Tangensfunktion einfach erklärt

Die Tangensfunktion ist eine mathematische Funktion, die in der Trigonometrie verwendet wird. Sie beschreibt das Verhältnis von zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, nämlich der gegenüberliegenden Seite (auch: Gegenkathete) und der anliegenden Seite (auch: Ankathete) eines Winkels.

Die Tangensfunktion wird aus der Sinus- und Kosinusfunktion gebildet. Dabei wird der Sinus durch den Kosinus geteilt. Deswegen lassen sich viele ihrer Eigenschaften von den Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion ableiten.

Die Tangensfunktion verläuft periodisch, das bedeutet, sie wiederholt sich in regelmäßigen Abständen. Die Länge der Periode beträgt 180° $180°$ oder π $π$ im Bogenmaß. Das bedeutet, dass die Tangensfunktion sich alle 180° $180°$ wiederholt und dieselben Werte annimmt.

Du kannst die x $x$ -Achse durch das Gradmaß oder das Bogenmaß darstellen.

Number 1

Gradmaß

Bogenmaß

Tangensfunktion Definition

Die Tangensfunktion ist eine der drei trigonometrischen Funktion und wird als Sinusfunktion geteilt durch Kosinusfunktion definiert.

\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}

\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}

Eigenschaften Tangensfunktion

Periodizität

Die Tangensfunktion ist genau wie die Sinus- und Kosinusfunktion periodisch. Das bedeutet, dass sie sich in regelmäßigen Abständen wiederholt. Die Länge einer Periode beträgt 180° $180°$ oder π $π$ im Bogenmaß. Wenn du beispielsweise einen Winkel in die Tangensfunktion einsetzt und ihn dann um π $π$ erhöhst, erhältst du denselben y $y$ -Wert wie zuvor.

Beispielsweise:

\begin{aligned} &f(0)=0\\ &f(0\col[1]{+\pi})=0 \end{aligned}

\begin{aligned} &f(0)=0\\ &f(0\col[1]{+\pi})=0 \end{aligned}

Periode der Tangensfunktion mit der Länge Pi.

Definitions- und Wertebereich

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich einer Funktion gibt an, für welche Werte von x $x$ die Funktion definiert ist und für welche Werte nicht.

Da die Tangensfunktion aus einem Bruch besteht, darfst du die x $x$ -Werte, für die der Nenner 0 $0$ wird, nicht einsetzen.

\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}

\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}

Da die Kosinusfunktion im Nenner der Tangensfunktion steht, sind die Nullstellen der Kosinusfunktion die Definitionslücken der Tangensfunktion.

Die Nullstellen der Kosinusfunktion liegen bei

\boxed{x=k\cdot\pi-\frac\pi2} \qquad k\in\N

\boxed{x=k\cdot\pi-\frac\pi2} \qquad k\in\N

Der Definitionsbereich sind also die reellen Zahlen ohne die Definitionslücken an den Nullstellen der Kosinusfunktion.

\mathbb{D}= \R \backslash \{k\cdot\pi-\frac\pi2\}

\mathbb{D}= \R \backslash \{k\cdot\pi-\frac\pi2\}

Da der Zähler an den Definitionslücken immer ungleich 0 $0$ ist, handelt sich es bei den Definitionslücken genauer gesagt um die Polstellen der Tangensfunktion.

Wertebereich

Der Wertebereich der Tangensfunktion ist die Menge aller reellen Zahlen.

\mathbb{W} =\R

\mathbb{W} =\R

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Nullstellen

Die Tangensfunktion hat unendlich viele Nullstellen, da sie periodisch ist und sich immer wiederholt.

Die Nullstellen einer Funktion mit Bruch sind einfach die Nullstellen des Zählers der Funktion.

Denn egal was du in den Nenner einsetzt, wenn der Zähler schon 0 $0$ ist, dann ist die ganze Funktion 0 $0$ .

f(x)=\frac{0}{q(x)}=0

f(x)=\frac{0}{q(x)}=0

Deswegen untersuchen wir jetzt die Sinusfunktion (Zähler der Tangensfunktion).

sin and tan

Sinus

Tangens

Die Nullstellen der Sinusfunktion liegen bei

\boxed{x=\pi\cdot k }\qquad k\in \N

\boxed{x=\pi\cdot k }\qquad k\in \N

Nullstellen der Tangensfunktion

x=\pi\cdot k\qquad k\in \N

x=\pi\cdot k\qquad k\in \N

Symmetrie

Die Tangensfunktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatensprung.

Es gilt

\tan(-x)=-\tan(x)

\tan(-x)=-\tan(x)

Einfluss der Parameter

Die Verschiebung und Streckung der Tangensfunktion funktioniert genau wie die Verschiebung der Sinus- und Kosinusfunktion. Jedoch wird der Einfluss der Parameter auf die Tangensfunktion eher selten benutzt.

f(x)=\col[1]a\cdot \tan(\col[2]b\cdot x+\col[3]c)+\col[4]d\\

f(x)=\col[1]a\cdot \tan(\col[2]b\cdot x+\col[3]c)+\col[4]d\\

Streckung in y $y$ -Richtung	\col[1]{a} $\col[1]{a}$
Streckung in x $x$ -Richtung	\col[2]{b} $\col[2]{b}$
Verschiebung in x $x$ -Richtung	\col[3]{c} $\col[3]{c}$
Verschiebung in y $y$ -Richtung	\col[4]{d} $\col[4]{d}$

Tangensfunktion Beispiel

Aufgabe

Bestimme die Funktionswerte von

\quad \tan(x) \textsf{ für } x = 0, \frac{\pi}4, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4} \textsf{ und } \pi

\quad \tan(x) \textsf{ für } x = 0, \frac{\pi}4, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4} \textsf{ und } \pi

Gib die Nullstellen der Tangensfunktion im Intervall [14\pi, 16\pi] $[14\pi, 16\pi]$ an.

Lösung

1. Funktionswerte

Die Funktionswerte kannst du entweder am Graphen der Tangensfunktion ablesen oder berechnen, indem du die Werte für \sin(x) $\sin(x)$ und \cos(x) $\cos(x)$ in \tan(x)=\frac {\sin(x)}{\cos(x)} $\tan(x)=\frac {\sin(x)}{\cos(x)}$ einsetzt.

\begin{aligned} \tan(0) &= 0 \\[2mm] \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) &= 1 \\[2mm] \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) &= -1 \\[2mm] \tan(\pi) &= 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \tan(0) &= 0 \\[2mm] \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) &= 1 \\[2mm] \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) &= -1 \\[2mm] \tan(\pi) &= 0 \end{aligned}

\tan(\frac{\pi}{2}) $\tan(\frac{\pi}{2})$ ist nicht definiert, da \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \rarr $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \rarr$ hier liegt eine Polstelle vor.

2. Nullstellen

Die Nullstellen der Tangensfunktion liegen bei

x=\pi\cdot k \qquad k\in \N

x=\pi\cdot k \qquad k\in \N

Somit liegen die Nullstellen im Intervall [14\pi, 16\pi] $[14\pi, 16\pi]$ bei

x_1=14\pi\\ x_2=15\pi\\ x_3=16\pi\\

x_1=14\pi\\ x_2=15\pi\\ x_3=16\pi\\

Tangensfunktion Zusammenfassung

Definitionsbereich	\mathbb{D}= \R \backslash \{k\cdot\pi-\frac\pi2\} $\mathbb{D}= \R \backslash \{k\cdot\pi-\frac\pi2\}$
Wertebereich	\mathbb{W}= \R $\mathbb{W}= \R$
Länge der Periode	\pi=180 ° $\pi=180 °$
Nullstellen	x=\pi\cdot k\qquad k\in \N $x=\pi\cdot k\qquad k\in \N$
Symmetrie	Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung

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