Nullstellen spezieller Funktionen

Spezielle Funktionen wie

  • Wurzelfunktionen,
  • Exponentialfunktionen,
  • Logarithmusfunktionen,
  • Trigonometrische Funktionen

können auch Nullstellen haben.

Zur Bestimmung setzt du die Funktion gleich 000 und formst nach xxx um!

Achte dabei immer auf den Definitionsbereich der Funktionen.


Erklärung

Wurzelfunktionen

Eine Wurzelfunktion hat in der Regel eine einzige Nullstelle. Du kannst durch Potenzieren das xxx isolieren.

Beispiel

\begin{aligned} 0 &= \sqrt{x-1} && \quad\mid\col[1]{\square^2}\\ 0 &= x-1 &&\quad\mid +1 \\ 1 &= x \end{aligned}0=x120=x1+11=x\begin{aligned} 0 &= \sqrt{x-1} && \quad\mid\col[1]{\square^2}\\ 0 &= x-1 &&\quad\mid +1 \\ 1 &= x \end{aligned}

Die einzige Nullstelle liegt bei x_1 = 1x1=1x_1 = 1.

Exponentialfunktionen

Eine Exponentialfunktion hat in der Regel keine Nullstelle.

Ausnahme: die Funktion ist nach unten in yyy-Richtung verschoben!

Beispiel

\begin{aligned} 0 &= \e^x &&\quad\mid\ln\left(\square\right) \\ \ln(0) &= x &&\quad\LARGE{\color{red}{\times}} \end{aligned}0=exln()ln(0)=x×\begin{aligned} 0 &= \e^x &&\quad\mid\ln\left(\square\right) \\ \ln(0) &= x &&\quad\LARGE{\color{red}{\times}} \end{aligned}

Der Logarithmus \ln(0)ln(0)\ln(0) ist nicht definiert. Also hat die Gleichung keine Lösung!

Logarithmusfunktionen

Eine Logarithmusfunktion hat in der Regel eine einzige Nullstelle!

Beispiel

\begin{aligned} 0 &= \ln(x+1) && \quad\mid\e^\square \\ 1 &=x+1 && \quad\mid -1 \\ 0 &= x \end{aligned}0=ln(x+1)e1=x+110=x\begin{aligned} 0 &= \ln(x+1) && \quad\mid\e^\square \\ 1 &=x+1 && \quad\mid -1 \\ 0 &= x \end{aligned}

Die einzige Nullstelle liegt bei x_0 = 0x0=0x_0 = 0.

Trigonometrische Funktionen

Die trigonometrischen Funktionen \sin(x), \cos(x), \tan(x)sin(x),cos(x),tan(x)\sin(x), \cos(x), \tan(x) sind periodisch und haben deswegen in der Regel unendlich viele Nullstellen.

Ausnahme: die Funktion ist nach unten in yyy-Richtung verschoben!

Beispiel

\begin{aligned} 0 &= \sin(x) \end{aligned}0=sin(x)\begin{aligned} 0 &= \sin(x) \end{aligned}

Die Sinusfunktion hat eine Nullstelle bei x_0 =0x0=0x_0 =0. Darüber hinaus hat die Funktion eine Periode von 2\pi2π2\pi. Wenn du also 2\pi2π2\pi Einheiten nach links oder rechts auf dem Zahlenstrahl gehst, liegt dort auch eine Nullstelle.

Die Menge der Nullstellen ist unendlich groß und lautet:

\begin{aligned} N &= \{k\cdot 2\pi \mid k\in \Z \} \\ &= \{0; \pm2\pi, \pm4\pi, \ldots \} \end{aligned}N={k2πkZ}={0;±2π,±4π,}\begin{aligned} N &= \{k\cdot 2\pi \mid k\in \Z \} \\ &= \{0; \pm2\pi, \pm4\pi, \ldots \} \end{aligned}

Beispiele

Normale Wurzelfunktion

Aufgabe

Bestimme die Nullstellen der Wurzelfunktion

f(x) = \sqrt{x}f(x)=xf(x) = \sqrt{x}

Lösung

Setze die Funktion gleich 000 und forme nach xxx um!

\begin{aligned} 0 &= \sqrt{x} &&\quad\mid\square^2 \\ 0 &= x \end{aligned}0=x20=x\begin{aligned} 0 &= \sqrt{x} &&\quad\mid\square^2 \\ 0 &= x \end{aligned}

Die einzige Nullstelle liegt bei x_0=0x0=0x_0=0.

Wurzelfunktion

Aufgabe

Bestimme die Nullstellen der Wurzelfunktion

f(x) = \sqrt{x-1}+1f(x)=x1+1f(x) = \sqrt{x-1}+1

Lösung

Setze die Funktion gleich 000 und forme nach xxx um!

\begin{aligned} 0 &= \sqrt{x-1} +1 && \quad \mid -1 \\ -1&= \sqrt{x-1} && \quad\color{red}{\Large{\times}} \end{aligned}0=x1+111=x1×\begin{aligned} 0 &= \sqrt{x-1} +1 && \quad \mid -1 \\ -1&= \sqrt{x-1} && \quad\color{red}{\Large{\times}} \end{aligned}

Hier ergibt sich bereits ein Widerspruch!

Die Wurzelfunktion liefert nämlich nur die positive Lösung der Gleichung! Auf der linken Seite steht aber etwas negatives!

Das kann nicht sein!

Es gibt hier also keine reelle Nullstelle!

Exponentialfunktion mit Nullstelle

Aufgabe

Bestimme die Nullstellen der Exponentialfunktion

f(x) = \e^x -1f(x)=ex1f(x) = \e^x -1

Lösung

Setze die Funktion gleich 000 und forme nach xxx um!

\begin{aligned} 0 &= \e^x -1 && \quad \mid +1 \\ 1 &= \e^x && \quad\mid \ln(\square) \\ 0 &= x \end{aligned}0=ex1+11=exln()0=x\begin{aligned} 0 &= \e^x -1 && \quad \mid +1 \\ 1 &= \e^x && \quad\mid \ln(\square) \\ 0 &= x \end{aligned}

Der Logarithmus von 111 ist definiert. Daher gibt es hier eine Nullstelle!

Aufgabe

Bestimme die Nullstellen der Logarithmusfunktion

f(x) = \ln(x^2)f(x)=ln(x2)f(x) = \ln(x^2)

Lösung

Setze die Funktion gleich 000 und forme nach xxx um!

\begin{aligned} 0 &= \ln\left(x^2\right) && \quad\mid \e^\square \\ 1 &= x^2 && \quad\mid \sqrt{(\square)} \\ \pm1 &=x \end{aligned}0=ln(x2)e1=x2()±1=x\begin{aligned} 0 &= \ln\left(x^2\right) && \quad\mid \e^\square \\ 1 &= x^2 && \quad\mid \sqrt{(\square)} \\ \pm1 &=x \end{aligned}

Diese Funktion hat zwei Nullstellen, da das Argument von dem Logarithmus eine quadratische Funktion ist.

Die beiden Nullstellen lauten x_1=1x1=1x_1=1 und x_2 = -1x2=1x_2 = -1.

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