Die trigonometrischen Funktionen \sin(x), \cos(x), \tan(x) $\sin(x), \cos(x), \tan(x)$ sind periodisch und haben deswegen in der Regel unendlich viele Nullstellen.

Ausnahme: die Funktion ist nach unten in y $y$ -Richtung verschoben!

Beispiel

\begin{aligned} 0 &= \sin(x) \end{aligned}

\begin{aligned} 0 &= \sin(x) \end{aligned}

Die Sinusfunktion hat eine Nullstelle bei x_0 =0 $x_0 =0$ . Darüber hinaus hat die Funktion eine Periode von 2\pi $2\pi$ . Wenn du also 2\pi $2\pi$ Einheiten nach links oder rechts auf dem Zahlenstrahl gehst, liegt dort auch eine Nullstelle.

Die Menge der Nullstellen ist unendlich groß und lautet:

\begin{aligned} N &= \{k\cdot \pi \mid k\in \Z \} \\ &= \{0; \pm\pi, \pm2\pi, \ldots \} \end{aligned}

\begin{aligned} N &= \{k\cdot \pi \mid k\in \Z \} \\ &= \{0; \pm\pi, \pm2\pi, \ldots \} \end{aligned}

Beispiele

Übungen gefällig?

Nutze den Übungstest, um zu sehen, wie gut du das Thema verstehst. Wenn du dich bereit fühlst, kannst du dich selbst testen und sehen, welche Note du bekommen würdest!

Lerne mehr und teste dein Wissen mit dem Übungstest.

Normale Wurzelfunktion

Aufgabe

Bestimme die Nullstellen der Wurzelfunktion

f(x) = \sqrt{x}

f(x) = \sqrt{x}

Lösung

Setze die Funktion gleich 0 $0$ und forme nach x $x$ um!

\begin{aligned} 0 &= \sqrt{x} &&\quad\mid\square^2 \\ 0 &= x \end{aligned}

\begin{aligned} 0 &= \sqrt{x} &&\quad\mid\square^2 \\ 0 &= x \end{aligned}

Die einzige Nullstelle liegt bei x_0=0 $x_0=0$ .

Wurzelfunktion

Aufgabe

Bestimme die Nullstellen der Wurzelfunktion

f(x) = \sqrt{x-1}+1

f(x) = \sqrt{x-1}+1

Lösung

Setze die Funktion gleich 0 $0$ und forme nach x $x$ um!

\begin{aligned} 0 &= \sqrt{x-1} +1 && \quad \mid -1 \\ -1&= \sqrt{x-1} && \quad\color{red}{\Large{\times}} \end{aligned}

\begin{aligned} 0 &= \sqrt{x-1} +1 && \quad \mid -1 \\ -1&= \sqrt{x-1} && \quad\color{red}{\Large{\times}} \end{aligned}

Hier ergibt sich bereits ein Widerspruch!

Die Wurzelfunktion liefert nämlich nur die positive Lösung der Gleichung! Auf der linken Seite steht aber etwas negatives!

Das kann nicht sein!

Es gibt hier also keine reelle Nullstelle!

Exponentialfunktion mit Nullstelle

Aufgabe

Bestimme die Nullstellen der Exponentialfunktion

f(x) = \e^x -1

f(x) = \e^x -1

Lösung

Setze die Funktion gleich 0 $0$ und forme nach x $x$ um!

\begin{aligned} 0 &= \e^x -1 && \quad \mid +1 \\ 1 &= \e^x && \quad\mid \ln(\square) \\ 0 &= x \end{aligned}

\begin{aligned} 0 &= \e^x -1 && \quad \mid +1 \\ 1 &= \e^x && \quad\mid \ln(\square) \\ 0 &= x \end{aligned}

Der Logarithmus von 1 $1$ ist definiert. Daher gibt es hier eine Nullstelle!

Aufgabe

Bestimme die Nullstellen der Logarithmusfunktion

f(x) = \ln(x^2)

f(x) = \ln(x^2)

Lösung

Setze die Funktion gleich 0 $0$ und forme nach x $x$ um!

\begin{aligned} 0 &= \ln\left(x^2\right) && \quad\mid \e^\square \\ 1 &= x^2 && \quad\mid \sqrt{(\square)} \\ \pm1 &=x \end{aligned}

\begin{aligned} 0 &= \ln\left(x^2\right) && \quad\mid \e^\square \\ 1 &= x^2 && \quad\mid \sqrt{(\square)} \\ \pm1 &=x \end{aligned}

Diese Funktion hat zwei Nullstellen, da das Argument von dem Logarithmus eine quadratische Funktion ist.

Die beiden Nullstellen lauten x_1=1 $x_1=1$ und x_2 = -1 $x_2 = -1$ .

No items found.

simpleclub ist am besten in der App.

Mit unserer App hast du immer und überall Zugriff auf: Lernvideos, Erklärungen mit interaktiven Animationen, Übungsaufgaben, Karteikarten, individuelle Lernpläne uvm.

Web-Version

Top-Themen

Get the best learning hacks!

Nullstellen spezieller Funktionen