Ganzrationale Funktionen Grundlagen

Die ganzrationalen Funktionen sind die Funktionen mit denen in der Schule am meisten gearbeitet wird. Außerdem sind sie unglaublich wichtig, um verschiedenste Abläufe in der Wirtschaft zu verbessern.

Aber wie genau sehen ganzrationale Funktionen aus? Welche Eigenschaften besitzen sie und was kannst du über die Lage der Nullstellen ganzrationaler Funktionen sagen?

Genau das zeigt dir simpleclub jetzt!

Ganzrationale Funktion einfach erklärt

Ganzrationale Funktion Funktionsgleichung

Der Koeffizient vor der höchsten Potenz wird immer der Leitkoeffizient genannt. Außerdem bestimmt die höchste Potenz den Grad der Funktion. (x^3 \rarr$(x^3 \rarr$ Funktion 3. Grades)

Wenn der Grad einer Funktion gerade oder ungerade ist können wir daraufhin bestimme Aussagen über die Funktion treffen.

Ganzrationale Funktion Eigenschaften

Grad einer ganzrationalen Funktion

An dem höchsten Exponenten kannst du den Grad einer Funktion bestimmen (x^\col[1]4 \rarr(x^\col[1]4 \rarr Funktion 4. Grades).

Wenn du den Grad einer Funktion kennst, dann kennst du schon die ungefähre Form der Funktionsgleichung, außerdem kannst du eine grobe Aussage über den Verlauf der Funktion treffen.

Beispiel

Natürlich können die einzelnen Parameter (a,b,c,..)$(a,b,c,..)$ auch Null sein, dann tauchen sie nicht weiter in der Funktionsgleichung auf.

Durch Einsetzten verschiedener Parameter, verändert sich das Aussehen des Funktionsgraphens, aber grundsätzlich haben die verschiedenen Funktionen folgende Formen.

Hier siehst du schon, dass die Funktion 2. Grades und 4. Grades sich sehr ähnlich sehen. Das Muster führt sich für Funktion geraden Grades weiter fort.

Für Funktionen ungeraden Grades ist das ähnlich. Die verlaufen im Allgemeinen immer ähnlich wie eine Funktion 3. Grades.

Die Funktionen höherer Grade können allerdings deutlich mehr Nullstellen und Extremstellen als die Funktionen kleinerer Grade haben

Spezielle Namen von Funktionen

Die Funktionen die wir am häufigsten benutzen, haben spezielle Namen.

Definitionsbereich ganzrationale Funktionen

Der Definitionsbereich einer ganzrationalen Funktion sind immer die reellen Zahlen. Mathematisch ausgedrückt schreibst du also \boxed{\mathbb{D}=\R}.$\boxed{\mathbb{D}=\R}.$

Du darfst hier für x$x$ also alle Zahlen in die einsetzen, wenn f(x)$f(x)$ eine ganzrationale Funktion ist.

Wertebereich ganzrationale Funktionen

Über den Wertebereich können wir keine allgemeine Aussage treffen. Jedoch kann man hier eine Unterscheidung zwischen ganzrationalen Funktionen mit geraden Grad und ungeraden treffen.

Symmetrie ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen sind symmetrisch, wenn alle Exponenten der Funktion gerade oder ungerade sind.

Nullstellen ganzrationaler Funktionen berechnen

Die Nullstellen einer Funktion sind alle x$x$-Werte, für die der y$y$-Wert (bzw. Funktionswert) 0$0$ ist. Für eine Nullstelle x_0$x_0$ gilt daher f(x_0)=0$f(x_0)=0$.

Je nachdem, was für eine ganzrationale Funktion du gegeben hast, hast du verschiedene Möglichkeiten die Gleichung f(x)=0$f(x)=0$ nach x$x$ aufzulösen.

• Bei linearen Funktion kannst du die Gleichung einfach nach x$x$ umstellen.

• Bei quadratischen Funktionen kannst du die Gleichung mithilfe der pq-Formel, Mitternachtsformel (auch abc-Formel) oder der quadratischen Ergänzung lösen.

• Bei Funktionen mit höheren Graden ist das ein bisschen aufwendiger. \rarr$\rarr$ Dort kannst du entweder Nullstellen ausklammern oder die Polynomdivision anwenden.

Einfluss der Parameter ganzrationale Funktionen

Wie du bereits weißt, hat die Funktionsgleichung einen Einfluss darauf, wie der Funktionsgraph aussieht. Der Funktionsgraph kann zum Beispiel

• Verschoben werden
• Gespiegelt werden

Verschiebung des Funktionsgraphen

In \Large {y}$\Large {y}$-Richtung

Wenn du an eine Funktionsgleichung eine **Konstante** dazu addierst, dann wird der Funktionsgraph um genau diese Zahl nach oben verschoben. Bei negativen Zahlen entspricht das einer Verschiebung nach unten.

In \Large x$\Large x$-Richtung

Eine Verschiebung des Funktionsgraphen in x$x$-Richtung kannst du erzielen, indem du das x$x$ durch x-a$x-a$ oder x+a$x+a$ ersetzt. Um die Funktion nach rechts zu verschieben, subtrahiere a \implies (x-a)$a \implies (x-a)$. Um die Funktion nach links zu verschieben, addiere a \implies (x+a)$a \implies (x+a)$

Spiegeln des Funktionsgraphen

Du kannst einen Funktionsgraphen an der x$x$-Achse spiegeln indem du den Leitkoeffizienten (Koeffizient vor der höchsten Potenz) veränderst.

Für Funktionen geraden Grades gilt:

• positiver Leitkoeffizient \implies$\implies$ nach oben geöffnet.
• negativer Leitkoeffizient \implies$\implies$ nach unten geöffnet.

Für Funktionen ungeraden Grades gilt:

• positiver Leitkoeffizient \implies$\implies$ Der Graph verläuft vom Negativen ins Positive.
• negativer Leitkoeffizient \implies$\implies$ Der Graph verläuft vom Positiven ins Negative.

Ganzrationale Funktionen Beispiel

Aufgabe

Wir haben folgende Funktion gegeben

Bestimme

1. Den Grad der Funktion
2. Den Definitionsbereich der Funktion
3. Symmetrie der Funktion
4. Nullstellen der Funktion

Lösung

1. Den Grad der Funktion kannst du an der höchsten Potenz ablesen. (x^2 \implies \text{Grad }2)$(x^2 \implies \text{Grad }2)$
2. Der Definitionsbereich aller ganz rationalen Funktionen sind die reellen Zahlen. \boxed{\mathbb{D}=\R}$\boxed{\mathbb{D}=\R}$
3. Die Funktion hat sowohl gerade als auch ungerade Exponenten. Somit ist die Funktion nicht symmetrisch.
4. Um die Nullstellen der Funktion zu finden, musst du die Funktion f(x)$f(x)$ gleich 0$0$ setzen und dann die Gleichung nach x$x$ auflösen.

Mithilfe des Satz vom Nullprodukt weißt du jetzt, dass x_1=0$x_1=0$ ist. Um die weitere Nullstelle zu finden, musst du noch untersuchen, für welche x$x$ der Term innerhalb der Klammer gleich null wird.

Die Funktion besitzt Nullstellen bei x_1 =0$x_1 =0$ und x_2=4$x_2=4$.

Ganzrationale Funktionen Zusammenfassung

Die ganzrationalen Funktionen (auch: Polynomfunktionen) sind die am häufigsten auftauchenden Funktionen.