Oberflächeninhalte einfacher Körper

Hast du dich schon einmal gefragt wie man die Fläche eines Würfels oder einer Pyramide berechnet?

Beides sind Beispiele von Körpern und man kann ihren Oberflächeninhalt mathematisch berechnen.

Aufgaben zu Körpern und ihrem Oberflächeninhalt sind Gegenstand der Geometrie und darüber hinaus beliebte Themen in Tests und Klassenarbeiten.

simpleclub erklärt dir alles, was du zu einfachen Körpern und ihren Oberflächeninhalten wissen musst.

Oberflächeninhalte einfach erklärt

In der Geometrie bezeichnet man mit einem Körper eine dreidimensionale Figur, die aus mehreren Flächen besteht, die aneinandergrenzen.

Die Flächen zusammen ergeben die Oberfläche des Körpers. Der Oberflächeninhalt eines Körpers ergibt sich also aus der Summe der Flächeninhalte aller in dem Körper enthaltenen Flächen.

Typische Beispiele für Körper sind der Würfel, der Quader oder der Kegel.

Oberflächeninhalte Definition

Der Oberflächeninhalt eines Körpers berechnet sich aus der Summe aller Teilflächen, die zu dem Körper gehören.

\text{O} = \text{A}_1 + ... + \text{A}_nO=A1+...+An\text{O} = \text{A}_1 + ... + \text{A}_n

Oberflächeninhalt Erklärung

Ein geometrischer Körper ist eine dreidimensionale Figur, die immer aus mehreren Teilflächen besteht.

Einfache Körper bestehen meistens aus bekannten Flächen wie Rechteck, Quadrat, Dreieck, Parallelogramm oder Trapez.

  • So besteht ein Würfel beispielsweise aus sechs gleich großen Quadraten.

  • Oder ein Quader besteht aus Quadraten und Rechtecken.

  • Und eine Pyramide besteht aus Dreiecken und einem Quadrat.

Oberflächeninhalt eines Würfels

Seitenansicht
Vogelperspektive

Der Oberflächeninhalt des Würfels berechnet sich also, indem du zuerst den Flächeninhalt eines Quadrats berechnest:

\begin{aligned} \text{A}_{\square} &= a^2 \\[2mm] &= (5 ~\text{cm})^2 \\[2mm] &= 25~\text{cm}^2 \end{aligned}A=a2=(5 cm)2=25cm2\begin{aligned} \text{A}_{\square} &= a^2 \\[2mm] &= (5 ~\text{cm})^2 \\[2mm] &= 25~\text{cm}^2 \end{aligned}

Da alle Seitenflächen exakt gleich groß sind kannst du diesen Wert nun einfach mit sechs multiplizieren:

\text{O}_\textsf{Würfel} = 6 \cdot \text{A}_{\square} = 6 \cdot 25 ~\text{cm}^2 = \lsg{150 ~\text{cm}^2}OWu¨rfel=6A=625cm2=150cm2\text{O}_\textsf{Würfel} = 6 \cdot \text{A}_{\square} = 6 \cdot 25 ~\text{cm}^2 = \lsg{150 ~\text{cm}^2}

Wie du siehst hängt der Oberflächeninhalt des Würfels also nur von der Größe der quadratischen Seitenflächen ab.


Oberflächeninhalt einfacher Körper Beispiel

Aufgabe

Betrachte folgendes Trapezoid:

Trapezoid
Trapezoid

Berechne den Oberflächeninhalt des Trapezoids.

Tipp: du benötigst bei dieser Aufgabe den Satz des Pythagoras.

Lösung

In diesem Körper sind nur die beiden gegenüberliegenden Trapezflächen gleich groß. Deshalb musst du alle anderen Seitenflächen einzeln berechnen!

Am besten definierst du dir als erstes alle Seitenlängen:

\begin{aligned} \col[1] a &= 15 \text {~cm} \\ \col[2]b &= 8 \text {~cm} \\ \col[3]c &= 6 \text {~cm}\\ \col[4]d &= 7 \text {~cm} \end{aligned}a=15 cmb=8 cmc=6 cmd=7 cm\begin{aligned} \col[1] a &= 15 \text {~cm} \\ \col[2]b &= 8 \text {~cm} \\ \col[3]c &= 6 \text {~cm}\\ \col[4]d &= 7 \text {~cm} \end{aligned}

Jetzt kannst du nacheinander alle Seitenflächen berechnen:

\begin{aligned} \text{A}_\textsf{Grundfläche} &= \col[1]a \cdot \col[2]b \\ &= 15 \text{ cm} \cdot 8 \text{ cm} \\ &= 120 \text{ cm} ^2 \end{aligned}AGrundfla¨che=ab=15 cm8 cm=120 cm2\begin{aligned} \text{A}_\textsf{Grundfläche} &= \col[1]a \cdot \col[2]b \\ &= 15 \text{ cm} \cdot 8 \text{ cm} \\ &= 120 \text{ cm} ^2 \end{aligned}\begin{aligned} \text{A}_\textsf{Deckfläche} &= \col[2]b \cdot \col[4]d \\ &= 8 \text{ cm} \cdot 7 \text{ cm} \\ &= 56 \text{ cm} ^2 \end{aligned}ADeckfla¨che=bd=8 cm7 cm=56 cm2\begin{aligned} \text{A}_\textsf{Deckfläche} &= \col[2]b \cdot \col[4]d \\ &= 8 \text{ cm} \cdot 7 \text{ cm} \\ &= 56 \text{ cm} ^2 \end{aligned}\begin{aligned} \text{A}_\textsf{Seitenfläche1} &= \col[2]b \cdot \col[3]c \\ &= 8 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} \\ &= 48 \text{ cm} ^2 \end{aligned}ASeitenfla¨che1=bc=8 cm6 cm=48 cm2\begin{aligned} \text{A}_\textsf{Seitenfläche1} &= \col[2]b \cdot \col[3]c \\ &= 8 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} \\ &= 48 \text{ cm} ^2 \end{aligned}

Außerdem kannst du die Trapezflächen berechnen:

Der Flächeninhalt eines Trapezes berechnet sich aus ein Halb mal die Summe der parallelen Seitenlängen mal die Höhe:

\boxed{ \text{A}_T= \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h}AT=12(a+c)h\boxed{ \text{A}_T= \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h}\begin{aligned} \text{A}_\textsf{Seitenfläche2} &= \frac{1}{2} \cdot (15 \text{ cm} + 7 \text{ cm}) \cdot 6 \text{ cm} \\[2mm] &= \frac{1}{2} \cdot 22 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} \\[2mm] &= 66 \text{ cm}^2 \end{aligned}ASeitenfla¨che2=12(15 cm+7 cm)6 cm=1222 cm6 cm=66 cm2\begin{aligned} \text{A}_\textsf{Seitenfläche2} &= \frac{1}{2} \cdot (15 \text{ cm} + 7 \text{ cm}) \cdot 6 \text{ cm} \\[2mm] &= \frac{1}{2} \cdot 22 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} \\[2mm] &= 66 \text{ cm}^2 \end{aligned}
Trapezoid mit Seitenbeschriftung
Trapezoid mit beschrifteten Seiten

Jetzt fehlt dir noch die letzte Fläche, die "Frontfläche". Hier ist jetzt etwas nachdenken angesagt, da die Seitenlänge der Schräge unbekannt ist.

Bei genauem Hinschauen fällt dir sicher auf, dass du die Trapez-Seitenfläche in ein rechtwinkliges Dreieck verwandeln kannst, indem du am Ende der Schräge eine senkrechte Linie nach unten bis auf die Grundseite ziehst.

Damit erhältst du ein rechtwinkliges Dreieck. Die Seiten des Dreicks sind einmal die Höhe \col[3]cc\col[3]c sowie die Länge \col[5]e =\col[1] a - \col[4]de=ad\col[5]e =\col[1] a - \col[4]d und die unbekannte Schräge \col[6]ff\col[6]f. Die Länge der Schräge kannst du jetzt mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

\begin{aligned} \col[6]f^2 &= \col[3]c^2 + \col[5]e^2 \\ \col[6]f^2&= (6~\text{cm})^2 + (15~\text{cm}- 7~\text{cm})^2 = (6~\text{cm})^2 + (8~\text{cm})^2 \\ \col[6]f^2&= 36~\text{cm}^2 + 64~\text{cm}^2 \\ \col[6]f^2&= 100~\text{cm}^2 ~~~~~~~~ | \sqrt{\square} \\ \col[6]f&=10 ~\text{cm} \end{aligned}f2=c2+e2f2=(6 cm)2+(15 cm7 cm)2=(6 cm)2+(8 cm)2f2=36cm2+64cm2f2=100cm2f=10 cm\begin{aligned} \col[6]f^2 &= \col[3]c^2 + \col[5]e^2 \\ \col[6]f^2&= (6~\text{cm})^2 + (15~\text{cm}- 7~\text{cm})^2 = (6~\text{cm})^2 + (8~\text{cm})^2 \\ \col[6]f^2&= 36~\text{cm}^2 + 64~\text{cm}^2 \\ \col[6]f^2&= 100~\text{cm}^2 ~~~~~~~~ | \sqrt{\square} \\ \col[6]f&=10 ~\text{cm} \end{aligned}

Jetzt kannst du endlich den Flächeninhalt der letzten Seitenfläche berechnen:

\begin{aligned} \text{A}_\textsf{Seitenfläche3} &= \col[2]b \cdot \col[6]f \\ &= 8 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} \\ &= 80 \text{ cm} ^2 \end{aligned}ASeitenfla¨che3=bf=8 cm10 cm=80 cm2\begin{aligned} \text{A}_\textsf{Seitenfläche3} &= \col[2]b \cdot \col[6]f \\ &= 8 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} \\ &= 80 \text{ cm} ^2 \end{aligned}

Damit ergibt sich für den gesamten Oberflächeninhalt des Körpers:

\begin{aligned} \text{A}_\textsf{Tr} &= \text{A}_\textsf{Grundfläche} + \text{A}_\textsf{Deckfläche} + \text{A}_\textsf{Seitenfläche1} + 2 \cdot \text{A}_\textsf{Seitenfläche2} + \text{A}_\textsf{Seitenfläche3} \\[3mm] &= 120 \text{ cm} ^2 + 56 \text{ cm} ^2 + 48 \text{ cm} ^2 + 2 \cdot 66 \text{ cm} ^2 + 80 \text{ cm} ^2 \\[3mm] &= \lsg{436 \text{ cm} ^2} \end{aligned}ATr=AGrundfla¨che+ADeckfla¨che+ASeitenfla¨che1+2ASeitenfla¨che2+ASeitenfla¨che3=120 cm2+56 cm2+48 cm2+266 cm2+80 cm2=436 cm2\begin{aligned} \text{A}_\textsf{Tr} &= \text{A}_\textsf{Grundfläche} + \text{A}_\textsf{Deckfläche} + \text{A}_\textsf{Seitenfläche1} + 2 \cdot \text{A}_\textsf{Seitenfläche2} + \text{A}_\textsf{Seitenfläche3} \\[3mm] &= 120 \text{ cm} ^2 + 56 \text{ cm} ^2 + 48 \text{ cm} ^2 + 2 \cdot 66 \text{ cm} ^2 + 80 \text{ cm} ^2 \\[3mm] &= \lsg{436 \text{ cm} ^2} \end{aligned}

Oberflächeninhalt einfacher Körper Zusammenfassung

Körper:

  • Ein Körper ist eine dreidimensionale Figur, die aus mehreren Flächen besteht, die aneinandergrenzen. Die Flächen zusammen ergeben die Oberfläche des Körpers.
  • typische Beispiele: Würfel, Quader, Pyramide, Kegel.

Oberflächeninhalt:

  • Der Oberflächeninhalt eines Körpers ergibt sich aus der Summe der Flächeninhalte aller in dem Körper enthaltenen Flächen.
  • Die Formel für den Oberflächeninhalt \text{O}O\text{O} lautet : \text{O} = \text{A}_1 + ... + \text{A}_nO=A1+...+An\text{O} = \text{A}_1 + ... + \text{A}_n
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