Satz von Bayes

Beschäftigst du dich in Mathe mit Stochastik?

Dann wird dir, wenn du dich mit bedingter Wahrscheinlichkeit befasst, wahrscheinlich auch der Satz von Bayes begegnen.

Was es mit dieser Berechnungsart auf sich hat, erklärt dir simpleclub.


Satz von Bayes einfach erklärt

Der Satz von Bayes ist eine alternative Berechnungsart für bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Er lautet:

P(\col[1]A|\col[2]B)= \frac{P(\col[2]B|\col[1]A) \cdot P(\col[1]A)}{P(\col[2]B)}P(AB)=P(BA)P(A)P(B)P(\col[1]A|\col[2]B)= \frac{P(\col[2]B|\col[1]A) \cdot P(\col[1]A)}{P(\col[2]B)}

Du kannst mit dem Satz von Bayes also, wie mit der allgemeinen Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten auch, bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen.

Wann du welche Formel benutzt, hängt davon ab, welche Werte dir in der Aufgabenstellung gegeben sind.

Den Satz von Bayes benutzt du genau dann, wenn dir bereits eine bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A)P(BA)P(B|A) gegeben ist und du P(A|B)P(AB)P(A|B) berechnen willst.

Satz von Bayes Definition

Mit dem Satz von Bayes können bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnet werden.


Satz von Bayes Beispiel

Fahrradhelm

50~\%50%50~\% aller Menschen besitzen einen Helm. 80~\%80%80~\% aller Menschen besitzen ein Fahrrad. 20~\%20%20~\% aller Fahrradfahrer haben einen Helm.

Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand einen Helm besitzt, wenn er ein Fahrrad hat, liegt bei 60~\%60%60~\% . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand ein Fahrrad besitzt, wenn er einen Helm hat?

Lösung

Es handelt sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit: Du suchst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person ein Fahrrad besitzt, unter der Bedingung, dass sie einen Helm hat.

Definiere dir also folgende Ereignisse:

A:A:A: "Person XXX besitzt ein Fahrrad".

B:B:B: "Person XXX besitzt einen Helm".

Aus der Aufgabenstellung kannst du die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten entnehmen:

P(\col[1]A) = 0,8P(A)=0,8P(\col[1]A) = 0,8P(\col[2]B)= 0,5P(B)=0,5P(\col[2]B)= 0,5

Um jetzt den Satz von Bayes verwenden zu können, benötigst du außerdem die von BBB auf AAA bedingte Wahrscheinlichkeit:

P(B|A)P(BA)P(B|A): Person XXX besitzt einen Helm, wenn sie ein Fahrrad besitzt.

Glücklicherweise wird dir auch diese Wahrscheinlichkeit im Text gegeben (Achtung: Die Info, dass 20~\%20%20~\% aller Fahrradfahrer einen Helm besitzen ist irrelevant, da sie keine bedingte Wahrscheinlichkeit ist) :

P(\col[2]B|\col[1]A) = 0,6P(BA)=0,6P(\col[2]B|\col[1]A) = 0,6

Jetzt kannst du den Satz von Bayes verwenden, um die gesuchte, bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B)P(AB)P(A|B) zu berechnen:

P(\col[1]A|\col[2]B) = \frac{P(\col[2]B|\col[1]A) \cdot P(\col[1]A)}{P(\col[2]B)} = \frac{0,6 \cdot 0,8}{0,5} = \lsg{0,96} = 96~\% P(AB)=P(BA)P(A)P(B)=0,60,80,5=0,96=96%P(\col[1]A|\col[2]B) = \frac{P(\col[2]B|\col[1]A) \cdot P(\col[1]A)}{P(\col[2]B)} = \frac{0,6 \cdot 0,8}{0,5} = \lsg{0,96} = 96~\%

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein Fahrrad besitzt, wenn sie einen Helm hat, beträgt also 96~\%96%96~\% .

Medizinischer Test

Ein medizinischer Test auf eine Infektionskrankheit fällt bei 2~\%2%2~\% aller Menschen positiv aus, allerdings sind nur 0,5~\%0,5%0,5~\% aller Menschen auch wirklich infiziert. Ist eine Person wirklich infiziert, fällt der Test zu 99~\%99%99~\% positiv aus.

Eine zufällig ausgewählte Person erhält ein positives Testergebnis. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Person wirklich infiziert?

Lösung

Es handelt sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit: Du suchst die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person infiziert ist, unter der Bedingung, dass sie ein positives Testergebnis erhalten hat.

Definiere dir also:

A:A:A: "Person XXX ist infiziert".

B:B:B: "Person XXX erhält ein positives Testergebnis".

Aus der Aufgabenstellung kannst du die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten entnehmen:

P(\col[1]A) = 0,005P(A)=0,005P(\col[1]A) = 0,005P(\col[2]B)=0,02P(B)=0,02P(\col[2]B)=0,02

Um jetzt den Satz von Bayes verwenden zu können, benötigst du außerdem die von BBB auf AAA bedingte Wahrscheinlichkeit:

P(B|A)P(BA)P(B|A): Person XXX besitzt ein positives Testergebnis unter der Bedingung, dass sie infiziert ist.

Auch diese Wahrscheinlichkeit wird dir in der Aufgabenstellung gegeben:

P(\col[2]B|\col[1]A) = 0,99P(BA)=0,99P(\col[2]B|\col[1]A) = 0,99

Jetzt kannst du den Satz von Bayes verwenden, um die gesuchte, bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B)P(AB)P(A|B) zu berechnen:

\begin{aligned} P(\col[1]A|\col[2]B) = \frac{P(\col[2]B|\col[1]A) \cdot P(\col[1]A)}{P(\col[2]B)} = \frac{0,99 \cdot 0,005}{0,02} \approx \lsg{0,25} = 25~\% \end{aligned}P(AB)=P(BA)P(A)P(B)=0,990,0050,020,25=25%\begin{aligned} P(\col[1]A|\col[2]B) = \frac{P(\col[2]B|\col[1]A) \cdot P(\col[1]A)}{P(\col[2]B)} = \frac{0,99 \cdot 0,005}{0,02} \approx \lsg{0,25} = 25~\% \end{aligned}

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person wirklich infiziert ist, wenn sie ein positives Testergebnis erhält, beträgt also ca. 25~\%25%25~\% .

Next topic:
Vierfeldertafel

Continue
Vierfeldertafel

Jetzt unlimited holen!

Mit simpleclub unlimited bekommst du Vollzugang zur App: Du boostest deine Noten, hast mehr Freizeit und gehst sicher in jede Klausur!

Jetzt unlimited holen

Jetzt simpleclub Azubi holen!

Mit simpleclub Azubi bekommst du Vollzugang zur App: Wir bereiten dich in deiner Ausbildung optimal auf deine Prüfungen in der Berufsschule vor. Von Ausbilder*innen empfohlen.

Jetzt simpleclub Azubi holen