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Lage zwischen Ebenen in Parameterform

Du hast in Mathe gerade das Thema Lagebeziehungen von Ebenen?

Dann wirst du wahrscheinlich schon wissen, dass Ebenen identisch oder parallel sein können und sich auch schneiden können.

Wie bestimmt man die Lagebeziehung von Ebenen in Parameterform?

simpleclub zeigt dir Schritt für Schritt, wie es geht!

Lagebeziehung von Ebenen in Parameterform einfach erklärt

Lagebeziehung von Ebenen in Parameterform bestimmen Definition

Sind beide Ebenen in Parameterform gegeben, kannst du die Lage über ein Gleichungssystem bestimmen.

Das geht in drei Schritten:

  1. Ebenen gleichsetzen
  2. Gleichungssystem lösen
  3. Lösung interpretieren

Lagebeziehung von Ebenen in Parameterform Bestimmen Vorgehensweise

Um die Lagebeziehungen von Ebenen bestimmen zu können, musst du erst die drei folgenden Schritte durchführen und kannst dann bestimmen, ob die Ebenen identisch oder parallel sind oder ob sie sich schneiden.

Schritt 1: Ebenen gleichsetzen.

Schritt 2: Gleichungssystem lösen.

Schritt 3: Lösung interpretieren.

  1. Ebenen sind identisch
  • Parameter lösen sich auf und das Gleichungssystem ergibt eine wahre Aussage.
  • Bsp.: 7=7, 10=10, 4=4
  1. Ebenen sind parallel
  • Parameter lösen sich auf und das Gleichungssystem ergibt eine falsche Aussage.
  • Bsp.: 8=12, 4=7, 2=1
  1. Ebenen schneiden sich entlang einer Schnittgerade
  • Das Gleichungssystem lässt sich soweit umstellen, bis maximal zwei Parameter in einer Gleichung stehen. Diese müssen dann in die passende Ebenengleichung eingesetzt werden und du erhältst eine Schnittgerade.
  • Bsp.: s=2r+3, s=4, r=5, r=8s

Lagebeziehung von Ebenen in Parameterform Beispiele

Identische Ebenen

E_1:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}E1:x⃗=(201)+r⋅(021)+s⋅(140)E_1:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}E_2:\vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix}E2:x⃗=(362)+t⋅(042)+u⋅(3120)E_2:\vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix}

Schritt 1: Ebenen gleichsetzen.

Setze E₁ = E₂

\textit{I.)}~~~~2+0r+s=3+0t+3uI.)2+0r+s=3+0t+3u\textit{I.)}~~~~2+0r+s=3+0t+3u\textit{II.)}~~~0+2r+4s=6+4t+12uII.)0+2r+4s=6+4t+12u\textit{II.)}~~~0+2r+4s=6+4t+12u\textit{III.)}~~1+r+0s=2+2t+0uIII.)1+r+0s=2+2t+0u\textit{III.)}~~1+r+0s=2+2t+0u\Leftrightarrow⇔\Leftrightarrow\textit{I.)}~~~~s-3u=1I.)s−3u=1\textit{I.)}~~~~s-3u=1\textit{II.)}~~~2r+4s-4t-12u=6II.)2r+4s−4t−12u=6\textit{II.)}~~~2r+4s-4t-12u=6\textit{III.)}~~r-2t=1III.)r−2t=1\textit{III.)}~~r-2t=1

Schritt 2: Gleichungssystem lösen.

Aus I.) ergibt sich:

s=1+3us=1+3us=1+3u

Aus III.) ergibt sich:

r=1+2tr=1+2tr=1+2t

Setze beides in II.) ein:

2\cdot(1+2t)+4\cdot(1+3u)-4t-12u=62⋅(1+2t)+4⋅(1+3u)−4t−12u=62\cdot(1+2t)+4\cdot(1+3u)-4t-12u=6\Leftrightarrow 2+4t+4+12u-4t-12u=6⇔2+4t+4+12u−4t−12u=6\Leftrightarrow 2+4t+4+12u-4t-12u=6\Leftrightarrow 6=6~~\textit{w.A.}⇔6=6w.A.\Leftrightarrow 6=6~~\textit{w.A.}

Schritt 3: Lösung interpretieren.

Alle Parameter sind frei wählbar und das Gleichungssystem ergibt eine wahre Aussage. Damit sind die Ebenen identisch.

Parallele Ebenen

E_1:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}E1:x⃗=(01−1)+r⋅(304)+s⋅(120)E_1:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}E_2:\vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}E2:x⃗=(352)+t⋅(608)+u⋅(360)E_2:\vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}

Schritt 1: Ebenen gleichsetzen.

Setze E₁ = E₂

\textit{I.)}~~~~0+3r+s=3+6t+3uI.)0+3r+s=3+6t+3u\textit{I.)}~~~~0+3r+s=3+6t+3u\textit{II.)}~~~1+0r+2s=5+0t+6uII.)1+0r+2s=5+0t+6u\textit{II.)}~~~1+0r+2s=5+0t+6u\textit{III.)}~~-1+4r+0s=2+8t+0uIII.)−1+4r+0s=2+8t+0u\textit{III.)}~~-1+4r+0s=2+8t+0u\Leftrightarrow⇔\Leftrightarrow\textit{I.)}~~~~3r+s-6t-3u=3I.)3r+s−6t−3u=3\textit{I.)}~~~~3r+s-6t-3u=3\textit{II.)}~~~2s-6u=4II.)2s−6u=4\textit{II.)}~~~2s-6u=4\textit{III.)}~~4r-8t=3III.)4r−8t=3\textit{III.)}~~4r-8t=3

Schritt 2: Gleichungssystem lösen.

Aus II.) ergibt sich:

s=2+3us=2+3us=2+3u

Aus III.) ergibt sich:

r=\frac{3}{4}+2tr=34+2tr=\frac{3}{4}+2t

Setze beides in I.) ein:

3\cdot(\frac{3}{4}+2t)+2+3u-6t-3u=33⋅(34+2t)+2+3u−6t−3u=33\cdot(\frac{3}{4}+2t)+2+3u-6t-3u=3\Leftrightarrow \frac{9}{4}+6t+2+3u-6t-3u=3⇔94+6t+2+3u−6t−3u=3\Leftrightarrow \frac{9}{4}+6t+2+3u-6t-3u=3\Leftrightarrow \frac{17}{4}=3~~\textit{f.A.}⇔174=3f.A.\Leftrightarrow \frac{17}{4}=3~~\textit{f.A.}

Schritt 3: Lösung interpretieren.

Das Gleichungssystem hat keine Lösung bzw. endet mit einer falschen Aussage. Damit sind die Ebenen parallel.

Schneidende Ebenen

E_1:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}E1:x⃗=(143)+r⋅(021)+s⋅(−140)E_1:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}E_2:\vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}E2:x⃗=(642)+t⋅(332)+u⋅(21−1)E_2:\vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}

Schritt 1: Ebenen gleichsetzen.

Setze E₁ = E₂

\textit{I.)}~~~~1+0r-s=6+3t+2uI.)1+0r−s=6+3t+2u\textit{I.)}~~~~1+0r-s=6+3t+2u\textit{II.)}~~~4+2r+4s=4+3t+uII.)4+2r+4s=4+3t+u\textit{II.)}~~~4+2r+4s=4+3t+u\textit{III.)}~~3+r+0s=2+2t-uIII.)3+r+0s=2+2t−u\textit{III.)}~~3+r+0s=2+2t-u\Leftrightarrow⇔\Leftrightarrow\textit{I.)}~~~~s=-5-3t-2uI.)s=−5−3t−2u\textit{I.)}~~~~s=-5-3t-2u\textit{II.)}~~~2r+4s-3t-u=0II.)2r+4s−3t−u=0\textit{II.)}~~~2r+4s-3t-u=0\textit{III.)}~~r=-1+2t-uIII.)r=−1+2t−u\textit{III.)}~~r=-1+2t-u

Schritt 2: Gleichungssystem lösen.

Setze I.) und III.) in II.) ein:

2\cdot(-1+2t-u)+4\cdot(-5-3t-2u)-3t-u=02⋅(−1+2t−u)+4⋅(−5−3t−2u)−3t−u=02\cdot(-1+2t-u)+4\cdot(-5-3t-2u)-3t-u=0\Leftrightarrow -2+4t-2u-20-12t-8u-3t-u=0⇔−2+4t−2u−20−12t−8u−3t−u=0\Leftrightarrow -2+4t-2u-20-12t-8u-3t-u=0\Leftrightarrow -22-11t-11u=0 \ \ \ |:(-11)⇔−22−11t−11u=0∣:(−11)\Leftrightarrow -22-11t-11u=0 \ \ \ |:(-11)\Leftrightarrow 2+t+u=0⇔2+t+u=0\Leftrightarrow 2+t+u=0\Leftrightarrow t=-2-u⇔t=−2−u\Leftrightarrow t=-2-u

Schritt 3: Lösung interpretieren.

Du erhältst eine Lösung für einen Parameter in Abhängigkeit eines anderen Parameters. Damit schneiden sich die Ebenen.

Mit dieser Lösung kannst du nun eine Schnittgerade aufstellen.

Schnittgerade

Setze die Lösung t=-2-u in E₂ ein, da hier die Parameter t und u vorkommen.

g_s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2-u) \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}gs:x⃗=(642)+(−2−u)⋅(332)+u⋅(21−1)g_s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2-u) \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\Leftrightarrow g_s: \vec{x}= \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6-3u \\ -6-3u \\ -4-2u \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2u \\ u \\ -u \end{pmatrix}⇔gs:x⃗=(642)+(−6−3u−6−3u−4−2u)+(2uu−u)\Leftrightarrow g_s: \vec{x}= \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6-3u \\ -6-3u \\ -4-2u \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2u \\ u \\ -u \end{pmatrix}\Leftrightarrow g_s: \vec{x}= \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ -4 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}⇔gs:x⃗=(642)+(−6−6−4)+u⋅(−1−2−3)\Leftrightarrow g_s: \vec{x}= \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ -4 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}\Leftrightarrow⇔\Leftrightarrowg_s:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}+u \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}gs:x⃗=(0−2−2)+u⋅(−1−2−3)g_s:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}+u \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}
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