Ableitungsgraphen zeichnen

Um den Ableitungsgraphen zu zeichnen, kannst du dich an Extremstellen, Wendestellen und allgemein der Steigung der Funktion orientieren.


Vorgehensweise

Die Ableitung einer Funktion f(x)f(x)f(x) gibt zu jeder xxx-Stelle die Steigung des Funktionsgraphen an genau dieser xxx-Stelle an.

Somit beschreibt der Ableitungsgraph von f'(x)f(x)f'(x) anschaulich das Steigungsverhalten des Graphen von f(x)f(x)f(x).

Willst du also zu einer gegebenen Funktion f(x)f(x)f(x) den Ableitungsgraphen zeichnen, so schaust du dir das Steigungsverhalten von f(x)f(x)f(x) an.

Dabei orientierst du dich stets nur an der Steigung an jeder xxx-Stelle und nicht an den yyy-Werten an den Stellen, da die Ableitung die Steigung vom Funktionsgraphen an jeder xxx-Stelle beschreibt.

Die folgenden Schritten sollen dir helfen, den Ableitungsgraphen zu zeichnen:

Schritt 1: Extrem- und Sattelstellen der Funktion bestimmen

Zunächst bestimmst du die Extrem- und Sattelstellen der Funktion f(x)f(x)f(x).

An den Extrem- und Sattelstellen ist die Steigung des Funktionsgraphen 000, da der Graph weder steigt noch fällt.

Damit muss auch die Ableitung an den Extrem- und Sattelstellen 000 sein. Die Ableitung besitzt somit an den Stellen ihre Nullstellen.

Funktion

Ableitung

Hochpunkt bei \col[1]{x_H}xH\col[1]{x_H}

Nullstelle bei \col[1]{x_H}xH\col[1]{x_H}

Tiefpunkt bei \col[2]{x_T}xT\col[2]{x_T}

Nullstelle bei \col[2]{x_T}xT\col[2]{x_T}

Sattelpunkt bei \col[3]{x_S}xS\col[3]{x_S}

Nullstelle bei \col[3]{x_S}xS\col[3]{x_S}

Wie gehst du am besten vor?

  1. Markiere die Extremstellen und ggf. Sattelstellen der Funktion f(x)f(x)f(x).

  2. Markiere für den Ableitungsgraphen an den gleichen Stellen die Stellen auf der xxx-Achse. Sie sind die Nullstellen der Ableitung.

Merke dir: An den Extrem- und Sattelstellen von f(x)f(x)f(x) ist die Steigung 000. Somit weist der Ableitungsgraph an diesen Stellen von f(x)f(x)f(x) Nullstellen auf.

Schritt 2: Steigungsverhalten abschnittsweise bestimmen

Als nächstes analysierst du das Steigungsverhalten der Funktion f(x)f(x)f(x) zwischen den Extremstellen.

Da die Ableitung f'(x)f(x)f'(x) das Steigungsverhalten von f(x)f(x)f(x) beschreibt, schaust du dir an, in welchen Abschnitten die Steigung von f(x)f(x)f(x) positiv und wo negativ ist und zeichnest dementsprechend den Ableitungsgraphen ober- oder unterhalb der xxx-Achse ein.

Hierzu findest du im Folgenden eine Übersicht:

Steigung der Funktion

Werte der Ableitung

positiv im Bereich [\col[1]{a};\col[2]{b}][a;b][\col[1]{a};\col[2]{b}]

positiv im Bereich [\col[1]{a};\col[2]{b}][a;b][\col[1]{a};\col[2]{b}]

negativ im Bereich [\col[1]{a};\col[2]{b}][a;b][\col[1]{a};\col[2]{b}]

negativ im Bereich [\col[1]{a};\col[2]{b}][a;b][\col[1]{a};\col[2]{b}]

Wie gehst du am besten vor?

  1. Überprüfe abschnittsweise: Steigt oder fällt der Graph von f(x)f(x)f(x)? Du kannst dir als Hilfsmittel einen Pfeil nach oben oder unten einzeichnen.

  2. Zeichne beim Ableitungsgraphen einen beliebigen Punkt oberhalb der xxx-Achse, wenn der Graph von f(x)f(x)f(x) an dieser Stelle steigt oder unterhalb der xxx -Achse ein, wenn der Graph von f(x)f(x)f(x) fällt.

  3. Kontrolliere: Ist die Steigung an einer bestimmten Stelle von f(x)f(x)f(x) besonders steil, sollte der Ableitungsgraph an dieser Stelle besonders weit oben liegen. Ist die Steigung von f(x)f(x)f(x) eher flach, sollte der Punkt nah an der xxx-Achse sein.

Merke dir: Ist die Steigung in einem Bereich positiv bzw. negativ ist, dann ist auch die Ableitung dort positiv bzw. negativ.

Schritt 3: Wendestellen der Funktion bestimmen

Im letzten Schritt bestimmst du die Wendestellen von f'(x)f(x)f'(x).

Du erkennst einen Wendepunkt daran, dass sich dort die Steigung entweder von steiler zu flacher oder von flacher zu steiler ändert. Das liegt daran, dass sich das Krümmungsverhalten an den Wendestellen ändert.

An den Wendestellen fällt oder steigt der Funktionsgraph von f(x)f(x)f(x) besonders extrem. Da somit auch die Steigung dort besonders extrem ist, besitzt die Ableitung an diesen Stellen ihre Extremstellen.

Funktion

Ableitung

Wendestelle mit minimaler Steigung bei \col[1]{x_W}xW\col[1]{x_W}

Tiefpunkt bei \col[1]{x_W}xW\col[1]{x_W}

Wendestelle mit maximaler Steigung bei \col[1]{x_W}xW\col[1]{x_W}

Hochpunkt bei \col[1]{x_W}xW\col[1]{x_W}

Wendestelle mit minimalem Fallen bei \col[1]{x_W}xW\col[1]{x_W}

Tiefpunkt bei \col[1]{x_W}xW\col[1]{x_W}

Wendestelle mit maximalem Fallen bei \col[1]{x_W}xW\col[1]{x_W}

Hochpunkt bei \col[1]{x_W}xW\col[1]{x_W}

Wie gehst du am besten vor?

  1. Markiere die Wendestellen der Funktion f(x)f(x)f(x). Die Wendestellen erkennst du daran, dass sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert.
  2. Überprüfe, ob die Steigung an den jeweiligen Wendestelle minimal (steigend/fallend) oder maximal (steigend/fallend) ist.
  3. Ist die Steigung an der Wendestelle minimal , zeichnest du an der gleichen Stelle für den Ableitungsgraphen einen Tiefpunkt ein. Ist die Steigung hingegen maximal, so muss der Ableitungsgraph einen Hochpunkt an der gleichen Stelle aufweisen.

Merke dir: Die Ableitung besitzt an den Wendestellen von f(x)f(x)f(x) ihre Extremstellen. Um den Ableitungsgraphen zu zeichnen, schaust du dir an, ob sich die Steigung vom Funktionsgraphen an der Wendestelle minimal oder maximal ist.

Ableitungsgraphen zeichnen

Du siehst, dass du die einzelnen Erkenntnisse nutzen kannst, um den Ableitungsgraphen schrittweise zu zeichnen.

Übersicht

Im Folgenden findest du noch einmal eine kurze Übersicht über die Zusammenhänge zwischen dem Funktions- und Ableitungsgraphen:

Funktion

Ableitung

Extremstelle bei \col[1]{x_E}xE\col[1]{x_E}

Nullstelle bei \col[1]{x_E}xE\col[1]{x_E}

Sattelstelle bei \col[2]{x_S}xS\col[2]{x_S}

Nullstelle bei \col[2]{x_S}xS\col[2]{x_S}

steigt im Bereich [\col[3]{a;b}][a;b][\col[3]{a;b}]

positiv im Bereich [\col[3]{a;b}][a;b][\col[3]{a;b}]

fällt im Bereich [\col[4]{c;d}][c;d][\col[4]{c;d}]

negativ im Bereich [\col[4]{c;d}][c;d][\col[4]{c;d}]

Wendestelle mit minimaler Tangentensteigung bei \col[5]{x_W}xW\col[5]{x_W}

Tiefpunkt bei \col[5]{x_W}xW\col[5]{x_W}

Wendestelle mit maximaler Tangentensteigung bei \col[6]{x_W}xW\col[6]{x_W}

Hochpunkt bei \col[6]{x_W}xW\col[6]{x_W}


Beispiel 1

Aufgabenstellung

Gegeben ist folgender Funktionsgraph:

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Skizziere den Ableitungsgraphen.

Lösung

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Beispiel 2

Aufgabenstellung

Gegeben ist folgender Funktionsgraph:

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Skizziere den Ableitungsgraphen.

Lösung

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