Wenn du dich in der Schule gerade mit dem Thema Analysis, genauer gesagt mit der Differentialrechnung beschäftigst, wirst du auch Ableitungen von Funktionen berechnen.

Durch die Ableitungen kannst du herausfinden, wie deine Funktion an einer bestimmten Stelle steigt.

Was es genau mit einer Ableitung auf sich hat und wie eine Ableitung aussieht, erklärt dir simpleclub!

Ableitung einfach erklärt

Schreibweise

Eine Ableitung ist stets mit einem kleinen Strich hinter dem f gekennzeichnet.

f(x)= \textsf{Funktion}

f(x)= \textsf{Funktion}

f'(x)=\textsf{Ableitung}

f'(x)=\textsf{Ableitung}

Ableitung Definition

Die Ableitung einer Funktion f(x) $f(x)$ an einer Stelle x $x$ gibt die Steigung des Graphen an der Stelle x $x$ an.

Zusammenhang zwischen Steigung und Ableitung

Positive und negative Steigung

Positive Steigung	Negative Steigung
Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen	Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen
Verläuft ein Graph einer Funktion f(x) $f(x)$ in einem Abschnitt nach oben, ist die Steigung und damit die Ableitung f'(x) $f'(x)$ dort positiv.	Verläuft ein Graph einer Funktion f(x) $f(x)$ in einem Abschnitt nach unten, ist die Steigung und damit die Ableitung f'(x) $f'(x)$ dort negativ.
f'(x)>0 $f'(x)>0$	f'(x)<0 $f'(x)<0$

Steigung = 0

An Hochpunkten und Tiefpunkten ist die Steigung 0. Genau da, geht es weder nach oben noch nach unten.

Es gilt dann:

f'(x) = 0

f'(x) = 0

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Warum brauchst du eigentlich die Ableitung?

Wenn du den Graphen einer Funktion hast, kannst du in jedem Punkt bestimmen, wie steil der Graph verläuft.

Z.B. der Graph von

\textcolor{sc_color_1}{f(x) = x^2 + 1}

\textcolor{#7F7706}{f(x) = x^2 + 1}

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Möchtest du wissen wie steil der Graph im Punkt (2|5) ist, kannst du sehr kompliziert die Tangente bestimmen - also die Gerade, die durch den Punkt (2|5) verläuft und den Graphen berührt. Von dieser Geraden kannst du dann die Steigung ablesen.

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Die Tangente durch den Punkt (2|5) lautet:

y = \textcolor{sc_color_1}{4}\cdot x - 3

y = \textcolor{#7F7706}{4}\cdot x - 3

und hat die Steigung 4.

Im Punkt P(0|1) hat der Graph einen Tiefpunkt. Die Steigung ist 0. Der Graph verläuft in diesem Punkt weder nach oben oder nach unten:

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Die Tangente durch den Punkt (0|1) lautet:

y=1= \textcolor{sc_color_1}{0}\cdot x+1

y=1= \textcolor{#7F7706}{0}\cdot x+1

und hat Steigung 0.

Stell dir vor, du müsstest das jetzt für jeden Punkt auf dem Graphen machen!

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Darum brauchst du die Ableitung!

Die Ableitung ist jetzt eine Art Abkürzung! Du musst nicht mühsam die ganzen Tangenten aufstellen und davon die Steigung ablesen. Du brauchst nur die Ableitung und weißt zu jedem Punkt sofort die Steigung!

Die Ableitung einer Funktion ist selbst eine Funktion und beschreibt, wie groß die Steigung der Ausgangsfunktion in jedem Punkt ist.

Die Ableitung von

f(x) = x^2 + 1

f(x) = x^2 + 1

lautet

f'(x) = 2x

f'(x) = 2x

Die Steigung im Punkt (2|5) ist dann

f'(2) = 2\cdot 2 = 4

f'(2) = 2\cdot 2 = 4

Die Steigung im Punkt (0|1) ist dann

f'(0) = 2\cdot 0 = 0

f'(0) = 2\cdot 0 = 0

Ableitung Beispiele

Steigung ausrechnen - einfach

Aufgabe

Bestimme zur Funktion

f(x) = x^3 + 1

f(x) = x^3 + 1

die Steigung im Punkt P(1,2)!

Lösungsweg

Du bildest die Ableitung

f'(x) = 3\cdot x^2

f'(x) = 3\cdot x^2

und setzt dann den x-Wert in die Ableitung ein

f'(1) = 3\cdot 1^2 = 3

f'(1) = 3\cdot 1^2 = 3

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Die Steigung im Punkt P(1, 2) ist 3.

Steigung ausrechnen - schwierig

Aufgabe

Bestimme zur Funktion

f(x) = -x^2+2

f(x) = -x^2+2

die Steigung im Punkt P(1,1)!

Lösungsweg

Du bildest die Ableitung

f'(x) = (-2)\cdot x

f'(x) = (-2)\cdot x

und setzt dann den x-Wert in die Ableitung ein

f'(1) = -2\cdot 1=-2

f'(1) = -2\cdot 1=-2

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Die Steigung im Punkt P(1, 1) ist -2.

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Ableitung Definition