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Abstand Punkt von Ebene über Lotfußpunktverfahren

Du hast in Mathe gerade das Thema Vektorgeometrie und sollst den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene berechnen?

Hierfür kannst du das Lotfußpunktverfahren verwenden.

Was das ist und wie du es nutzt, zeigt dir simpleclub!

Abstand Punkt und Ebene mit Lotfußpunktverfahren einfach erklärt

Definition Abstand Punkt Ebene mit Lotfußpunktverfahren

Beim Lotfußpunktverfahren für den Abstand zwischen Punkt und Ebene erstellst du eine Lotgerade, die die Ebene durchstößt und den Punkt beinhaltet.

Vorgehensweise Abstand Punkt Ebene mit Lotfußpunktverfahren

Auf der Grafik siehst du, wie die Lotgerade g die Ebene E durchstößt. Dabei steht die Lotgerade senkrecht zur Ebene und hat den Normalenvektor als Richtungsvektor.

Für dieses Verfahren empfiehlt es sich, die Ebene in Koordinatenform vorliegen zu haben.

Schritt 1: Lotgerade \large l $\large l$

Als Erstes stellst du eine Lotgerade auf, die senkrecht auf der Ebene steht und durch den Punkt geht.
Das heißt der Normalenvektor \vec{n} $\vec{n}$ der Ebene ist der Richtungsvektor der Lotgeraden l $l$ und der Ortsvektor des Punkts ist der Stützvektor.

l: \quad \vec{x}= \col[2]{\vec{OP}} + s\cdot \col[1]{\vec{n}}

l: \quad \vec{x}= \col[2]{\vec{OP}} + s\cdot \col[1]{\vec{n}}

Schritt 2: Lotfußpunkt \large F $\large F$

Dann berechnest du den Lotfußpunkt (auch Durchstoßpunkt/ Schnittpunkt) F $F$ von der Lotgeraden l $l$ mit der Ebene.
Dazu setzt du die Koordinaten der Lotgeraden l $l$ in die Ebenengleichung ein.

F= E \cap g

F= E \cap g

Schritt 3: Abstand \large d $\large d$

Zum Schluss musst du nur noch den Abstand d $d$ vom gegebenen Punkt zum Lotfußpunkt F $F$ berechnen, indem du den Betrag des Verbindungsvektors berechnest.

d= \left|\overrightarrow{FP} \right|

d= \left|\overrightarrow{FP} \right|

Abstand Punkt und Ebene mit Lotfußpunktverfahren Beispiele

Ebene in Koordinatenform

Berechne den Abstand zwischen der Ebene E $E$ und dem Punkt P $P$ .

E:~2x-3y+4z=1

E:~2x-3y+4z=1

P~(1|0|4)

P~(1|0|4)

Schritt 1: Lotgerade \large l $\large l$

Als Erstes stellst du eine Lotgerade auf, die senkrecht auf der Ebene steht und durch den Punkt geht.
Das heißt der Normalenvektor \vec{n} $\vec{n}$ der Ebene ist der Richtungsvektor der Lotgeraden l $l$ und der Ortsvektor des Punkts ist der Stützvektor.

\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}; \quad \overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}

\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}; \quad \overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}

Daraus ergibt sich:

l:\vec{x}=\overrightarrow{OP}+r \cdot \vec{n}

l:\vec{x}=\overrightarrow{OP}+r \cdot \vec{n}

l:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}

l:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}

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Schritt 2: Lotfußpunkt \large F $\large F$

Dann berechnest du den Lotfußpunkt (auch Durchstoßpunkt/ Schnittpunkt) F $F$ von der Lotgeraden l $l$ mit der Ebene.
Dazu setzt du die Koordinaten der Lotgeraden l $l$ in die Ebenengleichung ein.

\begin{aligned} 2\cdot(1+2r)-3\cdot(-3r)+4\cdot(4+4r)&=1 \\ 2+4r+9r+16+16r&=1 \\ 18+29r&=1 && \quad |-18 \\ 29r&=-17 && \quad |:29 \\ \col[3]{r}& \col[3]{=-\frac{17}{29}} \end{aligned}

\begin{aligned} 2\cdot(1+2r)-3\cdot(-3r)+4\cdot(4+4r)&=1 \\ 2+4r+9r+16+16r&=1 \\ 18+29r&=1 && \quad |-18 \\ 29r&=-17 && \quad |:29 \\ \col[3]{r}& \col[3]{=-\frac{17}{29}} \end{aligned}

Wenn du nun \col[3]{r=-\frac{17}{29}} $\col[3]{r=-\frac{17}{29}}$ in l $l$ einsetzt, erhältst du den Ortsvektor von F $F$ :

\begin{aligned} \vec{OF}&= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \col[3]{-\frac{17}{29}} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \\[2mm] &= \begin{pmatrix} -\frac{5}{29} \\ \frac{51}{29} \\ \frac{48}{29} \end{pmatrix} \end{aligned}

\begin{aligned} \vec{OF}&= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \col[3]{-\frac{17}{29}} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \\[2mm] &= \begin{pmatrix} -\frac{5}{29} \\ \frac{51}{29} \\ \frac{48}{29} \end{pmatrix} \end{aligned}

Schritt 3: Abstand \large d $\large d$

Zum Schluss musst du nur noch den Abstand d $d$ vom gegebenen Punkt zum Lotfußpunkt F $F$ berechnen, indem du den Betrag des Verbindungsvektors berechnest.

\begin{aligned} d&=|\col[4]{\overrightarrow{PF}}| = |\col[4]{\vec{OF}-\vec{OP}}|\\[2mm] &= \left| \begin{pmatrix} -\frac{5}{29} \\ \frac{51}{29} \\ \frac{48}{29} \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\right| = \left| \begin{pmatrix} -\frac{34}{29} \\ \frac{51}{29} \\ -\frac{68}{29}\end{pmatrix}\right| \\[2mm] &= \sqrt{(-\frac{34}{29})^2+(-\frac{51}{29})^2+(-\frac{68}{29})^2} \\[2mm] &\approx\lsg{3,1568 \text{ LE}} \end{aligned}

\begin{aligned} d&=|\col[4]{\overrightarrow{PF}}| = |\col[4]{\vec{OF}-\vec{OP}}|\\[2mm] &= \left| \begin{pmatrix} -\frac{5}{29} \\ \frac{51}{29} \\ \frac{48}{29} \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\right| = \left| \begin{pmatrix} -\frac{34}{29} \\ \frac{51}{29} \\ -\frac{68}{29}\end{pmatrix}\right| \\[2mm] &= \sqrt{(-\frac{34}{29})^2+(-\frac{51}{29})^2+(-\frac{68}{29})^2} \\[2mm] &\approx\lsg{3,1568 \text{ LE}} \end{aligned}

\\

\\

Ebene in Normalenform

Berechne den Abstand zwischen der Ebene E $E$ und dem Punkt A $A$ .

E:~\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\right)=0

E:~\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\right)=0

A~(0|1|2)

A~(0|1|2)

Schritt 1: Lotgerade \large l $\large l$

Als Erstes stellst du eine Lotgerade auf, die senkrecht auf der Ebene steht und durch den Punkt geht.
Das heißt der Normalenvektor \vec{n} $\vec{n}$ der Ebene ist der Richtungsvektor der Lotgeraden l $l$ und der Ortsvektor des Punkts ist der Stützvektor.

Es gilt:

\col[2]{\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}}; \quad \col[1]{\vec{n}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}

\col[2]{\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}}; \quad \col[1]{\vec{n}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}

Daraus ergibt sich:

l:\vec{x}=\col[2]{\overrightarrow{OA}}+r \cdot \col[1]{\vec{n}}

l:\vec{x}=\col[2]{\overrightarrow{OA}}+r \cdot \col[1]{\vec{n}}

l:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

l:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

Schritt 2: Lotfußpunkt \large F $\large F$

Dann berechnest du den Lotfußpunkt (auch Durchstoßpunkt/ Schnittpunkt) F $F$ von der Lotgeraden l $l$ mit der Ebene.
Dazu setzt du die Koordinaten der Lotgeraden l $l$ in die Ebenengleichung ein.

Dazu musst du die Ebene E $E$ erst in Koordinatenform umschreiben:

\begin{aligned} & E: & ~3(x-2)+(y-(-1))&=0 \\ & E: & 3x-6+y+1& =0 \\ & E: & 3x+y&=5 \end{aligned}

\begin{aligned} & E: & ~3(x-2)+(y-(-1))&=0 \\ & E: & 3x-6+y+1& =0 \\ & E: & 3x+y&=5 \end{aligned}

Setze nun die Koordinaten von g $g$ ein:

\begin{aligned} \implies 3\cdot3r+1+r&=5 \\ 10r+1&=5 && \quad |-1 \\ 10r&=4 && \quad |:10 \\ \col[3]{r}&\col[3]{=\frac{2}{5}} \end{aligned}

\begin{aligned} \implies 3\cdot3r+1+r&=5 \\ 10r+1&=5 && \quad |-1 \\ 10r&=4 && \quad |:10 \\ \col[3]{r}&\col[3]{=\frac{2}{5}} \end{aligned}

Setze \col[3]{r} $\col[3]{r}$ in g $g$ ein und du erhältst den Ortsvektor von F $F$ :

\begin{aligned} \implies \overrightarrow{OF}&=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} +\col[3]{\frac{2}{5}} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[2mm] &= \begin{pmatrix} \frac{6}{5} \\ \frac{7}{5} \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}

\begin{aligned} \implies \overrightarrow{OF}&=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} +\col[3]{\frac{2}{5}} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[2mm] &= \begin{pmatrix} \frac{6}{5} \\ \frac{7}{5} \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}

Schritt 3: Abstand \large d $\large d$

Zum Schluss musst du nur noch den Abstand d $d$ vom gegebenen Punkt zum Lotfußpunkt F $F$ berechnen, indem du den Betrag des Verbindungsvektors berechnest.

\begin{aligned} d&=|\col[4]{\overrightarrow{AF}}| = |\col[4]{\vec{OF}-\vec{OA}}|\\ &= \left| \begin{pmatrix} \frac{6}{5} \\ \frac{7}{5} \\ 2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} \frac{6}{5} \\ \frac{2}{5} \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[2mm] &= \sqrt{(\frac{6}{5})^2+(\frac{2}{5})^2+0^2} \\ &=\underline{\underline{2,3664\text{ LE}}} \end{aligned}

\begin{aligned} d&=|\col[4]{\overrightarrow{AF}}| = |\col[4]{\vec{OF}-\vec{OA}}|\\ &= \left| \begin{pmatrix} \frac{6}{5} \\ \frac{7}{5} \\ 2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} \frac{6}{5} \\ \frac{2}{5} \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[2mm] &= \sqrt{(\frac{6}{5})^2+(\frac{2}{5})^2+0^2} \\ &=\underline{\underline{2,3664\text{ LE}}} \end{aligned}

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Abstand Punkt von Ebene über Lotfußpunktverfahren

Abstand Punkt und Ebene mit Lotfußpunktverfahren einfach erklärt

Definition Abstand Punkt Ebene mit Lotfußpunktverfahren

Vorgehensweise Abstand Punkt Ebene mit Lotfußpunktverfahren

Schritt 1: Lotgerade \large l $\large l$

Schritt 2: Lotfußpunkt \large F $\large F$

Schritt 3: Abstand \large d $\large d$

Abstand Punkt und Ebene mit Lotfußpunktverfahren Beispiele

Ebene in Koordinatenform

Schritt 1: Lotgerade \large l $\large l$

Schritt 2: Lotfußpunkt \large F $\large F$

Schritt 3: Abstand \large d $\large d$

Ebene in Normalenform

Schritt 1: Lotgerade \large l $\large l$

Schritt 2: Lotfußpunkt \large F $\large F$

Schritt 3: Abstand \large d $\large d$

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Schritt 1: Lotgerade \large ll\large ll

Schritt 2: Lotfußpunkt \large FF\large FF

Schritt 3: Abstand \large dd\large dd

Abstand Punkt und Ebene mit Lotfußpunktverfahren Beispiele

Ebene in Koordinatenform

Schritt 1: Lotgerade \large ll\large ll

Schritt 2: Lotfußpunkt \large FF\large FF

Schritt 3: Abstand \large dd\large dd

Ebene in Normalenform

Schritt 1: Lotgerade \large ll\large ll

Schritt 2: Lotfußpunkt \large FF\large FF

Schritt 3: Abstand \large dd\large dd

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Schritt 1: Lotgerade \large l $\large l$

Schritt 2: Lotfußpunkt \large F $\large F$

Schritt 3: Abstand \large d $\large d$

Schritt 1: Lotgerade \large l $\large l$

Schritt 2: Lotfußpunkt \large F $\large F$

Schritt 3: Abstand \large d $\large d$

Schritt 1: Lotgerade \large l $\large l$

Schritt 2: Lotfußpunkt \large F $\large F$

Schritt 3: Abstand \large d $\large d$