Abstand Punkt von Ebene über Lotfußpunktverfahren

Du hast in Mathe gerade das Thema Vektorgeometrie und sollst den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene berechnen?

Hierfür kannst du das Lotfußpunktverfahren verwenden.

Was das ist und wie du es nutzt, zeigt dir simpleclub!


Abstand Punkt und Ebene mit Lotfußpunktverfahren einfach erklärt

Definition Abstand Punkt Ebene mit Lotfußpunktverfahren

Beim Lotfußpunktverfahren für den Abstand zwischen Punkt und Ebene erstellst du eine Lotgerade, die die Ebene durchstößt und den Punkt beinhaltet.

Vorgehensweise Abstand Punkt Ebene mit Lotfußpunktverfahren

Auf der Grafik siehst du, wie die Lotgerade g die Ebene E durchstößt. Dabei steht die Lotgerade senkrecht zur Ebene und hat den Normalenvektor als Richtungsvektor.

Für dieses Verfahren empfiehlt es sich, die Ebene in Koordinatenform vorliegen zu haben.

Schritt 1: Lotgerade \large ll\large l

Als Erstes stellst du eine Lotgerade auf, die senkrecht auf der Ebene steht und durch den Punkt geht.
Das heißt der Normalenvektor \vec{n}n\vec{n} der Ebene ist der Richtungsvektor der Lotgeraden lll und der Ortsvektor des Punkts ist der Stützvektor.

l: \quad \vec{x}= \col[2]{\vec{OP}} + s\cdot \col[1]{\vec{n}}l:x=OP+snl: \quad \vec{x}= \col[2]{\vec{OP}} + s\cdot \col[1]{\vec{n}}

Schritt 2: Lotfußpunkt \large FF\large F

Dann berechnest du den Lotfußpunkt (auch Durchstoßpunkt/ Schnittpunkt) FFF von der Lotgeraden lll mit der Ebene.
Dazu setzt du die Koordinaten der Lotgeraden lll in die Ebenengleichung ein.

F= E \cap gF=EgF= E \cap g

Schritt 3: Abstand \large dd\large d

Zum Schluss musst du nur noch den Abstand ddd vom gegebenen Punkt zum Lotfußpunkt FFF berechnen, indem du den Betrag des Verbindungsvektors berechnest.

d= \left|\overrightarrow{FP} \right|d=FPd= \left|\overrightarrow{FP} \right|

Abstand Punkt und Ebene mit Lotfußpunktverfahren Beispiele

Ebene in Koordinatenform

Berechne den Abstand zwischen der Ebene EEE und dem Punkt PPP.

E:~2x-3y+4z=1E:2x3y+4z=1E:~2x-3y+4z=1P~(1|0|4)P(104)P~(1|0|4)

Schritt 1: Lotgerade \large ll\large l

Als Erstes stellst du eine Lotgerade auf, die senkrecht auf der Ebene steht und durch den Punkt geht.
Das heißt der Normalenvektor \vec{n}n\vec{n} der Ebene ist der Richtungsvektor der Lotgeraden lll und der Ortsvektor des Punkts ist der Stützvektor.

\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}; \quad \overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}n=(234);OP=(104)\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}; \quad \overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}

Daraus ergibt sich:

l:\vec{x}=\overrightarrow{OP}+r \cdot \vec{n}l:x=OP+rnl:\vec{x}=\overrightarrow{OP}+r \cdot \vec{n}l:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}l:x=(104)+r(234)l:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}

Schritt 2: Lotfußpunkt \large FF\large F

Dann berechnest du den Lotfußpunkt (auch Durchstoßpunkt/ Schnittpunkt) FFF von der Lotgeraden lll mit der Ebene.
Dazu setzt du die Koordinaten der Lotgeraden lll in die Ebenengleichung ein.

\begin{aligned} 2\cdot(1+2r)-3\cdot(-3r)+4\cdot(4+4r)&=1 \\ 2+4r+9r+16+16r&=1 \\ 18+29r&=1 && \quad |-18 \\ 29r&=-17 && \quad |:29 \\ \col[3]{r}& \col[3]{=-\frac{17}{29}} \end{aligned}2(1+2r)3(3r)+4(4+4r)=12+4r+9r+16+16r=118+29r=11829r=17:29r=1729\begin{aligned} 2\cdot(1+2r)-3\cdot(-3r)+4\cdot(4+4r)&=1 \\ 2+4r+9r+16+16r&=1 \\ 18+29r&=1 && \quad |-18 \\ 29r&=-17 && \quad |:29 \\ \col[3]{r}& \col[3]{=-\frac{17}{29}} \end{aligned}

Wenn du nun \col[3]{r=-\frac{17}{29}}r=1729\col[3]{r=-\frac{17}{29}} in lll einsetzt, erhältst du den Ortsvektor von FFF:

\begin{aligned} \vec{OF}&= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \col[3]{-\frac{17}{29}} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \\[2mm] &= \begin{pmatrix} -\frac{5}{29} \\ \frac{51}{29} \\ \frac{48}{29} \end{pmatrix} \end{aligned}OF=(104)1729(234)=(52951294829)\begin{aligned} \vec{OF}&= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \col[3]{-\frac{17}{29}} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \\[2mm] &= \begin{pmatrix} -\frac{5}{29} \\ \frac{51}{29} \\ \frac{48}{29} \end{pmatrix} \end{aligned}

Schritt 3: Abstand \large dd\large d

Zum Schluss musst du nur noch den Abstand ddd vom gegebenen Punkt zum Lotfußpunkt FFF berechnen, indem du den Betrag des Verbindungsvektors berechnest.

\begin{aligned} d&=|\col[4]{\overrightarrow{PF}}| = |\col[4]{\vec{OF}-\vec{OP}}|\\[2mm] &= \left| \begin{pmatrix} -\frac{5}{29} \\ \frac{51}{29} \\ \frac{48}{29} \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\right| = \left| \begin{pmatrix} -\frac{34}{29} \\ \frac{51}{29} \\ -\frac{68}{29}\end{pmatrix}\right| \\[2mm] &= \sqrt{(-\frac{34}{29})^2+(-\frac{51}{29})^2+(-\frac{68}{29})^2} \\[2mm] &\approx\lsg{3,1568 \text{ LE}} \end{aligned}d=PF=OFOP=(52951294829)(104)=(342951296829)=(3429)2+(5129)2+(6829)23,1568 LE\begin{aligned} d&=|\col[4]{\overrightarrow{PF}}| = |\col[4]{\vec{OF}-\vec{OP}}|\\[2mm] &= \left| \begin{pmatrix} -\frac{5}{29} \\ \frac{51}{29} \\ \frac{48}{29} \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\right| = \left| \begin{pmatrix} -\frac{34}{29} \\ \frac{51}{29} \\ -\frac{68}{29}\end{pmatrix}\right| \\[2mm] &= \sqrt{(-\frac{34}{29})^2+(-\frac{51}{29})^2+(-\frac{68}{29})^2} \\[2mm] &\approx\lsg{3,1568 \text{ LE}} \end{aligned}\\\\

Ebene in Normalenform

Berechne den Abstand zwischen der Ebene EEE und dem Punkt AAA.

E:~\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\right)=0E:(310)(x(212))=0E:~\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\right)=0A~(0|1|2)A(012)A~(0|1|2)

Schritt 1: Lotgerade \large ll\large l

Als Erstes stellst du eine Lotgerade auf, die senkrecht auf der Ebene steht und durch den Punkt geht.
Das heißt der Normalenvektor \vec{n}n\vec{n} der Ebene ist der Richtungsvektor der Lotgeraden lll und der Ortsvektor des Punkts ist der Stützvektor.

Es gilt:

\col[2]{\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}}; \quad \col[1]{\vec{n}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}OA=(012);n=(310)\col[2]{\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}}; \quad \col[1]{\vec{n}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}

Daraus ergibt sich:

l:\vec{x}=\col[2]{\overrightarrow{OA}}+r \cdot \col[1]{\vec{n}}l:x=OA+rnl:\vec{x}=\col[2]{\overrightarrow{OA}}+r \cdot \col[1]{\vec{n}}l:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}l:x=(012)+r(310)l:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

Schritt 2: Lotfußpunkt \large FF\large F

Dann berechnest du den Lotfußpunkt (auch Durchstoßpunkt/ Schnittpunkt) FFF von der Lotgeraden lll mit der Ebene.
Dazu setzt du die Koordinaten der Lotgeraden lll in die Ebenengleichung ein.

Dazu musst du die Ebene EEE erst in Koordinatenform umschreiben:

\begin{aligned} & E: & ~3(x-2)+(y-(-1))&=0 \\ & E: & 3x-6+y+1& =0 \\ & E: & 3x+y&=5 \end{aligned}E:3(x2)+(y(1))=0E:3x6+y+1=0E:3x+y=5\begin{aligned} & E: & ~3(x-2)+(y-(-1))&=0 \\ & E: & 3x-6+y+1& =0 \\ & E: & 3x+y&=5 \end{aligned}

Setze nun die Koordinaten von ggg ein:

\begin{aligned} \implies 3\cdot3r+1+r&=5 \\ 10r+1&=5 && \quad |-1 \\ 10r&=4 && \quad |:10 \\ \col[3]{r}&\col[3]{=\frac{2}{5}} \end{aligned}33r+1+r=510r+1=5110r=4:10r=25\begin{aligned} \implies 3\cdot3r+1+r&=5 \\ 10r+1&=5 && \quad |-1 \\ 10r&=4 && \quad |:10 \\ \col[3]{r}&\col[3]{=\frac{2}{5}} \end{aligned}

Setze \col[3]{r}r\col[3]{r} in ggg ein und du erhältst den Ortsvektor von FFF:

\begin{aligned} \implies \overrightarrow{OF}&=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} +\col[3]{\frac{2}{5}} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[2mm] &= \begin{pmatrix} \frac{6}{5} \\ \frac{7}{5} \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}OF=(012)+25(310)=(65752)\begin{aligned} \implies \overrightarrow{OF}&=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} +\col[3]{\frac{2}{5}} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[2mm] &= \begin{pmatrix} \frac{6}{5} \\ \frac{7}{5} \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}

Schritt 3: Abstand \large dd\large d

Zum Schluss musst du nur noch den Abstand ddd vom gegebenen Punkt zum Lotfußpunkt FFF berechnen, indem du den Betrag des Verbindungsvektors berechnest.

\begin{aligned} d&=|\col[4]{\overrightarrow{AF}}| = |\col[4]{\vec{OF}-\vec{OA}}|\\ &= \left| \begin{pmatrix} \frac{6}{5} \\ \frac{7}{5} \\ 2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} \frac{6}{5} \\ \frac{2}{5} \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[2mm] &= \sqrt{(\frac{6}{5})^2+(\frac{2}{5})^2+0^2} \\ &=\underline{\underline{2,3664\text{ LE}}} \end{aligned}d=AF=OFOA=(65752)(012)=(65250)=(65)2+(25)2+02=2,3664 LE\begin{aligned} d&=|\col[4]{\overrightarrow{AF}}| = |\col[4]{\vec{OF}-\vec{OA}}|\\ &= \left| \begin{pmatrix} \frac{6}{5} \\ \frac{7}{5} \\ 2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} \frac{6}{5} \\ \frac{2}{5} \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[2mm] &= \sqrt{(\frac{6}{5})^2+(\frac{2}{5})^2+0^2} \\ &=\underline{\underline{2,3664\text{ LE}}} \end{aligned}
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