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Quadratische Gleichungen

Kannst du eine Gleichung so umformen, dass sie die Form

ax^2+bx+c=0

ax^2+bx+c=0

erhältst, nennst du sie quadratische Gleichung. Sie enthält stets ein quadratisches x $x$ .

Erklärung

Gleichungen der Form

\begin{aligned} &\quad \bullet \quad x^2-9=0 \\ &\quad \bullet \quad x^2= 25 \\ &\quad \bullet \quad x^2-3x=0 \\ &\quad \bullet \quad 2x^2+8x-4=0 \end{aligned}

\begin{aligned} &\quad \bullet \quad x^2-9=0 \\ &\quad \bullet \quad x^2= 25 \\ &\quad \bullet \quad x^2-3x=0 \\ &\quad \bullet \quad 2x^2+8x-4=0 \end{aligned}

haben alle eine Sache gemeinsam.

Sie lassen sich alle durch Äquivalenzumformungen in die Form

ax^2+bx+c=0

ax^2+bx+c=0

Hinweis: x $x$ steht hier als Vertreter für eine beliebige Variable (x $x$ , y $y$ , z $z$ , a $a$ , b $b$ , ...)

überführen.

Du nennst sie daher auch quadratische Gleichungen.

Du unterscheidest bei quadratischen Gleichungen zwischen drei verschiedenen Arten:

Einfache quadratische Gleichungen: \boxed{x^2-q=0} $\boxed{x^2-q=0}$
Einfach gemischt quadratische Gleichungen: \boxed{x^2+px=0} $\boxed{x^2+px=0}$
Gemischt quadratische Gleichungen: \boxed{ax^2+bx+c=0} $\boxed{ax^2+bx+c=0}$

Quadratrische Gleichungen lösen

Einfache quadratische Gleichung

Möchtest du eine einfache quadratische Gleichung lösen, befolgst du zwei Schritte:

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Potenz isolieren (Nicht immer notwendig)

Falls die Potenz nicht alleine steht, musst du sie zunächst isolieren:

\begin{aligned} x^2-q &= 0 &&\quad | +q \end{aligned}

\begin{aligned} x^2-q &= 0 &&\quad | +q \end{aligned}

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Wurzel ziehen

Nun ziehst du die Wurzel:

\begin{aligned} x^2 &= q &&\quad | \sqrt{\square} \end{aligned}

\begin{aligned} x^2 &= q &&\quad | \sqrt{\square} \end{aligned}

Abhängig von q $q$ hat die Gleichung unterschiedlich viele Lösungen:

Gilt q > 0 $q > 0$ : Die Gleichung hat genau zwei Lösungen

\qquad \implies x_1= \col[1]{+}\sqrt{q},\ x_2 = \col[1]{-}\sqrt{q}

\qquad \implies x_1= \col[1]{+}\sqrt{q},\ x_2 = \col[1]{-}\sqrt{q}

Gilt q = 0 $q = 0$ : Die Gleichung hat genau eine Lösung:

\qquad \implies x= 0

\qquad \implies x= 0

Gilt q < 0 $q < 0$ : Die Gleichung hat keine Lösung, da die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist

Beispiele:

\begin{aligned} \quad \bullet ~ x^2-9 &= 0 \quad |+9 \\ x &= 9 \quad |\sqrt{\square} \end{aligned}

\begin{aligned} \quad \bullet ~ x^2-9 &= 0 \quad |+9 \\ x &= 9 \quad |\sqrt{\square} \end{aligned}

\quad \implies \lsg{x_1=3}, \ \lsg{x_2=-3}

\quad \implies \lsg{x_1=3}, \ \lsg{x_2=-3}

\begin{aligned} \quad \bullet ~ x^2-4 &= -4 &&\quad |+4 \\ x^2 &= 0 &&\quad |\sqrt{\square} \end{aligned}

\begin{aligned} \quad \bullet ~ x^2-4 &= -4 &&\quad |+4 \\ x^2 &= 0 &&\quad |\sqrt{\square} \end{aligned}

\quad \implies \lsg{x=0}

\quad \implies \lsg{x=0}

\begin{aligned} \quad \bullet ~ x^2+25 &= 0 &&\quad |-25 \\ x &= -25 &&\quad |\sqrt{\square} \end{aligned}

\begin{aligned} \quad \bullet ~ x^2+25 &= 0 &&\quad |-25 \\ x &= -25 &&\quad |\sqrt{\square} \end{aligned}

\quad \implies \lsg{x=\emptyset}, \ \textsf{da negative Wurzeln nicht definiert }

\quad \implies \lsg{x=\emptyset}, \ \textsf{da negative Wurzeln nicht definiert }

Einfach gemischt quadratische Gleichung

Hier kannst du den Satz vom Nullprodukt verwenden.

Satz vom Nullprodukt

Ein Produkt ist Null, sofern einer der beiden Faktoren Null ist.

\begin{aligned} x^2+px &= 0 \quad |x\ \textsf{ausklammern} \\ x\cdot (x+p) &= 0 \end{aligned}

\begin{aligned} x^2+px &= 0 \quad |x\ \textsf{ausklammern} \\ x\cdot (x+p) &= 0 \end{aligned}

Hinweis: Versuche immer den größtmöglichen Faktor auszuklammern.

Es gilt daher:

Erste Lösung: Das Produkt ist Null, wenn der Faktor x $x$ außerhalb der Klammer Null ist

x=0

x=0

\implies x_1=0

\implies x_1=0

Zweite Lösung: Das Produkt ist Null, wenn die gesamte Klammer als Faktor Null wird

\begin{aligned} &x+p=0 \quad |-p\\[3mm] &\implies \ x_2=-p \end{aligned}

\begin{aligned} &x+p=0 \quad |-p\\[3mm] &\implies \ x_2=-p \end{aligned}

Beispiele:

\begin{aligned} \quad \bullet ~~~~~~~ x^2+4x &= 0 \quad |x\ \textsf{ausklammern} \\ x\cdot (x+4) &= 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \quad \bullet ~~~~~~~ x^2+4x &= 0 \quad |x\ \textsf{ausklammern} \\ x\cdot (x+4) &= 0 \end{aligned}

\quad \implies \lsg{x_1=0},\ \lsg{x_2=-4}

\quad \implies \lsg{x_1=0},\ \lsg{x_2=-4}

\begin{aligned} \quad \bullet ~~~~~~~ 4x^2+8x &= 0 \quad |4x\ \textsf{ausklammern} \\ 4x\cdot (x+2) &= 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \quad \bullet ~~~~~~~ 4x^2+8x &= 0 \quad |4x\ \textsf{ausklammern} \\ 4x\cdot (x+2) &= 0 \end{aligned}

\quad \implies \lsg{x_1=0},\ \lsg{x_2=-2}

\quad \implies \lsg{x_1=0},\ \lsg{x_2=-2}

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Gemischt quadratische Gleichung

Eine Gleichung der Form

ax^2+bx+c=0

ax^2+bx+c=0

kannst du unter anderem mit

abc-Formel

\col[1]{a}x^2+\col[2]{b}x+\col[3]{c}=0

\col[1]{a}x^2+\col[2]{b}x+\col[3]{c}=0

\implies x_{1,2}= \frac{-\col[2]{b} \pm \sqrt{\col[2]{b}^2-4\col[1]{a}\col[3]{c}}}{2\col[1]{a}}

\implies x_{1,2}= \frac{-\col[2]{b} \pm \sqrt{\col[2]{b}^2-4\col[1]{a}\col[3]{c}}}{2\col[1]{a}}

oder

pq-Formel

x^2+\col[1]{p}x+\col[2]{q}=0

x^2+\col[1]{p}x+\col[2]{q}=0

\implies x_{1,2}=-\frac{\col[1]{p}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\col[1]{p}}{2}\right)^2-\col[2]{q}}

\implies x_{1,2}=-\frac{\col[1]{p}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\col[1]{p}}{2}\right)^2-\col[2]{q}}

lösen.

Damit du die pq-Formel verwenden darfst, muss x^2 $x^2$ den Vorfaktor 1 $1$ besitzen. Ist dies nicht der Fall musst du vorher die Gleichung umformen.

Beispiele:

abc-Formel:

\quad \bullet ~ \col[1]{2}x^2+\col[2]{3}x\col[3]{-2}=0

\quad \bullet ~ \col[1]{2}x^2+\col[2]{3}x\col[3]{-2}=0

\begin{aligned} \quad \implies x_{1,2} &= \frac{-\col[2]{3} \pm \sqrt{\col[2]{3}^2-4\cdot \col[1]{2}\cdot(\col[3]{-2})}}{2\cdot\col[1]{2}} \\[2mm] &=\frac{-3\pm5}{4} \end{aligned}

\begin{aligned} \quad \implies x_{1,2} &= \frac{-\col[2]{3} \pm \sqrt{\col[2]{3}^2-4\cdot \col[1]{2}\cdot(\col[3]{-2})}}{2\cdot\col[1]{2}} \\[2mm] &=\frac{-3\pm5}{4} \end{aligned}

\quad \implies\lsg{ x_1=-2}, \ \lsg{ x_2=\frac{1}{2}}

\quad \implies\lsg{ x_1=-2}, \ \lsg{ x_2=\frac{1}{2}}

pq-Formel:

\begin{aligned} 2x^2+4x-6 &= 0 \quad \quad |:2 \\[2mm] x^2+\col[1]{2}x \col[2]{-3} &= 0 \end{aligned}

\begin{aligned} 2x^2+4x-6 &= 0 \quad \quad |:2 \\[2mm] x^2+\col[1]{2}x \col[2]{-3} &= 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \implies x_{1,2} &= -\frac{\col[1]{2}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\col[1]{2}}{2}\right)^2-(\col[2]{-3})} \\[2mm] &= -1 \pm\sqrt{4} \\ &= -1 \pm 2 \end{aligned}

\begin{aligned} \implies x_{1,2} &= -\frac{\col[1]{2}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\col[1]{2}}{2}\right)^2-(\col[2]{-3})} \\[2mm] &= -1 \pm\sqrt{4} \\ &= -1 \pm 2 \end{aligned}

\implies \lsg{x_1=1}, \ \lsg{x_2=-3}

\implies \lsg{x_1=1}, \ \lsg{x_2=-3}

Beispiele

Einfache quadratische Gleichung

Aufgabe

Löse die folgende Gleichung:

x^2-16=0

x^2-16=0

Lösung

Du kannst die Gleichung lösen, indem du nach x $x$ umformst:

\begin{aligned} x^2-16 &= 0 &&\quad |+16 \\ x^2 &= 16 &&\quad | \sqrt{\square} \end{aligned}

\begin{aligned} x^2-16 &= 0 &&\quad |+16 \\ x^2 &= 16 &&\quad | \sqrt{\square} \end{aligned}

\implies \lsg{x_1 =4},\ \lsg{x_2 = -4}

\implies \lsg{x_1 =4},\ \lsg{x_2 = -4}

Erinnerung: Beim Wurzelziehen gibt es oft zwei Lösungen. In diesem Fall gilt schließlich: 4^2=16, (-4)^2=16 $4^2=16, (-4)^2=16$ .

Einfach gemischt quadratische Gleichung

Aufgabe

Löse die folgende Gleichung:

x^2 - 9x = 0

x^2 - 9x = 0

Lösung

Du kannst die Gleichung lösen, indem du nach x $x$ umformst:

\begin{aligned} x^2 - 9x &= 0 \quad |\textsf{Ausklammern} \\ x\cdot (x-9) &= 0 \quad |\textsf{Satz vom Nullprodukt} \end{aligned}

\begin{aligned} x^2 - 9x &= 0 \quad |\textsf{Ausklammern} \\ x\cdot (x-9) &= 0 \quad |\textsf{Satz vom Nullprodukt} \end{aligned}

\implies \lsg{x_1= 0},\ \lsg{x_2=9}

\implies \lsg{x_1= 0},\ \lsg{x_2=9}

Erinnerung: Der Satz vom Nullprodukt sagt aus, dass ein Produkt Null ist, sofern einer der Faktoren Null ist.

Gemischt quadratische Gleichung

Aufgabe

Löse die folgende Gleichung:

4x^2+2x-8=2

4x^2+2x-8=2

Lösung

Hier kannst du zum Lösung der Gleichung die abc-Formel oder die pq-Formel benutzen. Im Folgenden siehst du den Lösungsweg mit pq-Formel:

\begin{aligned} 4x^2+4x-8 & =0 \quad \quad |:4 \\[2mm] x^2+\col[1]{1}x \col[2]{-2} &= 0 \end{aligned}

\begin{aligned} 4x^2+4x-8 & =0 \quad \quad |:4 \\[2mm] x^2+\col[1]{1}x \col[2]{-2} &= 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \implies x_{1,2} &= -\frac{\col[1]{1}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\col[1]{1}}{2}\right)^2-(\col[2]{-2})} \\[2mm] &= -\frac{1}{2} \pm\sqrt{\frac{1}{4}+3} \\[2mm] &= -\frac{1}{2} \pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{12}{4}} \\[2mm] &= -\frac{1}{2} \pm\sqrt{\frac{13}{4}} \end{aligned}

\begin{aligned} \implies x_{1,2} &= -\frac{\col[1]{1}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\col[1]{1}}{2}\right)^2-(\col[2]{-2})} \\[2mm] &= -\frac{1}{2} \pm\sqrt{\frac{1}{4}+3} \\[2mm] &= -\frac{1}{2} \pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{12}{4}} \\[2mm] &= -\frac{1}{2} \pm\sqrt{\frac{13}{4}} \end{aligned}

\implies \lsg{x_1\approx-2.30}, \ \lsg{x_2\approx1.30}

\implies \lsg{x_1\approx-2.30}, \ \lsg{x_2\approx1.30}

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