Quadratische Gleichungen

Kannst du eine Gleichung so umformen, dass sie die Form

ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

erhältst, nennst du sie quadratische Gleichung. Sie enthält stets ein quadratisches xxx.


Erklärung

Gleichungen der Form

\begin{aligned} &\quad \bullet \quad x^2-9=0 \\ &\quad \bullet \quad x^2= 25 \\ &\quad \bullet \quad x^2-3x=0 \\ &\quad \bullet \quad 2x^2+8x-4=0 \end{aligned}x29=0x2=25x23x=02x2+8x4=0\begin{aligned} &\quad \bullet \quad x^2-9=0 \\ &\quad \bullet \quad x^2= 25 \\ &\quad \bullet \quad x^2-3x=0 \\ &\quad \bullet \quad 2x^2+8x-4=0 \end{aligned}

haben alle eine Sache gemeinsam.

Sie lassen sich alle durch Äquivalenzumformungen in die Form

ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

Hinweis: xxx steht hier als Vertreter für eine beliebige Variable (xxx, yyy, zzz, aaa, bbb, ...)

überführen.

Du nennst sie daher auch quadratische Gleichungen.

Du unterscheidest bei quadratischen Gleichungen zwischen drei verschiedenen Arten:

  • Einfache quadratische Gleichungen: \boxed{x^2-q=0}x2q=0\boxed{x^2-q=0}

  • Einfach gemischt quadratische Gleichungen: \boxed{x^2+px=0}x2+px=0\boxed{x^2+px=0}

  • Gemischt quadratische Gleichungen: \boxed{ax^2+bx+c=0}ax2+bx+c=0\boxed{ax^2+bx+c=0}

Quadratrische Gleichungen lösen

Einfache quadratische Gleichung

Möchtest du eine einfache quadratische Gleichung lösen, befolgst du zwei Schritte:

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Potenz isolieren (Nicht immer notwendig)

Falls die Potenz nicht alleine steht, musst du sie zunächst isolieren:

\begin{aligned} x^2-q &= 0 &&\quad | +q \end{aligned}x2q=0+q\begin{aligned} x^2-q &= 0 &&\quad | +q \end{aligned}

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Wurzel ziehen

Nun ziehst du die Wurzel:

\begin{aligned} x^2 &= q &&\quad | \sqrt{\square} \end{aligned}x2=q\begin{aligned} x^2 &= q &&\quad | \sqrt{\square} \end{aligned}

Abhängig von qqq hat die Gleichung unterschiedlich viele Lösungen:

  • Gilt q > 0q>0q > 0: Die Gleichung hat genau zwei Lösungen
\qquad \implies x_1= \col[1]{+}\sqrt{q},\ x_2 = \col[1]{-}\sqrt{q}x1=+q,x2=q\qquad \implies x_1= \col[1]{+}\sqrt{q},\ x_2 = \col[1]{-}\sqrt{q}
  • Gilt q = 0q=0q = 0: Die Gleichung hat genau eine Lösung:
\qquad \implies x= 0x=0\qquad \implies x= 0
  • Gilt q < 0q<0q < 0: Die Gleichung hat keine Lösung, da die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist

Beispiele:

\begin{aligned} \quad \bullet ~ x^2-9 &= 0 \quad |+9 \\ x &= 9 \quad |\sqrt{\square} \end{aligned}x29=0+9x=9\begin{aligned} \quad \bullet ~ x^2-9 &= 0 \quad |+9 \\ x &= 9 \quad |\sqrt{\square} \end{aligned}\quad \implies \lsg{x_1=3}, \ \lsg{x_2=-3}x1=3,x2=3\quad \implies \lsg{x_1=3}, \ \lsg{x_2=-3}\begin{aligned} \quad \bullet ~ x^2-4 &= -4 &&\quad |+4 \\ x^2 &= 0 &&\quad |\sqrt{\square} \end{aligned}x24=4+4x2=0\begin{aligned} \quad \bullet ~ x^2-4 &= -4 &&\quad |+4 \\ x^2 &= 0 &&\quad |\sqrt{\square} \end{aligned}\quad \implies \lsg{x=0}x=0\quad \implies \lsg{x=0}\begin{aligned} \quad \bullet ~ x^2+25 &= 0 &&\quad |-25 \\ x &= -25 &&\quad |\sqrt{\square} \end{aligned}x2+25=025x=25\begin{aligned} \quad \bullet ~ x^2+25 &= 0 &&\quad |-25 \\ x &= -25 &&\quad |\sqrt{\square} \end{aligned}\quad \implies \lsg{x=\emptyset}, \ \textsf{da negative Wurzeln nicht definiert }x=,danegativeWurzelnnichtdefiniert\quad \implies \lsg{x=\emptyset}, \ \textsf{da negative Wurzeln nicht definiert }

Einfach gemischt quadratische Gleichung

Hier kannst du den Satz vom Nullprodukt verwenden.

Satz vom Nullprodukt

Ein Produkt ist Null, sofern einer der beiden Faktoren Null ist.

\begin{aligned} x^2+px &= 0 \quad |x\ \textsf{ausklammern} \\ x\cdot (x+p) &= 0 \end{aligned}x2+px=0xausklammernx(x+p)=0\begin{aligned} x^2+px &= 0 \quad |x\ \textsf{ausklammern} \\ x\cdot (x+p) &= 0 \end{aligned}

Hinweis: Versuche immer den größtmöglichen Faktor auszuklammern.

Es gilt daher:

  • Erste Lösung: Das Produkt ist Null, wenn der Faktor xxx außerhalb der Klammer Null ist
x=0x=0x=0\implies x_1=0x1=0\implies x_1=0
  • Zweite Lösung: Das Produkt ist Null, wenn die gesamte Klammer als Faktor Null wird
\begin{aligned} &x+p=0 \quad |-p\\[3mm] &\implies \ x_2=-p \end{aligned}x+p=0px2=p\begin{aligned} &x+p=0 \quad |-p\\[3mm] &\implies \ x_2=-p \end{aligned}

Beispiele:

\begin{aligned} \quad \bullet ~~~~~~~ x^2+4x &= 0 \quad |x\ \textsf{ausklammern} \\ x\cdot (x+4) &= 0 \end{aligned}x2+4x=0xausklammernx(x+4)=0\begin{aligned} \quad \bullet ~~~~~~~ x^2+4x &= 0 \quad |x\ \textsf{ausklammern} \\ x\cdot (x+4) &= 0 \end{aligned}\quad \implies \lsg{x_1=0},\ \lsg{x_2=-4}x1=0,x2=4\quad \implies \lsg{x_1=0},\ \lsg{x_2=-4}\begin{aligned} \quad \bullet ~~~~~~~ 4x^2+8x &= 0 \quad |4x\ \textsf{ausklammern} \\ 4x\cdot (x+2) &= 0 \end{aligned}4x2+8x=04xausklammern4x(x+2)=0\begin{aligned} \quad \bullet ~~~~~~~ 4x^2+8x &= 0 \quad |4x\ \textsf{ausklammern} \\ 4x\cdot (x+2) &= 0 \end{aligned}\quad \implies \lsg{x_1=0},\ \lsg{x_2=-2}x1=0,x2=2\quad \implies \lsg{x_1=0},\ \lsg{x_2=-2}

Gemischt quadratische Gleichung

Eine Gleichung der Form

ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

kannst du unter anderem mit

abc-Formel

\col[1]{a}x^2+\col[2]{b}x+\col[3]{c}=0ax2+bx+c=0\col[1]{a}x^2+\col[2]{b}x+\col[3]{c}=0\implies x_{1,2}= \frac{-\col[2]{b} \pm \sqrt{\col[2]{b}^2-4\col[1]{a}\col[3]{c}}}{2\col[1]{a}}x1,2=b±b24ac2a\implies x_{1,2}= \frac{-\col[2]{b} \pm \sqrt{\col[2]{b}^2-4\col[1]{a}\col[3]{c}}}{2\col[1]{a}}

oder

pq-Formel

x^2+\col[1]{p}x+\col[2]{q}=0x2+px+q=0x^2+\col[1]{p}x+\col[2]{q}=0\implies x_{1,2}=-\frac{\col[1]{p}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\col[1]{p}}{2}\right)^2-\col[2]{q}}x1,2=p2±(p2)2q\implies x_{1,2}=-\frac{\col[1]{p}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\col[1]{p}}{2}\right)^2-\col[2]{q}}

lösen.

Damit du die pq-Formel verwenden darfst, muss x^2x2x^2 den Vorfaktor 111 besitzen. Ist dies nicht der Fall musst du vorher die Gleichung umformen.

Beispiele:

abc-Formel:

\quad \bullet ~ \col[1]{2}x^2+\col[2]{3}x\col[3]{-2}=0 2x2+3x2=0\quad \bullet ~ \col[1]{2}x^2+\col[2]{3}x\col[3]{-2}=0 \begin{aligned} \quad \implies x_{1,2} &= \frac{-\col[2]{3} \pm \sqrt{\col[2]{3}^2-4\cdot \col[1]{2}\cdot(\col[3]{-2})}}{2\cdot\col[1]{2}} \\[2mm] &=\frac{-3\pm5}{4} \end{aligned}x1,2=3±3242(2)22=3±54\begin{aligned} \quad \implies x_{1,2} &= \frac{-\col[2]{3} \pm \sqrt{\col[2]{3}^2-4\cdot \col[1]{2}\cdot(\col[3]{-2})}}{2\cdot\col[1]{2}} \\[2mm] &=\frac{-3\pm5}{4} \end{aligned}\quad \implies\lsg{ x_1=-2}, \ \lsg{ x_2=\frac{1}{2}}x1=2,x2=12\quad \implies\lsg{ x_1=-2}, \ \lsg{ x_2=\frac{1}{2}}

pq-Formel:

\begin{aligned} 2x^2+4x-6 &= 0 \quad \quad |:2 \\[2mm] x^2+\col[1]{2}x \col[2]{-3} &= 0 \end{aligned}2x2+4x6=0:2x2+2x3=0\begin{aligned} 2x^2+4x-6 &= 0 \quad \quad |:2 \\[2mm] x^2+\col[1]{2}x \col[2]{-3} &= 0 \end{aligned}\begin{aligned} \implies x_{1,2} &= -\frac{\col[1]{2}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\col[1]{2}}{2}\right)^2-(\col[2]{-3})} \\[2mm] &= -1 \pm\sqrt{4} \\ &= -1 \pm 2 \end{aligned}x1,2=22±(22)2(3)=1±4=1±2\begin{aligned} \implies x_{1,2} &= -\frac{\col[1]{2}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\col[1]{2}}{2}\right)^2-(\col[2]{-3})} \\[2mm] &= -1 \pm\sqrt{4} \\ &= -1 \pm 2 \end{aligned}\implies \lsg{x_1=1}, \ \lsg{x_2=-3}x1=1,x2=3\implies \lsg{x_1=1}, \ \lsg{x_2=-3}

Beispiele

Einfache quadratische Gleichung

Aufgabe

Löse die folgende Gleichung:

x^2-16=0x216=0x^2-16=0

Lösung

Du kannst die Gleichung lösen, indem du nach xxx umformst:

\begin{aligned} x^2-16 &= 0 &&\quad |+16 \\ x^2 &= 16 &&\quad | \sqrt{\square} \end{aligned} x216=0+16x2=16\begin{aligned} x^2-16 &= 0 &&\quad |+16 \\ x^2 &= 16 &&\quad | \sqrt{\square} \end{aligned} \implies \lsg{x_1 =4},\ \lsg{x_2 = -4} x1=4,x2=4\implies \lsg{x_1 =4},\ \lsg{x_2 = -4}

Erinnerung: Beim Wurzelziehen gibt es oft zwei Lösungen. In diesem Fall gilt schließlich: 4^2=16, (-4)^2=1642=16,(4)2=164^2=16, (-4)^2=16.

Einfach gemischt quadratische Gleichung

Aufgabe

Löse die folgende Gleichung:

x^2 - 9x = 0 x29x=0x^2 - 9x = 0

Lösung

Du kannst die Gleichung lösen, indem du nach xxx umformst:

\begin{aligned} x^2 - 9x &= 0 \quad |\textsf{Ausklammern} \\ x\cdot (x-9) &= 0 \quad |\textsf{Satz vom Nullprodukt} \end{aligned} x29x=0Ausklammernx(x9)=0SatzvomNullprodukt\begin{aligned} x^2 - 9x &= 0 \quad |\textsf{Ausklammern} \\ x\cdot (x-9) &= 0 \quad |\textsf{Satz vom Nullprodukt} \end{aligned} \implies \lsg{x_1= 0},\ \lsg{x_2=9}x1=0,x2=9\implies \lsg{x_1= 0},\ \lsg{x_2=9}

Erinnerung: Der Satz vom Nullprodukt sagt aus, dass ein Produkt Null ist, sofern einer der Faktoren Null ist.

Gemischt quadratische Gleichung

Aufgabe

Löse die folgende Gleichung:

4x^2+2x-8=24x2+2x8=24x^2+2x-8=2

Lösung

Hier kannst du zum Lösung der Gleichung die abc-Formel oder die pq-Formel benutzen. Im Folgenden siehst du den Lösungsweg mit pq-Formel:

\begin{aligned} 4x^2+4x-8 & =0 \quad \quad |:4 \\[2mm] x^2+\col[1]{1}x \col[2]{-2} &= 0 \end{aligned} 4x2+4x8=0:4x2+1x2=0\begin{aligned} 4x^2+4x-8 & =0 \quad \quad |:4 \\[2mm] x^2+\col[1]{1}x \col[2]{-2} &= 0 \end{aligned} \begin{aligned} \implies x_{1,2} &= -\frac{\col[1]{1}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\col[1]{1}}{2}\right)^2-(\col[2]{-2})} \\[2mm] &= -\frac{1}{2} \pm\sqrt{\frac{1}{4}+3} \\[2mm] &= -\frac{1}{2} \pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{12}{4}} \\[2mm] &= -\frac{1}{2} \pm\sqrt{\frac{13}{4}} \end{aligned} x1,2=12±(12)2(2)=12±14+3=12±14+124=12±134\begin{aligned} \implies x_{1,2} &= -\frac{\col[1]{1}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\col[1]{1}}{2}\right)^2-(\col[2]{-2})} \\[2mm] &= -\frac{1}{2} \pm\sqrt{\frac{1}{4}+3} \\[2mm] &= -\frac{1}{2} \pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{12}{4}} \\[2mm] &= -\frac{1}{2} \pm\sqrt{\frac{13}{4}} \end{aligned} \implies \lsg{x_1\approx-2.30}, \ \lsg{x_2\approx1.30}x12.30,x21.30\implies \lsg{x_1\approx-2.30}, \ \lsg{x_2\approx1.30}
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