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Abbildungen

Eine Abbildung (auch Funktion) f $f$ ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen M $M$ und N $N$ , die jedem Element der einen Menge M $M$ genau ein Element der anderen Menge N $N$ zuordnet. Dafür schreibt man:

f: M \rightarrow N

f: M \rightarrow N

Erklärung

Es seien \col[1]{M} $\col[1]{M}$ und \col[2]{N} $\col[2]{N}$ nichtleere Mengen.

Eine Abbildung von \col[1]{M} $\col[1]{M}$ nach \col[2]{N} $\col[2]{N}$ ist eine Vorschrift, die einem \col[3]{x} \in \col[1]{M} $\col[3]{x} \in \col[1]{M}$ genau ein \col[4]{y} \in \col[2]{N} $\col[4]{y} \in \col[2]{N}$ zuordnet.

Für diese Zuordnung schreibt man

Hier ist eine Abbildung von der Menge A in die Menge B dargestellt.

f: \overbrace{\col[1]{M}}^{\textsf{Definitionsbereich}} \rightarrow \overbrace{\col[2]{N}}^{\textsf{Zielmenge}} , \overbrace{\col[3]{x}}^{\textsf{Argument}} \mapsto \overbrace{\col[4]{f(\col[3]x)}}^{\textsf{Funktionswert}}

f: \overbrace{\col[1]{M}}^{\textsf{Definitionsbereich}} \rightarrow \overbrace{\col[2]{N}}^{\textsf{Zielmenge}} , \overbrace{\col[3]{x}}^{\textsf{Argument}} \mapsto \overbrace{\col[4]{f(\col[3]x)}}^{\textsf{Funktionswert}}

Definitions- und Wertemenge

Die Menge \col[1]{M} $\col[1]{M}$ bezeichnet man als Definitionsmenge und die Menge \col[2]{N} $\col[2]{N}$ als Wertemenge der Abbildung f $f$ .

Häufig ist die Definitionsmenge einer reellen Funktion nicht eindeutig.
Sofern nicht anders gefragt, wird immer die größtmögliche Definitionsmenge einer Abbildung gesucht.
Wichtig ist an dieser Stelle immer die Frage: "Was darf ich in die Abbildung einsetzen und was nicht?"
Die Wertemenge gibt uns an, welche Werte die Funktion annehmen kann.
Diese Wertemenge ist allerdings nicht eindeutig, das heißt es müssen nicht alle Werte in \col[2]{N} $\col[2]{N}$ angenommen werden.
Allerdings darf es kein Element in der Definitionsmenge geben, das auf ein Element abgebildet wird, welches nicht in \col[2]{N} $\col[2]{N}$ liegt.

Demnach handelt es sich auch nur um eine Abbildung, wenn für jedes \col[3]{x} \in \col[1]{M} $\col[3]{x} \in \col[1]{M}$ genau ein \col[4]{y} \in \col[2]{N} $\col[4]{y} \in \col[2]{N}$ mit (\col[3]{x}, \col[4]{y})\in f $(\col[3]{x}, \col[4]{y})\in f$ existiert.

Das lässt sich gut an den folgenden Darstellungen erkennen:

Zum Beispiel ist A = $A =$ {{(x, y) \in \R^2 \ | \ y = x^2 } ${(x, y) \in \R^2 \ | \ y = x^2 }$ } eine Abbildung, denn für jeden x $x$ -Wert (orange) gibt es genau einen zugehörigen Punkt (x, y) \in A $(x, y) \in A$ (lila), also genau ein y \in \R $y \in \R$ mit (x, y) \in A $(x, y) \in A$ .

Dagegen ist B = $B =$ {{(x, y) \in \R^2 \ | \ x^2 + y^2 ≤ 1} ${(x, y) \in \R^2 \ | \ x^2 + y^2 ≤ 1}$ } keine Abbildung, denn für einige x $x$ -Werte (zum Beispiel für x = 1, 2 $x = 1, 2$ ) gibt es gar kein y $y$ mit (x, y) \in B $(x, y) \in B$ .
Für andere x $x$ -Werte (zum Beispiel x = 0 $x = 0$ ) gibt es dagegen sogar unendlich viele, zugehörige y $y$ -Werte, was bei einer Abbildung ebenfalls nicht zulässig ist.

Hier ist eine Abbildung in Form eines Kreises abgebildet.

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Bild und Urbild

Auch hier ist wieder f: M \rarr N $f: M \rarr N$ unsere Abbildung und A \subseteq M, B \subseteq N $A \subseteq M, B \subseteq N$ .

Die Teilmenge f(A)=\{f(x)| \ x \in A \} \subseteq N $f(A)=\{f(x)| \ x \in A \} \subseteq N$ wird die Bildmenge von A $A$ unter der Abbildung f $f$ genannt.
Hierbei handelt es sich um die Elemente von Y $Y$ , die du erhälst, indem du f $f$ auf ein Element aus A $A$ anwendest.
Die Teilmenge f^{-1}(B)= \{x \in M| \ f(x) \in B \} \subseteq M $f^{-1}(B)= \{x \in M| \ f(x) \in B \} \subseteq M$ wird Urbildmenge von B $B$ unter f $f$ genannt.
Darin enthalten sind die Elemente von M $M$ , die nach B $B$ abgebildet werden.

Vergleich

Reset

Bild

Urbild 3

Beispiele

Einfache Abbildungen

Die Funktionsvorschrift mit f(x) $f(x)$ gibt uns an, inwiefern Werte aus der einen Menge M $M$ nach N $N$ abgebildet werden. Allerdings können diese Mengen sehr unterschiedlich sein.

Typische Abbildungen können dabei sein:

\begin{aligned} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ x \mapsto x^{2} \end{aligned}

\begin{aligned} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ x \mapsto x^{2} \end{aligned}

\begin{aligned} g:[0,1] \rightarrow [0,1], \ x \mapsto \frac{1}{2}x \end{aligned}

\begin{aligned} g:[0,1] \rightarrow [0,1], \ x \mapsto \frac{1}{2}x \end{aligned}

\begin{aligned} \begin{aligned} h:[-5,5] \rightarrow [0,\infty], \ x \mapsto x^{4}+1 \end{aligned} \end{aligned}

\begin{aligned} \begin{aligned} h:[-5,5] \rightarrow [0,\infty], \ x \mapsto x^{4}+1 \end{aligned} \end{aligned}

Besondere Abbildungen

Eine weitere häufig verwendete Darstellungsform ist die abschnittsweise definierte Abbildung:

\begin{aligned} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , \ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}-1, & x \leq1 \\ \ln(x), & x>1\end{array}\right. \end{aligned}

\begin{aligned} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , \ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}-1, & x \leq1 \\ \ln(x), & x>1\end{array}\right. \end{aligned}

Das ist folgendermaßen zu verstehen:

Für das Element x = 0 $x = 0$ gilt beispielsweise, dass f(0) = -1 $f(0) = -1$ , da die Zahl 0 $0$ dem oberen Abschnitt zugeteilt ist.
Für x = 3 $x = 3$ dagegen gilt: f(3) = ln(3) $f(3) = ln(3)$ , da die 3 $3$ wegen 3 > 1 $3 > 1$ dem unteren Abschnitt zugeteilt ist.

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