Abbildungen

Eine Abbildung (auch Funktion) fff ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen MMM und NNN, die jedem Element der einen Menge MMM genau ein Element der anderen Menge NNN zuordnet. Dafür schreibt man:

f: M \rightarrow Nf:MNf: M \rightarrow N

Erklärung

Es seien \col[1]{M}M\col[1]{M} und \col[2]{N}N\col[2]{N} nichtleere Mengen.

Eine Abbildung von \col[1]{M}M\col[1]{M} nach \col[2]{N}N\col[2]{N} ist eine Vorschrift, die einem \col[3]{x} \in \col[1]{M}xM\col[3]{x} \in \col[1]{M} genau ein \col[4]{y} \in \col[2]{N}yN\col[4]{y} \in \col[2]{N} zuordnet.

Für diese Zuordnung schreibt man

Hier ist eine Abbildung von der Menge A in die Menge B dargestellt.
f: \overbrace{\col[1]{M}}^{\textsf{Definitionsbereich}} \rightarrow \overbrace{\col[2]{N}}^{\textsf{Zielmenge}} , \overbrace{\col[3]{x}}^{\textsf{Argument}} \mapsto \overbrace{\col[4]{f(\col[3]x)}}^{\textsf{Funktionswert}} f:MDefinitionsbereichNZielmenge,xArgumentf(x)Funktionswertf: \overbrace{\col[1]{M}}^{\textsf{Definitionsbereich}} \rightarrow \overbrace{\col[2]{N}}^{\textsf{Zielmenge}} , \overbrace{\col[3]{x}}^{\textsf{Argument}} \mapsto \overbrace{\col[4]{f(\col[3]x)}}^{\textsf{Funktionswert}}

Definitions- und Wertemenge

Die Menge \col[1]{M}M\col[1]{M} bezeichnet man als Definitionsmenge und die Menge \col[2]{N}N\col[2]{N} als Wertemenge der Abbildung fff.

  • Häufig ist die Definitionsmenge einer reellen Funktion nicht eindeutig.
  • Sofern nicht anders gefragt, wird immer die größtmögliche Definitionsmenge einer Abbildung gesucht.
  • Wichtig ist an dieser Stelle immer die Frage: "Was darf ich in die Abbildung einsetzen und was nicht?"
  • Die Wertemenge gibt uns an, welche Werte die Funktion annehmen kann.
  • Diese Wertemenge ist allerdings nicht eindeutig, das heißt es müssen nicht alle Werte in \col[2]{N}N\col[2]{N} angenommen werden.
  • Allerdings darf es kein Element in der Definitionsmenge geben, das auf ein Element abgebildet wird, welches nicht in \col[2]{N}N\col[2]{N} liegt.

Demnach handelt es sich auch nur um eine Abbildung, wenn für jedes \col[3]{x} \in \col[1]{M}xM\col[3]{x} \in \col[1]{M} genau ein \col[4]{y} \in \col[2]{N}yN\col[4]{y} \in \col[2]{N} mit (\col[3]{x}, \col[4]{y})\in f(x,y)f(\col[3]{x}, \col[4]{y})\in fexistiert.

Das lässt sich gut an den folgenden Darstellungen erkennen:

  • Zum Beispiel ist A =A=A = {{(x, y) \in \R^2 \ | \ y = x^2 }(x,y)R2y=x2{(x, y) \in \R^2 \ | \ y = x^2 } } eine Abbildung, denn für jeden xxx-Wert (orange) gibt es genau einen zugehörigen Punkt (x, y) \in A(x,y)A(x, y) \in A (lila), also genau ein y \in \RyRy \in \R mit (x, y) \in A(x,y)A(x, y) \in A.
Hier ist eine Parabel abgebildet.
  • Dagegen ist B =B=B = {{(x, y) \in \R^2 \ | \ x^2 + y^2 ≤ 1}(x,y)R2x2+y21{(x, y) \in \R^2 \ | \ x^2 + y^2 ≤ 1}} keine Abbildung, denn für einige xxx-Werte (zum Beispiel für x = 1, 2x=1,2x = 1, 2) gibt es gar kein yyy mit (x, y) \in B(x,y)B(x, y) \in B.
    Für andere xxx-Werte (zum Beispiel x = 0x=0x = 0) gibt es dagegen sogar unendlich viele, zugehörige yyy-Werte, was bei einer Abbildung ebenfalls nicht zulässig ist.
Hier ist eine Abbildung in Form eines Kreises abgebildet.

Bild und Urbild

Auch hier ist wieder f: M \rarr Nf:MNf: M \rarr N unsere Abbildung und A \subseteq M, B \subseteq NAM,BNA \subseteq M, B \subseteq N.

  • Die Teilmenge f(A)=\{f(x)| \ x \in A \} \subseteq Nf(A)={f(x)xA}Nf(A)=\{f(x)| \ x \in A \} \subseteq N wird die Bildmenge von AAA unter der Abbildung fff genannt.
  • Hierbei handelt es sich um die Elemente von YYY, die du erhälst, indem du fff auf ein Element aus AAA anwendest.
  • Die Teilmenge f^{-1}(B)= \{x \in M| \ f(x) \in B \} \subseteq Mf1(B)={xMf(x)B}Mf^{-1}(B)= \{x \in M| \ f(x) \in B \} \subseteq M wird Urbildmenge von BBB unter fff genannt.
  • Darin enthalten sind die Elemente von MMM, die nach BBB abgebildet werden.
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Bild
Urbild 3

Beispiele

Einfache Abbildungen

Die Funktionsvorschrift mit f(x)f(x)f(x) gibt uns an, inwiefern Werte aus der einen Menge MMM nach NNN abgebildet werden. Allerdings können diese Mengen sehr unterschiedlich sein.

Typische Abbildungen können dabei sein:

\begin{aligned} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ x \mapsto x^{2} \end{aligned}f:RR,xx2\begin{aligned} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ x \mapsto x^{2} \end{aligned}\begin{aligned} g:[0,1] \rightarrow [0,1], \ x \mapsto \frac{1}{2}x \end{aligned}g:[0,1][0,1],x12x\begin{aligned} g:[0,1] \rightarrow [0,1], \ x \mapsto \frac{1}{2}x \end{aligned}\begin{aligned} \begin{aligned} h:[-5,5] \rightarrow [0,\infty], \ x \mapsto x^{4}+1 \end{aligned} \end{aligned}h:[5,5][0,],xx4+1\begin{aligned} \begin{aligned} h:[-5,5] \rightarrow [0,\infty], \ x \mapsto x^{4}+1 \end{aligned} \end{aligned}

Besondere Abbildungen

Eine weitere häufig verwendete Darstellungsform ist die abschnittsweise definierte Abbildung:

\begin{aligned} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , \ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}-1, & x \leq1 \\ \ln(x), & x>1\end{array}\right. \end{aligned}f:RR,f(x)={x21,x1ln(x),x>1\begin{aligned} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , \ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}-1, & x \leq1 \\ \ln(x), & x>1\end{array}\right. \end{aligned}

Das ist folgendermaßen zu verstehen:

  • Für das Element x = 0x=0x = 0 gilt beispielsweise, dass f(0) = -1f(0)=1f(0) = -1, da die Zahl 000 dem oberen Abschnitt zugeteilt ist.
  • Für x = 3x=3x = 3 dagegen gilt: f(3) = ln(3)f(3)=ln(3)f(3) = ln(3), da die 333 wegen 3 > 13>13 > 1 dem unteren Abschnitt zugeteilt ist.
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