Bedingte Wahrscheinlichkeit

Wenn du dich in der Schule gerade in Mathe mit dem Thema Stochastik beschäftigst, wird dir bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung auch die bedingte Wahrscheinlichkeit begegnen.

Aber: Was ist bedingte Wahrscheinlichkeit?

simpleclub erklärt dir alles, was du zur bedingten Wahrscheinlichkeit wissen solltest.


Bedingte Wahrscheinlichkeit einfach erklärt

Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit ist dein Ergebnis immer an eine vorher eingetretene Bedingung geknüpft.

Bedingte Wahrscheinlichkeit Definition

Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit wird die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen berechnet, bei denen zuvor schon ein anderes Ereignis eingetreten ist, das Einfluss auf das zu berechnende Ereignis haben kann.

Ein Beispiel: In einer Schulklasse befinden sich 30 Schüler und Schülerinnen. Davon sind 15 männlich und 15 weiblich. Außerdem haben 10 der 30 Schülerinnen und Schüler blonde Haare.

Nun willst du wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Person aus der Klasse weiblich ist und blonde Haare hat. Oder mit anderen Worten: Du suchst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person aus der Klasse blonde Haare hat, bedingt auf die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person weiblich ist.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit lässt sich allgemein mit folgender Formel berechnen:

P(\col[1]A|\col[2]B) = \frac{P(\col[1]A \cap \col[2]B)}{P(\col[2]B)}P(AB)=P(AB)P(B)P(\col[1]A|\col[2]B) = \frac{P(\col[1]A \cap \col[2]B)}{P(\col[2]B)}

P(A|B) =P(AB)=P(A|B) = Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis AAA eintritt (Person XXX hat blonde Haare) bedingt auf Ereignis BBB (Person XXX ist weiblich).

P(\col[1]A|\col[2]B)P(AB)P(\col[1]A|\col[2]B) wird auch oft als P_\col[2]B(\col[1]A)P_\col[2]B(\col[1]A) geschrieben.

P(A \cap B) =P(AB)=P(A \cap B) = Wahrscheinlichkeit, dass Ereignisse AAA und BBB beide eintreten (Person XXX hat blonde Haare und ist weiblich).

P(B) =P(B)=P(B) = Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis BBB eintritt (Person XXX ist weiblich).

Du teilst also die Wahrscheinlichkeit mit der beide Ereignisse eintreffen (Schnittmenge von AAA und BBB) durch die Wahrscheinlichkeit von Ereignis BBB um die von AAA auf BBB bedingte Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

In diesem Fall also: Die Wahrscheinlichkeit, dass Person XXX weiblich und blond ist, geteilt durch die Einzelwahrscheinlichkeit, dass Person XXX weiblich ist (siehe unten).

Achtung: Es gibt eine weitere Schreibweise, um bedingte Wahrscheinlichkeiten auszudrücken: P_B(A)PB(A)P_B(A). Diese Schreibweise drückt genau das Gleiche aus wie P(A|B)P(AB)P(A|B).


Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiele

Schulklasse

Betrachte das Beispiel aus der Erklärung mit 30 Schülerinnen und Schülern (15 davon sind weiblich) von denen 10 blonde Haare haben. Außerdem hast du folgende Verteilung gegeben:

\text{blond}blond\text{blond}
\text{nicht blond}nicht blond\text{nicht blond}
\text{insgesamt}insgesamt\text{insgesamt}
\text{weiblich}weiblich\text{weiblich}
\col[3]66\col[3]6
999
\col[2] {15}15\col[2] {15}
\text{männlich}ma¨nnlich\text{männlich}
444
111111
151515
\text{insgesamt}insgesamt\text{insgesamt}
\col[1]{10}10\col[1]{10}
202020
303030

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus der Klasse blonde Haare hat, bedingt auf die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person weiblich ist.

Lösung

Als Erstes musst du dir überlegen, welche Ereignisse du überhaupt gegeben hast.

Definiere dir also:

A =A=A = "Person X hat blonde Haare".

B =B=B = "Person X ist weiblich".

Nun kannst du die Einzelwahrscheinlichkeiten beider Ereignisse berechnen:

\begin{aligned} P(\col[1]A) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \end{aligned}P(A)=1030=13\begin{aligned} P(\col[1]A) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \end{aligned}\begin{aligned} P(\col[2] B)= \frac{15}{30}= \frac{1}{2} \end{aligned}P(B)=1530=12\begin{aligned} P(\col[2] B)= \frac{15}{30}= \frac{1}{2} \end{aligned}

Zusätzlich benötigst du die Schnittmenge beider Wahrscheinlichkeiten, also die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten (siehe Tabelle: Person XXX ist blond und weiblich):

\begin{aligned} P(\col[1] A \cap \col[2] B) = \frac{\col[3]6}{30} \end{aligned}P(AB)=630\begin{aligned} P(\col[1] A \cap \col[2] B) = \frac{\col[3]6}{30} \end{aligned}

Jetzt kannst du die von AAA auf BBB bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen:

\begin{aligned} P(\col[1] A |\col[2] B) = \frac{P(\col[1]A\cap \col[2]B)}{P(\col[2] B)} =\frac{\frac{\col[3]6}{30}}{\frac{1}{2}} = {\frac{12}{30}} = \lsg{\frac{2}{5}} = 40~\% \end{aligned}P(AB)=P(AB)P(B)=63012=1230=25=40%\begin{aligned} P(\col[1] A |\col[2] B) = \frac{P(\col[1]A\cap \col[2]B)}{P(\col[2] B)} =\frac{\frac{\col[3]6}{30}}{\frac{1}{2}} = {\frac{12}{30}} = \lsg{\frac{2}{5}} = 40~\% \end{aligned}

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus der Klasse blonde Haare hat bedingt auf die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person weiblich ist, beträgt also 40~\%40%40~\%.

Würfelbeispiel

Betrachte einen normalen Würfel mit 6 Seiten. Sei AAA die Menge aller geraden Zahlen des Würfels und BBB die Menge, die nur die Zahlen 1, 2 und 3 beinhaltet.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Zahl der Menge BBB gewürfelt wird, unter der Bedingung, dass diese Zahl gerade ist.

Lösung

Betrachte zunächst wieder die Einzelereignisse und überleg dir, was dir in der Aufgabenstellung gegeben wird:

A =A=A = "alle geraden Zahlen des Würfels" = \{ 2,4,6 \}={2,4,6}= \{ 2,4,6 \}

B =B=B = " nur die Zahlen 1-3" = \{ 1,2,3 \}={1,2,3}= \{ 1,2,3 \}

Nun kannst du zu den Ereignissen die Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen, also in diesem Fall: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine Zahl aus der Menge gewürfelt.

\begin{aligned} P(\col[1] A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \end{aligned}P(A)=36=12\begin{aligned} P(\col[1] A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \end{aligned}\begin{aligned} P(\col[2] B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \end{aligned}P(B)=36=12\begin{aligned} P(\col[2] B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \end{aligned}

Zusätzlich benötigst du wieder die Schnittmenge der beiden Ereignisse, also in diesem Fall: Alle Zahlen die sowohl in AAA als auch in BBB liegen:

(A \cap B) = \{ 2 \}(AB)={2}(A \cap B) = \{ 2 \}

Auch hier berechnest du wieder die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl aus der Menge gewürfelt wird:

P(\col[1] A \cap \col[2] B) = \frac{1}{6}P(AB)=16P(\col[1] A \cap \col[2] B) = \frac{1}{6}

Jetzt kannst du die von BBB auf AAA bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen:

\begin{aligned} P(\col[2]B | \col[1] A)= \frac{P(\col[2]B \cap \col[1]A)}{P(\col[1]A)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{6} = \lsg{\frac{1}{3}} = ~33,33~\% \end{aligned}P(BA)=P(BA)P(A)=1612=26=13=33,33%\begin{aligned} P(\col[2]B | \col[1] A)= \frac{P(\col[2]B \cap \col[1]A)}{P(\col[1]A)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{6} = \lsg{\frac{1}{3}} = ~33,33~\% \end{aligned}

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl der Menge BBB gewürfelt wird, unter der Bedingung, dass sie gerade ist, beträgt also 33,33~\%33,33%33,33~\% .

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