Lineare Gleichungen

Kannst du eine Gleichung so umformen, dass sie die Form

ax+b=0ax+b=0ax+b=0

erhält, nennst du sie lineare Gleichung. Sie enthält stets nur ein einfaches xxx.


Erklärung

Gleichungen der Form

\begin{aligned} &\quad \bullet \quad 3x+8=0 \\ &\quad \bullet \quad 2y=6 \\ &\quad \bullet \quad -5x+8=2x-4 \\ &\quad \bullet \quad 2(z+3)=3z+12 \end{aligned}3x+8=02y=65x+8=2x42(z+3)=3z+12\begin{aligned} &\quad \bullet \quad 3x+8=0 \\ &\quad \bullet \quad 2y=6 \\ &\quad \bullet \quad -5x+8=2x-4 \\ &\quad \bullet \quad 2(z+3)=3z+12 \end{aligned}

haben alle eine Sache gemeinsam:

Sie lassen sich alle durch Äquivalenzumformungen in die Form

ax+b=0ax+b=0ax+b=0

Hinweis: xxx steht hier als Vertreter für eine beliebige Variable (xxx, yyy, zzz, aaa, bbb, ...)

überführen.

Du nennst sie daher auch lineare Gleichungen.

Lineare Gleichungen erkennst du daran, dass die Variable immer nur den Exponenten 111 aufweist.

Tritt die Variable in einer höheren Potenz (x^2x2x^2, x^3x3x^3, x^4x4x^4, ...) oder niedrigeren Potenz (x^{\frac{1}{2}}x12x^{\frac{1}{2}}, x^{\frac{1}{3}}x13x^{\frac{1}{3}}, x^{\frac{1}{4}}x14x^{\frac{1}{4}}, ...) auf, so handelt es sich nicht um eine lineare Gleichung.

Man unterscheidet bei lineare Gleichungen zwischen drei verschiedenen Arten:

Fall 1: Unbekannte auf einer Seite

Hier befindet sich die Variable (also die Unbekannte) nur auf einer Seite.

Beispiele:

\begin{aligned} &\quad \bullet \quad 3x+8=0 \\ &\quad \bullet \quad 2y=6 \end{aligned}3x+8=02y=6\begin{aligned} &\quad \bullet \quad 3x+8=0 \\ &\quad \bullet \quad 2y=6 \end{aligned}

Fall 2: Unbekannte auf beiden Seite

Du findest auch lineare Gleichungen, bei denen auf beiden Seiten Variablen (also Unbekannte) stehen.

Beispiele:

\begin{aligned} &\quad \bullet \quad -5x+5=\frac{1}{2}x \\[2mm] &\quad \bullet \quad -4z-6=z+8 \end{aligned}5x+5=12x4z6=z+8\begin{aligned} &\quad \bullet \quad -5x+5=\frac{1}{2}x \\[2mm] &\quad \bullet \quad -4z-6=z+8 \end{aligned}

Fall 3: Lineare Gleichungen mit Klammern

Lineare Gleichungen können auch Klammern enthalten.

Beispiele:

\begin{aligned} &\quad \bullet \quad 3(x+2)=0 \\ &\quad \bullet \quad 2(z+1)=3(z-8) \end{aligned}3(x+2)=02(z+1)=3(z8)\begin{aligned} &\quad \bullet \quad 3(x+2)=0 \\ &\quad \bullet \quad 2(z+1)=3(z-8) \end{aligned}

Lineare Gleichungen lösen

Lineare Gleichungen kannst du ganz einfach durch Umformungen lösen. Das Ziel ist, dass am Ende auf einer Seite die Variable alleine und auf der anderen Seite eine Zahl alleine steht.

Versuche am besten alle Zahlen auf der Seite, wo die Variable steht, durch Umformungen zu eliminieren.

Folgende Umformungen sind hierbei erlaubt:

  • Gleiche Terme auf beiden Seiten addieren und subtrahieren

  • Multiplizieren oder dividieren eines Termes \neq00\neq0 auf beiden Seiten.

Hinweis: Falls die lineare Gleichung am Anfang Klammern enthält, musst du diese zunächst einmal auflösen.

Beispiel 1:

\begin{aligned} 10&= 2\col[1]{x}+6 &&\quad |-6 \\ 4&=2\col[1]{x} &&\quad |:2 \\ \lsg{\col[1]{2}}&= \col[1]{x} &&\quad \end{aligned}10=2x+664=2x:22=x\begin{aligned} 10&= 2\col[1]{x}+6 &&\quad |-6 \\ 4&=2\col[1]{x} &&\quad |:2 \\ \lsg{\col[1]{2}}&= \col[1]{x} &&\quad \end{aligned}

Beispiel 2:

\begin{aligned} 2(5\col[1]{x}+10)&=20 \longleftarrow \textsf{Linke Seite: Ausmultiplizieren}\\[2mm] 2\cdot5\col[1]{x}+2\cdot 10&=20 \\[2mm] 10\col[1]{x}+20&=20 \qquad |-20 \\[2mm] 10\col[1]{x}&=0 \qquad |:10 \\[2mm] \col[1]{x} &= \lsg{\col[1]{0}} \end{aligned}2(5x+10)=20LinkeSeite:Ausmultiplizieren25x+210=2010x+20=202010x=0:10x=0\begin{aligned} 2(5\col[1]{x}+10)&=20 \longleftarrow \textsf{Linke Seite: Ausmultiplizieren}\\[2mm] 2\cdot5\col[1]{x}+2\cdot 10&=20 \\[2mm] 10\col[1]{x}+20&=20 \qquad |-20 \\[2mm] 10\col[1]{x}&=0 \qquad |:10 \\[2mm] \col[1]{x} &= \lsg{\col[1]{0}} \end{aligned}

Anwendungsbereiche

Lineare Gleichungen kannst du in den verschiedensten Anwendungsbereichen finden:

  • Nullstellen von linearen Funktionen bestimmen
  • Schnittstellen von linearen Gleichungen bestimmen
  • Lineares Wachstum

Beispiele

Unbekannte auf einer Seite

Aufgabe:

Löse die folgende Gleichung:

400=-50\col[1]{x}-100400=50x100400=-50\col[1]{x}-100

Lösung

Du kannst die Gleichung lösen, indem du nach \col[1]{x}x\col[1]{x} umformst:

\begin{aligned} 400&= -50\col[1]{x}-100 &&\quad |+ 100 \\ 500&=-50\col[1]{x} &&\quad |:(-50) \\ \lsg{\col[1]{-10}}&= \col[1]{x} &&\quad \end{aligned}400=50x100+100500=50x:(50)10=x\begin{aligned} 400&= -50\col[1]{x}-100 &&\quad |+ 100 \\ 500&=-50\col[1]{x} &&\quad |:(-50) \\ \lsg{\col[1]{-10}}&= \col[1]{x} &&\quad \end{aligned}

Unbekannte auf beiden Seiten

Aufgabe

Löse die folgende Gleichung:

2\col[1]{x}+4=4\col[1]{x}-22x+4=4x22\col[1]{x}+4=4\col[1]{x}-2

Lösung

Du kannst die Gleichung auf verschiedene Weisen lösen:

Lösungsweg 1

\begin{aligned} 2\col[1]{x}+4&=4\col[1]{x}-2 &&\quad |+2 \\ 2\col[1]{x}+6&=4\col[1]{x} &&\quad |-2\col[1]{x} \\ 6&=2\col[1]{x} &&\quad |:2 \\ \lsg{\col[1]{3}}&= \col[1]{x} &&\quad \end{aligned}2x+4=4x2+22x+6=4x2x6=2x:23=x\begin{aligned} 2\col[1]{x}+4&=4\col[1]{x}-2 &&\quad |+2 \\ 2\col[1]{x}+6&=4\col[1]{x} &&\quad |-2\col[1]{x} \\ 6&=2\col[1]{x} &&\quad |:2 \\ \lsg{\col[1]{3}}&= \col[1]{x} &&\quad \end{aligned}

Lösungsweg 2

\begin{aligned} 2\col[1]{x}+4&=4\col[1]{x}-2 &&\quad |- 4 \\ 2\col[1]{x}&=4\col[1]{x}-6 &&\quad |-4\col[1]{x} \\ -2\col[1]{x}&=-6 &&\quad |:(-2) \\ \col[1]{x}&= \lsg{\col[1]{3}} &&\quad \end{aligned}2x+4=4x242x=4x64x2x=6:(2)x=3\begin{aligned} 2\col[1]{x}+4&=4\col[1]{x}-2 &&\quad |- 4 \\ 2\col[1]{x}&=4\col[1]{x}-6 &&\quad |-4\col[1]{x} \\ -2\col[1]{x}&=-6 &&\quad |:(-2) \\ \col[1]{x}&= \lsg{\col[1]{3}} &&\quad \end{aligned}

Lineare Gleichung mit Klammern

Aufgabe

Löse die folgende Gleichung:

3(10x-20)=30 3(10x20)=303(10x-20)=30

Lösung

Bevor du die Gleichung umformen kannst, musst du noch die Klammern wegmachen. Das erreichst du durch Ausmultiplizieren (Lösungsweg 1) oder durch Eliminieren des Faktors (Lösungsweg 2).

Versuche danach alle Zahlen auf der Seite, wo das \col[1]{x}x\col[1]{x} steht, durch Umformungen zu eliminieren.

Lösungsweg 1

\begin{aligned} 3(10\col[1]{x}-20)&=30 \qquad |\textsf{Ausmultiplizieren}\\[2mm] 3\cdot10\col[1]{x}-3\cdot 20&=30 \\[2mm] 30\col[1]{x}-60&=30 \qquad |+60 \\[2mm] 30\col[1]{x}&=90 \qquad |:30 \\[2mm] \col[1]{x} &= \lsg{\col[1]{3}} \end{aligned}3(10x20)=30Ausmultiplizieren310x320=3030x60=30+6030x=90:30x=3\begin{aligned} 3(10\col[1]{x}-20)&=30 \qquad |\textsf{Ausmultiplizieren}\\[2mm] 3\cdot10\col[1]{x}-3\cdot 20&=30 \\[2mm] 30\col[1]{x}-60&=30 \qquad |+60 \\[2mm] 30\col[1]{x}&=90 \qquad |:30 \\[2mm] \col[1]{x} &= \lsg{\col[1]{3}} \end{aligned}

Lösungsweg 2

\begin{aligned} 3(10\col[1]{x}-20)&=30 \qquad |:3 \\[2mm] 10\col[1]{x}-20&=10 \qquad |+20 \\[2mm] 10\col[1]{x}&=30 \qquad |:10 \\[2mm] \col[1]{x} &= \lsg{\col[1]{3}} \end{aligned}3(10x20)=30:310x20=10+2010x=30:10x=3\begin{aligned} 3(10\col[1]{x}-20)&=30 \qquad |:3 \\[2mm] 10\col[1]{x}-20&=10 \qquad |+20 \\[2mm] 10\col[1]{x}&=30 \qquad |:10 \\[2mm] \col[1]{x} &= \lsg{\col[1]{3}} \end{aligned}
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