Rauten nachweisen im Raum

Eine Raute ist ein Viereck, das sich durch folgende Eigenschaften auszeichnet:

  • Alle Seiten gleichlang
  • Gegenüberliegende Seiten parallel

Nachweis

Du hast vier Punkte in einer Ebene gegeben, die eine Raute bilden. Um das nachzuweisen, musst du nur zeigen, dass alle Seiten gleichlang sind.

Schritt 1: Kantenvektoren bilden.

Die Kantenvektoren sind die Vektoren der Seiten.

Schritt 2: Beträge bzw. Länge der Vektoren berechnen und vergleichen.

Wenn alle Beträge (also die Seitenlängen) gleich sind, handelt es sich um eine Raute.

Besonderheit

Jede Raute ist auch ein Parallelogramm und ein Trapez.


Beispiel

Die Punkte A, B, C und D liegen in einer Ebene. Weise nach, dass sie eine Raute bilden.

A~(1|0|2), B~(2|2|5), C~(5|4|6), D~(4|2|3)A(102),B(225),C(546),D(423)A~(1|0|2), B~(2|2|5), C~(5|4|6), D~(4|2|3)

Schritt 1: Kantenvektoren bilden.

\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 2-0 \\ 5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}AB=(212052)=(123)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 2-0 \\ 5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 4-2 \\ 6-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}BC=(524265)=(321)\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 4-2 \\ 6-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 4-5 \\ 2-4 \\ 3-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}CD=(452436)=(123)\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 4-5 \\ 2-4 \\ 3-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}\overrightarrow{DA} = \begin{pmatrix} 1-4 \\ 0-2 \\ 2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}DA=(140223)=(321)\overrightarrow{DA} = \begin{pmatrix} 1-4 \\ 0-2 \\ 2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}

Schritt 2: Beträge bzw. Länge der Vektoren berechnen und vergleichen.

\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(1)^2+(2)^2+(3)^2}AB=(123)=(1)2+(2)2+(3)2\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(1)^2+(2)^2+(3)^2}=\sqrt{14}=\underline{\underline{\sqrt{14}\textit{ LE}}}=14=14LE=\sqrt{14}=\underline{\underline{\sqrt{14}\textit{ LE}}}\left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(3)^2+(2)^2+(1)^2}BC=(321)=(3)2+(2)2+(1)2\left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(3)^2+(2)^2+(1)^2}=\sqrt{14}=\underline{\underline{\sqrt{14}\textit{ LE}}}=14=14LE=\sqrt{14}=\underline{\underline{\sqrt{14}\textit{ LE}}}\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(-3)^2}CD=(123)=(1)2+(2)2+(3)2\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{14}=\underline{\underline{\sqrt{14}\textit{ LE}}}=14=14LE=\sqrt{14}=\underline{\underline{\sqrt{14}\textit{ LE}}}\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2+(-1)^2}DA=(321)=(3)2+(2)2+(1)2\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{14}=\underline{\underline{\sqrt{14}\textit{ LE}}}=14=14LE=\sqrt{14}=\underline{\underline{\sqrt{14}\textit{ LE}}}

Alle Kantenvektoren und damit alle Seiten sind gleichlang. Demzufolge handelt es sich beim Viereck ABCD um eine Raute.

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