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Bernoulli-Versuch & Binomialverteilung

Du musst in Mathe gerade mit Bernoulli-Ketten rechnen? Diese sind eine der wichtigsten Formeln in der Oberstufe.

Aber was ist eine Bernoulli-Kette überhaupt? Wie kannst du sie berechnen? Welche Voraussetzungen müssen für das Rechnen erfüllt sein?

simpleclub zeigt dir, was du wissen musst.

Bernoulli-Versuch einfach erklärt

Bei einem Bernoulli-Versuch gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse, die als Treffer und Niete definiert sind. Die Wahrscheinlichkeit einen Treffer zu erzielen wird mit p $p$ bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit für Misserfolg mit q $q$ .

Bei einem Bernoulli-Versuch berechnest du die Wahrscheinlichkeit mit einer sogenannten Bernoulli-Kette. Die Wahrscheinlichkeit bei n $n$ Durchführungen eines Experiments k $k$ Treffer zu erzielen, liegt bei:

P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}

P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}

Bernoulli-Versuch Definition

Ein Bernoulli-Versuch ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen. Die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse ändert sich während des Experiments nicht.

Mit einer Bernoulli-Kette berechnest du die Wahrscheinlichkeit, dass du bei \col[1]n $\col[1]n$ Versuchsdurchführungen \col[2]k $\col[2]k$ Treffer erzielst. Die Trefferwahrscheinlichkeit ist \col[3]p $\col[3]p$ und die Wahrscheinlichkeit für Niete \col[4]q $\col[4]q$ .

Für eine Bernoulli-Kette gibt es zwei verschiedene Schreibweisen:

B(\col[1]n;\col[3]p;\col[2]k)=P^\col[1]n_\col[3]p(X=\col[2]k)

B(\col[1]n;\col[3]p;\col[2]k)=P^\col[1]n_\col[3]p(X=\col[2]k)

Du berechnest die Bernoulli-Kette durch:

B(\col[1]n;\col[3]p;\col[2]k)=\binom{\col[1]n}{\col[2]k}\cdot \col[3]p^\col[2]k\cdot \col[4]q^{\col[1]n-\col[2]k}

B(\col[1]n;\col[3]p;\col[2]k)=\binom{\col[1]n}{\col[2]k}\cdot \col[3]p^\col[2]k\cdot \col[4]q^{\col[1]n-\col[2]k}

Die obigen Schreibweisen sind beide gleichbedeutend. Du kannst dir also aussuchen, welche von beiden du verwenden möchtest.

Bernoulli-Versuch Erklärung

Ordnen wir die ganzen Größen von oben erst einmal einem anschaulichen Beispiel zu.

Ein Biathlet übt das Schießen. Dabei schießt er 5 $5$ - mal auf die Scheiben. Er trifft eine Scheibe mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 \% $90 \%$ .

Hier handelt es sich um einen Bernoulli-Versuch.

Bei einem Bernoulli-Versuch gibt es nur Treffer und Niete. Bei diesem Beispiel bedeutet das, dass der Biathlet entweder die Scheibe trifft oder eben nicht.
Außerdem besitzen Treffer und Niete immer die gleiche Wahrscheinlichkeit. (Wir gehen bei diesem Experiment davon aus, dass der Biathlet bei jedem Schuss mit der gleichen Wahrscheinlichkeit trifft) . Die Trefferwahrscheinlichkeit ist \col[3]{p=90\%} $\col[3]{p=90\%}$ . Die Wahrscheinlichkeit für Niete ist dann \col[4]{q=10\%} $\col[4]{q=10\%}$ .
Der Biathlet schießt ja auf \col[1]5 $\col[1]5$ Scheiben. Das ist der sogenannte Stichprobenumfang n.

Da es sich um einen Bernoulli-Versuch handelt, kannst du mit einer Bernoulli-Kette die Wahrscheinlichkeiten berechnen.

Mit der Bernoulli-Kette rechnest du immer die Wahrscheinlichkeiten aus, dass aus dem Stichprobenumfang\col[1]n $\col[1]n$ eine bestimmte Anzahl an Treffern \col[2]k $\col[2]k$ erzielt wird.

Um zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass der Biathlet bei \col[1]5 $\col[1]5$ Schüssen \col[2]4 $\col[2]4$ -mal trifft, würdest du folgende Rechnung durchführen.

\begin{aligned} B(\col[1]5;\col[3]{0,9};\col[2]4)&=\binom{\col[1]5}{\col[2]4}\cdot \col[3]{0,9}^\col[2]4\cdot \col[4]{0,1}^{\col[1]5-\col[2]4} \\ &=\binom{\col[1]5}{\col[2]4}\cdot \col[3]{0,9}^\col[2]4\cdot \col[4]{0,1}^1\\ &=0,32805\\ &\approx 32,8\% \end{aligned}

\begin{aligned} B(\col[1]5;\col[3]{0,9};\col[2]4)&=\binom{\col[1]5}{\col[2]4}\cdot \col[3]{0,9}^\col[2]4\cdot \col[4]{0,1}^{\col[1]5-\col[2]4} \\ &=\binom{\col[1]5}{\col[2]4}\cdot \col[3]{0,9}^\col[2]4\cdot \col[4]{0,1}^1\\ &=0,32805\\ &\approx 32,8\% \end{aligned}

Statt der Schreibweise oben kannst du natürlich auch die andere verwenden.

B(\col[1]5;\col[3]{0,9};\col[2]4)=P^\col[1]5_\col[3]{0,9}(X=\col[2]4)

B(\col[1]5;\col[3]{0,9};\col[2]4)=P^\col[1]5_\col[3]{0,9}(X=\col[2]4)

Das X $X$ in der zweiten Schreibweise steht dabei immer für die Zufallsvariable. Sie gibt an, was in der Aufgabe eigentlich untersucht wird.

In diesem Fall gilt für X $X$ :

X $X$ gibt die Anzahl an Treffern k an .

Das X $X$ ist also einfach eine Formalität, die klar macht, was mit der Bernoulli-Kette eigentlich untersucht wird. Oft ist diese in der Aufgabe gegeben, manchmal musst du sie noch explizit angeben. Mache dir also immer klar, was du mit der Bernoulli-Kette eigentlich berechnest. Also was für dich als Treffer definiert ist.

Hinweis:

Eine derartige Bernoulli-Kette kannst du auch mit einem Taschenrechnerbefehl (bei entsprechendem Taschenrechner) oder mit einem sogenannten Tafelwerk bestimmen. Hier geht es uns erstmal nur um die rechnerische Bestimmung.

Beliebige Reihenfolge

Bei einem Bernoulli-Versuch ist eine Sache sehr wichtig!

Die Treffer können in beliebiger Reihenfolge erzielt werden.

Das bedeutet, es geht nicht darum, dass zum Beispiel die ersten vier Schüsse getroffen werden oder die ersten beiden und die letzten beiden. Es geht nur darum, dass insgesamt genau vier Scheiben getroffen werden, unabhängig von der Reihenfolge.

Verschiedene Trefferanzahlen

Du kannst mit einer Bernoulli-Kette natürlich auch Wahrscheinlichkeiten anderer Trefferanzahlen berechnen. Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass der Biathlet \col[2]5 $\col[2]5$ von \col[1]5 $\col[1]5$ Scheiben trifft.

\begin{aligned} B(\col[1]5;\col[3]{0,9};\col[2]5)&=P^\col[1]5_\col[3]{0,9}(X=\col[2]5)\\[2mm]&=\binom{\col[1]5}{\col[2]5}\cdot \col[3]{0,9}^\col[2]5\cdot \col[4]{0,1}^{\col[1]5-\col[2]5} \\[2mm] &=\binom{\col[1]5}{\col[2]5}\cdot \col[3]{0,9}^\col[2]5\cdot \col[4]{0,1}^{0} \\[2mm] &=0,59049\\ &=\underline{\underline{59,0\%}} \end{aligned}

\begin{aligned} B(\col[1]5;\col[3]{0,9};\col[2]5)&=P^\col[1]5_\col[3]{0,9}(X=\col[2]5)\\[2mm]&=\binom{\col[1]5}{\col[2]5}\cdot \col[3]{0,9}^\col[2]5\cdot \col[4]{0,1}^{\col[1]5-\col[2]5} \\[2mm] &=\binom{\col[1]5}{\col[2]5}\cdot \col[3]{0,9}^\col[2]5\cdot \col[4]{0,1}^{0} \\[2mm] &=0,59049\\ &=\underline{\underline{59,0\%}} \end{aligned}

Mit der Bernoulli-Kette kannst du die Wahrscheinlichkeit für jede Trefferanzahl im Stichprobenumfang berechnen. Als letztes Beispiel siehst du nun noch, wie du die Wahrscheinlichkeit berechnen kannst, dass der Biathlet \col[2]3 $\col[2]3$ Scheiben von \col[1]5 $\col[1]5$ trifft.

\begin{aligned} B(\col[1]5;\col[3]{0,9};\col[2]3)&=P^\col[1]5_\col[3]{0,9}(X=\col[2]3)\\[2mm]&=\binom{\col[1]5}{\col[2]3}\cdot \col[3]{0,9}^\col[2]3\cdot \col[4]{0,1}^{\col[1]5-\col[2]3} \\[2mm] &=\binom{\col[1]5}{\col[2]3}\cdot \col[3]{0,9}^\col[2]3\cdot \col[4]{0,1}^{2} \\[2mm] &=0,0729\\ &=\underline{\underline{7,3\%}} \end{aligned}

\begin{aligned} B(\col[1]5;\col[3]{0,9};\col[2]3)&=P^\col[1]5_\col[3]{0,9}(X=\col[2]3)\\[2mm]&=\binom{\col[1]5}{\col[2]3}\cdot \col[3]{0,9}^\col[2]3\cdot \col[4]{0,1}^{\col[1]5-\col[2]3} \\[2mm] &=\binom{\col[1]5}{\col[2]3}\cdot \col[3]{0,9}^\col[2]3\cdot \col[4]{0,1}^{2} \\[2mm] &=0,0729\\ &=\underline{\underline{7,3\%}} \end{aligned}

Binomialverteilung

Du hast schon festgestellt, dass du eine Bernoulli-Kette nur unter bestimmten Voraussetzungen anwenden kannst. Es darf nur Treffer und Niete geben und die Trefferwahrscheinlichkeit p $p$ muss über alle Versuchsdurchführungen konstant sein.

Zufallsexperimente, die eine solche Zufallsgröße untersuchen, werden auch als binomialverteilte Zufallsgrößen bezeichnet.

Um mit Bernoulli-Ketten rechnen zu können, benötigst du also eine binomialverteilte Zufallsgröße. Man spricht auch von einer Binomialverteilung, die vorliegen muss.

Eine Binomialverteilung beschreibt also genau die Voraussetzungen, die für das Anwenden der Bernoulliformel benötigt werden.

Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl von Treffern bei einer Anzahl an Wiederholungen n $n$ , wobei es nur Treffer und Niete gibt und die Wahrscheinlichkeit konstant bleibt.

Graphische Darstellung

Du kannst eine Binomialverteilung auch graphisch darstellen. Das ist im Grunde einfach eine grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Trefferanzahl. Du rechnest also für eine Bernoulli-Kette jede mögliche Trefferanzahl aus und trägst die Wahrscheinlichkeiten in ein Diagramm ein.

Zum Beispiel siehst du im Folgenden die Binomialverteilung zu dem Stichprobenumfang \col[1]{ n= 5} $\col[1]{ n= 5}$ . Dabei liegt nun eine Trefferwahrscheinlichkeit \col[3]{p=0,6} $\col[3]{p=0,6}$ vor. Im Diagramm sind dann zu den verschiedenen Trefferanzahlen die Wahrscheinlichkeiten dargestellt.

Du könntest zum Beispiel nun ablesen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Stichprobenumfang von \col[1]5 $\col[1]5$ und der Trefferwahrscheinlichkeit\col[3]{0,6} $\col[3]{0,6}$ genau \col[2]3 $\col[2]3$ Treffer auftreten, 0,34 $0,34$ beträgt.

Binomialverteilung im Diagramm dargestellt. Auf der y-Achse ist die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Trefferanzahlen auf der x-Achse, abgetragen. Für k = 0 ist p=0,01. Für k=1 ist p=0,08. Für k=2 ist p=0,23. Für k=3ist p=0,31. Für k=4 ist p = 0,26 und für 0=5 ist 0=0,08 .

Beispiel

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Autoherstellung

Ein Autohersteller produziert Autos. Bei einem Auto tritt in der Produktion mit 4\% $4\%$ Wahrscheinlichkeit ein Fehler auf so das dieses nicht verkauft werden kann.

Es werden 200 $200$ Autos überprüft.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau 10 $10$ Autos fehlerhaft?

Lösung

Es liegt hier eine Binomialverteilung vor. Denn es gibt nur Treffer (= Auto fehlerhaft) und Niete (= Auto fehlerfrei). Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt konstant, denn mit einer Wahrscheinlichkeit von 4\% $4\%$ ist ein Auto fehlerhaft. Außerdem gibt es einen klaren Stichprobenumfang von 200 $200$ Stück.

Die Zufallsgröße X $X$ beschreibt also die Anzahl an Treffern, wobei ein Treffer einem fehlerhaften Auto entspricht.

Dementsprechend kannst du die Bernoulli-Formel anwenden. Diese stellst du mit folgenden Parametern auf:

\begin{aligned} n&=200\\ k&=10\\ p&=0,04\\ q&=0,96 \end{aligned}

\begin{aligned} n&=200\\ k&=10\\ p&=0,04\\ q&=0,96 \end{aligned}

\begin{aligned} \implies B(200;0,04;10)&=P^{200}_{0,04}(X=10)\\[2mm]&=\binom{200}{10}\cdot 0,04^{10}\cdot 0,96^{200-10}\\[2mm] &=\binom{200}{10}\cdot 0,04^{10}\cdot 0,96^{190}\\[1mm] &=0,1008=\underline{\underline{10,08\%}} \end{aligned}

\begin{aligned} \implies B(200;0,04;10)&=P^{200}_{0,04}(X=10)\\[2mm]&=\binom{200}{10}\cdot 0,04^{10}\cdot 0,96^{200-10}\\[2mm] &=\binom{200}{10}\cdot 0,04^{10}\cdot 0,96^{190}\\[1mm] &=0,1008=\underline{\underline{10,08\%}} \end{aligned}

Die Wahrscheinlichkeit, dass 10 $10$ Autos fehlerhaft sind, beträgt 10,08\% $10,08\%$ .

Wir haben oben beide Möglichkeiten hingeschrieben, die Bernoulli-Kette anzugeben. Du musst natürlich nur eine von beiden verwenden!

Würfel

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim zehnfachen Würfeln genau zweimal die 6 $6$ zu werfen?

Lösung

Auch hier handelt es sich um eine Binomialverteilung. Es gibt Treffer ( = Die 6 $6$ wird gewürfelt) und Niete (= eine andere Zahl wird gewürfelt). Die Trefferwahrscheinlichkeit beim Würfeln ist immer konstant und beträgt für eine 6 $6$ gleich p= \frac{1}{6} $p= \frac{1}{6}$ . Insgesamt liegt ein Stichprobenumfang von 10 $10$ Würfen vor.

Die Formel lautet:

B(n;p;k)=P^n_p(X=k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}

B(n;p;k)=P^n_p(X=k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}

Anzahl der Würfe:

n = 10 $n = 10$

Anzahl der Erfolge

k= 2 $k= 2$

Wahrscheinlichkeit für Erfolg

p = \frac{1}{6} $p = \frac{1}{6}$

Wahrscheinlichkeit für Misserfolg

q= \frac{5}{6} $q= \frac{5}{6}$

\begin{aligned} P^{10}_{\frac{1}{6}}(X=2)&=\binom{10}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{2} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{10-2}\\[1mm]&= \underline{\underline{0,29071=29,07\%}} \end{aligned}

\begin{aligned} P^{10}_{\frac{1}{6}}(X=2)&=\binom{10}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{2} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{10-2}\\[1mm]&= \underline{\underline{0,29071=29,07\%}} \end{aligned}

Achtung:

Lass dich an diese Stelle nicht davon verwirren, dass ein Würfel sechs Seiten hat. Das Experiment ist so beschrieben, dass eine 6 $6$ ein Treffer ist und jede andere Zahl eine Niete!

Es gibt also nur zwei Ergebnisse. Entweder Treffer oder Niete.

Graphische Darstellung

Im Folgenden findest du ein Diagramm zu einer Binomialverteilung zu dem Stichprobenumfang 3 $3$ und der Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,4 $p = 0,4$ .

Eine Säule fehlt. Kannst du trotzdem herausfinden, wie hoch diese sein muss?

Lösung

Insgesamt müssen alle Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsgröße 100\% $100\%$ ergeben.

Das ist ja auch logisch, denn irgendeine Trefferanzahl muss ja tatsächlich eintreten. Wenn du also alle Trefferwahrscheinlichkeiten zusammenrechnest, müssen diese insgesamt 100\% $100\%$ ergeben.

Somit musst du also aus dem Diagramm alle Wahrscheinlichkeiten für 0 $0$ , 1 $1$ und 2 $2$ Treffer ablesen und zusammenrechnen. Die Wahrscheinlichkeit, die dann noch bis 100\% $100\%$ fehlt, ist die Wahrscheinlichkeit für 4 $4$ Treffer.

\implies 1-(0,22+0,43+0,29)=\underline{\underline{0,06}}

\implies 1-(0,22+0,43+0,29)=\underline{\underline{0,06}}

Die letzte Säule würde also die Wahrscheinlichkeit 0,06 $0,06$ zeigen.

Zusammenfassung

Eine Bernoulli-Kette hat einen gewissen Stichprobenumfang \col[1]{n} $\col[1]{n}$ , eine gewisse Anzahl an Treffern \col[2]k $\col[2]k$ , und eine Trefferwahrscheinlichkeit p , aus der sich noch die Wahrscheinlichkeit \col[4]q $\col[4]q$ für eine Niete ergibt.

\implies B(\col[1]n;\col[3]p;\col[2]k)=\binom{\col[1]n}{\col[2]k}\cdot \col[3]p^\col[2]k\cdot \col[4]q^{\col[1]n-\col[2]k}

\implies B(\col[1]n;\col[3]p;\col[2]k)=\binom{\col[1]n}{\col[2]k}\cdot \col[3]p^\col[2]k\cdot \col[4]q^{\col[1]n-\col[2]k}

Mit einer Bernoulli-Kette berechnest du die Wahrscheinlichkeit bei einer binomialverteilten Zufallsgröße eine bestimmte Anzahl an Treffern zu erzielen.

Damit eine binomialverteilte Zufallsgröße vorliegt und du eine Bernoulli-Kette anwenden darfst, müssen drei Voraussetzungen erfüllt sein.

Bei einer Bernoulli-Kette darf es nur zwei Ergebnisausgänge geben.

Es muss immer einen Treffer mit Trefferwahrscheinlichkeit p und eine Niete mit Gegenwahrscheinlichkeit q geben.

\implies \col[3]p+\col[4]q=1

\implies \col[3]p+\col[4]q=1

Die Trefferwahrscheinlichkeit p muss konstant sein.
Es muss ein fester Stichprobenumfang n vorliegen.

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