Du musst in Mathe gerade mit Bernoulli-Ketten rechnen? Diese sind eine der wichtigsten Formeln in der Oberstufe.
Aber was ist eine Bernoulli-Kette überhaupt? Wie kannst du sie berechnen? Welche Voraussetzungen müssen für das Rechnen erfüllt sein?
simpleclub zeigt dir, was du wissen musst.
Bernoulli-Versuch einfach erklärt
Bei einem Bernoulli-Versuch gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse, die als Treffer und Niete definiert sind. Die Wahrscheinlichkeit einen Treffer zu erzielen wird mit
Bei einem Bernoulli-Versuch berechnest du die Wahrscheinlichkeit mit einer sogenannten Bernoulli-Kette. Die Wahrscheinlichkeit bei
Bernoulli-Versuch Definition
Ein Bernoulli-Versuch ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen. Die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse ändert sich während des Experiments nicht.
Mit einer Bernoulli-Kette berechnest du die Wahrscheinlichkeit, dass du bei
Für eine Bernoulli-Kette gibt es zwei verschiedene Schreibweisen:
Du berechnest die Bernoulli-Kette durch:
Die obigen Schreibweisen sind beide gleichbedeutend. Du kannst dir also aussuchen, welche von beiden du verwenden möchtest.
Bernoulli-Versuch Erklärung
Ordnen wir die ganzen Größen von oben erst einmal einem anschaulichen Beispiel zu.
Ein Biathlet übt das Schießen. Dabei schießt er
Hier handelt es sich um einen Bernoulli-Versuch.
Bei einem Bernoulli-Versuch gibt es nur Treffer und Niete. Bei diesem Beispiel bedeutet das, dass der Biathlet entweder die Scheibe trifft oder eben nicht.
Außerdem besitzen Treffer und Niete immer die gleiche Wahrscheinlichkeit. (Wir gehen bei diesem Experiment davon aus, dass der Biathlet bei jedem Schuss mit der gleichen Wahrscheinlichkeit trifft) . Die Trefferwahrscheinlichkeit ist
\col[3]{p=90\%} . Die Wahrscheinlichkeit für Niete ist dann\col[4]{q=10\%} .Der Biathlet schießt ja auf
\col[1]5 Scheiben. Das ist der sogenannte Stichprobenumfang n.
Da es sich um einen Bernoulli-Versuch handelt, kannst du mit einer Bernoulli-Kette die Wahrscheinlichkeiten berechnen.
Mit der Bernoulli-Kette rechnest du immer die Wahrscheinlichkeiten aus, dass aus dem Stichprobenumfang
Um zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass der Biathlet bei
Statt der Schreibweise oben kannst du natürlich auch die andere verwenden.
Das
In diesem Fall gilt für
Das
Hinweis: Eine derartige Bernoulli-Kette kannst du auch mit einem Taschenrechnerbefehl (bei entsprechendem Taschenrechner) oder mit einem sogenannten Tafelwerk bestimmen. Hier geht es uns erstmal nur um die rechnerische Bestimmung. |
Beliebige Reihenfolge
Bei einem Bernoulli-Versuch ist eine Sache sehr wichtig!
- Die Treffer können in beliebiger Reihenfolge erzielt werden.
Das bedeutet, es geht nicht darum, dass zum Beispiel die ersten vier Schüsse getroffen werden oder die ersten beiden und die letzten beiden. Es geht nur darum, dass insgesamt genau vier Scheiben getroffen werden, unabhängig von der Reihenfolge.
Verschiedene Trefferanzahlen
Du kannst mit einer Bernoulli-Kette natürlich auch Wahrscheinlichkeiten anderer Trefferanzahlen berechnen. Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass der Biathlet
Mit der Bernoulli-Kette kannst du die Wahrscheinlichkeit für jede Trefferanzahl im Stichprobenumfang berechnen. Als letztes Beispiel siehst du nun noch, wie du die Wahrscheinlichkeit berechnen kannst, dass der Biathlet
Binomialverteilung
Du hast schon festgestellt, dass du eine Bernoulli-Kette nur unter bestimmten Voraussetzungen anwenden kannst.
Es darf nur Treffer und Niete geben und die Trefferwahrscheinlichkeit
Zufallsexperimente, die eine solche Zufallsgröße untersuchen, werden auch als binomialverteilte Zufallsgrößen bezeichnet.
Um mit Bernoulli-Ketten rechnen zu können, benötigst du also eine binomialverteilte Zufallsgröße. Man spricht auch von einer Binomialverteilung, die vorliegen muss.
Eine Binomialverteilung beschreibt also genau die Voraussetzungen, die für das Anwenden der Bernoulliformel benötigt werden.
Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl von Treffern bei einer Anzahl an Wiederholungen
Graphische Darstellung
Du kannst eine Binomialverteilung auch graphisch darstellen. Das ist im Grunde einfach eine grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Trefferanzahl. Du rechnest also für eine Bernoulli-Kette jede mögliche Trefferanzahl aus und trägst die Wahrscheinlichkeiten in ein Diagramm ein.
Zum Beispiel siehst du im Folgenden die Binomialverteilung zu dem Stichprobenumfang
Du könntest zum Beispiel nun ablesen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Stichprobenumfang von
Beispiel
Autoherstellung
Ein Autohersteller produziert Autos. Bei einem Auto tritt in der Produktion mit
Es werden
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau
Lösung
Es liegt hier eine Binomialverteilung vor. Denn es gibt nur Treffer (= Auto fehlerhaft) und Niete (= Auto fehlerfrei). Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt konstant, denn mit einer Wahrscheinlichkeit von
Die Zufallsgröße
Dementsprechend kannst du die Bernoulli-Formel anwenden. Diese stellst du mit folgenden Parametern auf:
Die Wahrscheinlichkeit, dass
Wir haben oben beide Möglichkeiten hingeschrieben, die Bernoulli-Kette anzugeben. Du musst natürlich nur eine von beiden verwenden!
Würfel
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim zehnfachen Würfeln genau zweimal die
Lösung
Auch hier handelt es sich um eine Binomialverteilung. Es gibt Treffer ( = Die
Die Formel lautet:
Anzahl der Würfe:
Anzahl der Erfolge
Wahrscheinlichkeit für Erfolg
Wahrscheinlichkeit für Misserfolg
Achtung:
Lass dich an diese Stelle nicht davon verwirren, dass ein Würfel sechs Seiten hat. Das Experiment ist so beschrieben, dass eine
Es gibt also nur zwei Ergebnisse. Entweder Treffer oder Niete.
Graphische Darstellung
Im Folgenden findest du ein Diagramm zu einer Binomialverteilung zu dem Stichprobenumfang
Eine Säule fehlt. Kannst du trotzdem herausfinden, wie hoch diese sein muss?
Lösung
Insgesamt müssen alle Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsgröße
Das ist ja auch logisch, denn irgendeine Trefferanzahl muss ja tatsächlich eintreten. Wenn du also alle Trefferwahrscheinlichkeiten zusammenrechnest, müssen diese insgesamt
Somit musst du also aus dem Diagramm alle Wahrscheinlichkeiten für
Die letzte Säule würde also die Wahrscheinlichkeit
Zusammenfassung
Eine Bernoulli-Kette hat einen gewissen Stichprobenumfang
Mit einer Bernoulli-Kette berechnest du die Wahrscheinlichkeit bei einer binomialverteilten Zufallsgröße eine bestimmte Anzahl an Treffern zu erzielen.
Damit eine binomialverteilte Zufallsgröße vorliegt und du eine Bernoulli-Kette anwenden darfst, müssen drei Voraussetzungen erfüllt sein.
Bei einer Bernoulli-Kette darf es nur zwei Ergebnisausgänge geben.
Es muss immer einen Treffer mit Trefferwahrscheinlichkeit p und eine Niete mit Gegenwahrscheinlichkeit q geben.
Die Trefferwahrscheinlichkeit p muss konstant sein.
Es muss ein fester Stichprobenumfang n vorliegen.