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Formeln umstellen

Formeln brauchst du nicht nur in Mathe, sondern auch in anderen Fächern wie Physik und Wirtschaft.

Oft stehen Formeln aber noch nicht genauso da, wie du sie brauchst. Ist das der Fall, musst du sie umstellen.

simpleclub zeigt dir, dass das Umstellen von Formeln gar nicht schwierig ist.

Formeln umstellen einfach erklärt

Bei der Arbeit mit Formeln gehst du oft in drei Schritten vor.

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Formel hinschreiben

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Formel umstellen

\fcolorbox{white}{grey}{3.} $\fcolorbox{white}{grey}{3.}$ Werte einsetzen

Der zweite Schritt ist nur nötig, wenn die gesuchte Größe noch nicht alleine auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht.

Beispiel: Du sollst die Formel vom Satz des Pythagoras nach der Seitenlänge b $b$ umstellen.

\rarr $\rarr$ Forme c^2=a^2+b^2 $c^2=a^2+b^2$ so um, dass b $b$ alleine ohne das Quadrat auf einer Seite der Gleichung steht.

Bewege den Slider.

Umstellen

Formeln umstellen Definition

Formeln stellst du mit Äquivalenzumformungen um.

Das bedeutet, dass du auf beiden Seiten der Gleichung immer dasselbe rechnest! Du addierst, subtrahierst, dividierst oder multiplizierst eine Zahl also immer auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens.

Äquivalenzumformungen verändern die Lösungsmenge nämlich nicht.

Formeln umstellen Erklärung

Manche Formeln kannst du in nur einem Schritt umformen. Dazu nutzt du folgende Rechenoperationen:

Addition oder Subtraktion
Multiplikation oder Division
Potenzieren oder Wurzelziehen
Exponenzieren oder Logarithmieren

Häufig musst du mehrere der genannten Rechenoperationen hintereinander durchführen. Beachte dabei die Rechengesetze.

Addition und Subtraktion

Du verwendest immer die Gegenoperation.

Summen formst du durch Subtraktion einer der beiden Zahlen um.
Differenzen formst du durch Addition des Subtrahenden (zweite Zahl) um.

Beispiel Summe

Umformung der linearen Funktion nach t. $t.$

\begin{aligned} y&=mx+t\qquad\qquad\mid\col[1]{-mx}\\[2mm] y\col[1]{-mx}&=\cancel{mx\col[1]{-mx}}+t\\[2mm] y-mx&=t \end{aligned}

\begin{aligned} y&=mx+t\qquad\qquad\mid\col[1]{-mx}\\[2mm] y\col[1]{-mx}&=\cancel{mx\col[1]{-mx}}+t\\[2mm] y-mx&=t \end{aligned}

Beispiel Differenz

Umformung der Temperaturdifferenz \Delta T $\Delta T$ nach der Temperatur T_2 $T_2$ .

\begin{aligned} \Delta T&=T_2-T_1\qquad\qquad\mid\col[1]{+T_1}\\[2mm] \Delta T\col[1]{+T_1}&=T_2\cancel{-T_1\col[1]{+T_1}}\\[2mm] \Delta T+T_1&=T_2 \end{aligned}

\begin{aligned} \Delta T&=T_2-T_1\qquad\qquad\mid\col[1]{+T_1}\\[2mm] \Delta T\col[1]{+T_1}&=T_2\cancel{-T_1\col[1]{+T_1}}\\[2mm] \Delta T+T_1&=T_2 \end{aligned}

Sollst du nach dem Minuenden, hier T_2, $T_2,$ umstellen, musst du am Ende \cdot(-1) $\cdot(-1)$ rechnen, um die Vorzeichen umzudrehen.

\begin{aligned} \Delta T&=T_2-T_1\qquad\qquad&&\mid\col[1]{-T_2}\\[2mm] \Delta T\col[1]{-T_2}&=\cancel{T_2\col[1]{-T_2}}-T_1\\[2mm] \Delta T-T_2&=-T_1 &&\mid\cdot(-1)\\[2mm] -(\Delta T-T_2)&=-(-T_1)\\[2mm] -\Delta T+T_2&=T_1\\[2mm] T_2-\Delta T&=T_1 \end{aligned}

\begin{aligned} \Delta T&=T_2-T_1\qquad\qquad&&\mid\col[1]{-T_2}\\[2mm] \Delta T\col[1]{-T_2}&=\cancel{T_2\col[1]{-T_2}}-T_1\\[2mm] \Delta T-T_2&=-T_1 &&\mid\cdot(-1)\\[2mm] -(\Delta T-T_2)&=-(-T_1)\\[2mm] -\Delta T+T_2&=T_1\\[2mm] T_2-\Delta T&=T_1 \end{aligned}

Der „Trick“, dass \cdot(-1) $\cdot(-1)$ die Vorzeichen umdreht, kann dir öfter helfen! Merke dir das also gut.

Multiplikation und Division

Du verwendest wieder die Gegenoperation.

Produkte formst du durch Division einer der beiden Zahlen um.
Quotienten formst du durch Multiplikation des Divisors (zweite Zahl) um.

Beispiel Produkt

Umformung der mechanischen Arbeit nach dem Weg s $s$ .

\begin{aligned} W&=F\cdot s\qquad\qquad\mid~\col[1]{:F}\\[2mm] W\col[1]{:F}&=\underbrace{F\col[1]{:F}}_{=1}\cdot s\\[2mm] W:F&=s \end{aligned}

\begin{aligned} W&=F\cdot s\qquad\qquad\mid~\col[1]{:F}\\[2mm] W\col[1]{:F}&=\underbrace{F\col[1]{:F}}_{=1}\cdot s\\[2mm] W:F&=s \end{aligned}

Beispiel Quotient

Umformung der Tilgungsraten nach der Kreditsumme K_0 $K_0$ .

\begin{aligned} T&=K_0:n\qquad\qquad\mid\col[1]{\cdot{n}}\\[2mm] T\col[1]{\cdot {n}}&=K_0~\underbrace{:n\col[1]{\cdot{n}}}_{=1}\\[2mm] T\cdot{n}&=K_0 \end{aligned}

\begin{aligned} T&=K_0:n\qquad\qquad\mid\col[1]{\cdot{n}}\\[2mm] T\col[1]{\cdot {n}}&=K_0~\underbrace{:n\col[1]{\cdot{n}}}_{=1}\\[2mm] T\cdot{n}&=K_0 \end{aligned}

Genauso funktioniert das, wenn der Quotient als Bruch gegeben ist.

\begin{aligned} T&=\frac{K_0}{n}\qquad\qquad\mid\col[1]{\cdot{n}}\\[2mm] T\col[1]{\cdot {n}}&=\frac{K_0\cancel{\col[1]{\cdot{n}}}}{\cancel{n}}\\[2mm] T\cdot{n}&=K_0 \end{aligned}

\begin{aligned} T&=\frac{K_0}{n}\qquad\qquad\mid\col[1]{\cdot{n}}\\[2mm] T\col[1]{\cdot {n}}&=\frac{K_0\cancel{\col[1]{\cdot{n}}}}{\cancel{n}}\\[2mm] T\cdot{n}&=K_0 \end{aligned}

Möchtest du nach der Zahl im Nenner, hier n, $n,$ auflösen, dann brauchst du zwei Schritte.

\begin{aligned} T&=\frac{K_0}{n}\qquad\qquad&&\mid\col[1]{\cdot{n}}\\[2mm] T\col[1]{\cdot {n}}&=\frac{K_0\cancel{\col[1]{\cdot{n}}}}{\cancel{n}}\\[2mm] T\cdot{n}&=K_0 &&\mid \col[2]{~:T}\\[2mm] \frac{\cancel{T}\cdot n}{\cancel\col[2]{T}}&=\frac{K_0}{\col[2]{T}}\\[2mm] n&=\frac{K_0}{T} \end{aligned}

\begin{aligned} T&=\frac{K_0}{n}\qquad\qquad&&\mid\col[1]{\cdot{n}}\\[2mm] T\col[1]{\cdot {n}}&=\frac{K_0\cancel{\col[1]{\cdot{n}}}}{\cancel{n}}\\[2mm] T\cdot{n}&=K_0 &&\mid \col[2]{~:T}\\[2mm] \frac{\cancel{T}\cdot n}{\cancel\col[2]{T}}&=\frac{K_0}{\col[2]{T}}\\[2mm] n&=\frac{K_0}{T} \end{aligned}

Potenzieren und Wurzelziehen

Du verwendest wieder die Gegenoperation.

Potenzen (Hoch-Zahlen) bekommst du durch Wurzelziehen weg.
Wurzeln bekommst du durch Potenzieren weg.

Beim Potenzieren musst du vorsichtig sein! Gerade Potenzen(\square^2,\ \square^4,\ \square^6,\ ...) $(\square^2,\ \square^4,\ \square^6,\ ...)$ können neue Lösungen erzeugen. Mache in diesen Fällen zum Schluss eine Probe, indem du deine Lösung logisch analysierst (z.B. nur positive Werte für Zeiten akzeptieren) oder alle Lösungen in die Ursprungsformel einsetzt.

Beispiel Potenzen

Umformung der Oberfläche eines Würfels nach der Seitenlänge a $a$ .

\begin{aligned} O&=6\cdot a^3\qquad&&\mid~:6\\[2mm] \frac{O}{6}&=\frac{\cancel6}{\cancel6}\cdot a^3\\[2mm] \frac{O}{6}&=a^3&&\mid\col[1]{\sqrt[3]{\square}}\\[2mm] \col[1]{\sqrt[3]{\col[0]{\frac{O}{6}}}}&=\col[1]{\sqrt[\cancel{3}]{\col[0]{a^{\cancel{3}}}}}\\[2mm] \sqrt[3]{\frac{O}{6}}&=a \end{aligned}

\begin{aligned} O&=6\cdot a^3\qquad&&\mid~:6\\[2mm] \frac{O}{6}&=\frac{\cancel6}{\cancel6}\cdot a^3\\[2mm] \frac{O}{6}&=a^3&&\mid\col[1]{\sqrt[3]{\square}}\\[2mm] \col[1]{\sqrt[3]{\col[0]{\frac{O}{6}}}}&=\col[1]{\sqrt[\cancel{3}]{\col[0]{a^{\cancel{3}}}}}\\[2mm] \sqrt[3]{\frac{O}{6}}&=a \end{aligned}

Beispiel Wurzeln

Umformung der Fallgeschwindigkeit im freien Fall nach der Höhe h $h$ .

\begin{aligned} v&=\sqrt{2\cdot h\cdot g}\qquad&&\mid \col[1]{\square^2}\\[2mm] v^{\col[1]{2}}&=(\sqrt{2\cdot h\cdot g})^{\col[1]{2}}\\[2mm] v^2&=2\cdot g \cdot h&&\mid~:(2g)\\[2mm] \frac{v^2}{2g}&=h \end{aligned}

\begin{aligned} v&=\sqrt{2\cdot h\cdot g}\qquad&&\mid \col[1]{\square^2}\\[2mm] v^{\col[1]{2}}&=(\sqrt{2\cdot h\cdot g})^{\col[1]{2}}\\[2mm] v^2&=2\cdot g \cdot h&&\mid~:(2g)\\[2mm] \frac{v^2}{2g}&=h \end{aligned}

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Exponenzieren und Logarithmieren

Du verwendest wieder die Gegenoperation.

Potenzen, bei denen die gesuchte Variable im Exponenten steht, bekommst du durch Logarithmieren weg.
Logarithmen bekommst du durch Potenzieren weg.

Sieh dir bei Problemen nochmal die Potenz- und Logarithmusgesetze an.

Beispiel Potenz

Umwandlung der Zerfallsgleichung nach der Zeit t $t$ .

\begin{aligned} N(t)&=N_0\cdot\e^{-\lambda\cdot t} \qquad&&\mid~:N_0\\[2mm] \frac{N(t)}{N_0}&=\e^{-\lambda\cdot t} &&\mid\col[1]{\ln(\square)}\\[2mm] \col[1]{\ln\left(\col[0]{\frac{N(t)}{N_0}}\right)}&=\col[1]{\ln(\col[0]{\e^{-\lambda\cdot {t}}})} &&\mid\textsf{log-Gesetze}\\[2mm] \ln{\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)}&=-\lambda\cdot t\cdot\underbrace{\ln(\e)}_{=1} \\[2mm] \ln{\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)}&=-\lambda\cdot t &&\mid:(-\lambda)\\[2mm] \frac{\ln{\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)}}{-\lambda}&=t \end{aligned}

\begin{aligned} N(t)&=N_0\cdot\e^{-\lambda\cdot t} \qquad&&\mid~:N_0\\[2mm] \frac{N(t)}{N_0}&=\e^{-\lambda\cdot t} &&\mid\col[1]{\ln(\square)}\\[2mm] \col[1]{\ln\left(\col[0]{\frac{N(t)}{N_0}}\right)}&=\col[1]{\ln(\col[0]{\e^{-\lambda\cdot {t}}})} &&\mid\textsf{log-Gesetze}\\[2mm] \ln{\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)}&=-\lambda\cdot t\cdot\underbrace{\ln(\e)}_{=1} \\[2mm] \ln{\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)}&=-\lambda\cdot t &&\mid:(-\lambda)\\[2mm] \frac{\ln{\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)}}{-\lambda}&=t \end{aligned}

Beispiel Logarithmus

Rückumformung der eben umgeformten Zerfallsgleichung nach N(t) $N(t)$ .

\begin{aligned} \frac{\ln{\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)}}{-\lambda}&=t\qquad\quad\qquad&&\mid\cdot(-\lambda)\\[2mm] \ln{\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)}&=-\lambda\cdot t&&\mid\col[1]{\e^{\square}}\\[2mm] \col[1]{\e^{\col[0]{\ln{\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)}}}}&=\col[1]{\e^{\col[0]{-\lambda\cdot{t}}}}&&\mid\textsf{Potenzgesetze}\\[2mm] \frac{N(t)}{N_0}&=\e^{-\lambda\cdot{t}}&&\mid\cdot N_0\\[2mm] N(t)&=N_0\cdot\e^{-\lambda\cdot t} \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{\ln{\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)}}{-\lambda}&=t\qquad\quad\qquad&&\mid\cdot(-\lambda)\\[2mm] \ln{\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)}&=-\lambda\cdot t&&\mid\col[1]{\e^{\square}}\\[2mm] \col[1]{\e^{\col[0]{\ln{\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)}}}}&=\col[1]{\e^{\col[0]{-\lambda\cdot{t}}}}&&\mid\textsf{Potenzgesetze}\\[2mm] \frac{N(t)}{N_0}&=\e^{-\lambda\cdot{t}}&&\mid\cdot N_0\\[2mm] N(t)&=N_0\cdot\e^{-\lambda\cdot t} \end{aligned}

Kombination von Rechenoperationen

Bei vielen Formeln musst du zur Freistellung der gesuchten Variablen mehrere Gegenoperationen anwenden.

Vereinfache dabei zunächst so weit wie möglich, indem du beispielsweise ausklammerst oder kürzt.

Löse anschließend bei den Äquivalenzumformungen zuerst schwache Verbindungen (+/-) $(+/-)$ und danach starke Verbindungen (\cdot/:) $(\cdot/:)$ .

Beachtest du das, dann kannst du problemlos auch augenscheinlich komplizierte Formeln umstellen.

Schwieriges Beispiel

Umformung der Zinseszinsformel nach der Anzahl der Anlageperioden n $n$ .

Bewege den Slider.

Schritt

Superschwieriges Beispiel

Umstellung der Hagen-Poiseuille-Formel zur Angabe der Durchflussrate eines Fluids durch eine Röhre nach l. $l.$

\begin{aligned} d &= \frac{c \pi l^3}{8} \cdot \left(\frac{x}{l}\right)^2 \cdot \left(3 - \frac{x}{l}\right) \qquad&&\mid\textsf{erste Klammer auflösen} \\[2mm] d &= \frac{c \pi {l^{\cancel3}}^1}{8} \cdot \frac{x^2}{\cancel{l^2}} \cdot \left(3 - \frac{x}{l}\right) \qquad&&\mid\textsf{kürzen} \\[2mm] d&=\frac{c\pi l x^2}{8}\cdot\left(3 - \frac{x}{l}\right) &&\mid\textsf{zweite Klammer ausmultiplizieren}\\[2mm] d&=\frac{c\pi l x^2}{8}\cdot3-\frac{c\pi \cancel{l} x^2}{8}\cdot\frac{x}{\cancel{l}}&&\mid\textsf{kürzen}\\[2mm] d&=\frac{3c\pi l x^2}{8}-\frac{c\pi x^3}{8} &&\mid+\frac{c\pi x^3}{8} \\[2mm] d+\frac{c\pi x^3}{8} &=\frac{3c\pi l x^2}{8} &&\mid\cdot8\\[2mm] \left(d+\frac{c\pi x^3}{8}\right)\cdot8&=\frac{\cancel{8}\cdot3c\pi l x^2}{\cancel8} \\[2mm] 8d+\frac{\cancel{8}c\pi x^3}{\cancel{8}}&=3c\pi l x^2 &&\mid:(3c\pi x^2)\\[2mm] \frac{8d+c\pi x^3}{3c\pi x^2}&=l \end{aligned}

\begin{aligned} d &= \frac{c \pi l^3}{8} \cdot \left(\frac{x}{l}\right)^2 \cdot \left(3 - \frac{x}{l}\right) \qquad&&\mid\textsf{erste Klammer auflösen} \\[2mm] d &= \frac{c \pi {l^{\cancel3}}^1}{8} \cdot \frac{x^2}{\cancel{l^2}} \cdot \left(3 - \frac{x}{l}\right) \qquad&&\mid\textsf{kürzen} \\[2mm] d&=\frac{c\pi l x^2}{8}\cdot\left(3 - \frac{x}{l}\right) &&\mid\textsf{zweite Klammer ausmultiplizieren}\\[2mm] d&=\frac{c\pi l x^2}{8}\cdot3-\frac{c\pi \cancel{l} x^2}{8}\cdot\frac{x}{\cancel{l}}&&\mid\textsf{kürzen}\\[2mm] d&=\frac{3c\pi l x^2}{8}-\frac{c\pi x^3}{8} &&\mid+\frac{c\pi x^3}{8} \\[2mm] d+\frac{c\pi x^3}{8} &=\frac{3c\pi l x^2}{8} &&\mid\cdot8\\[2mm] \left(d+\frac{c\pi x^3}{8}\right)\cdot8&=\frac{\cancel{8}\cdot3c\pi l x^2}{\cancel8} \\[2mm] 8d+\frac{\cancel{8}c\pi x^3}{\cancel{8}}&=3c\pi l x^2 &&\mid:(3c\pi x^2)\\[2mm] \frac{8d+c\pi x^3}{3c\pi x^2}&=l \end{aligned}

Formeln umstellen Beispiel

Einfaches Beispiel mit Zahlen

Aufgabe

Die Kraft beträgt F=20~\text{N} $F=20~\text{N}$ , die Masse m=10\text{ kg} $m=10\text{ kg}$ . Berechne die Beschleunigung a $a$ mithilfe der Kraftformel F=m\cdot a $F=m\cdot a$ .

Lösung

Gehe in den drei Schritten vor:

\fcolorbox{white}{grey}{1.} $\fcolorbox{white}{grey}{1.}$ Formel hinschreiben

F=m\cdot a

F=m\cdot a

\fcolorbox{white}{grey}{2.} $\fcolorbox{white}{grey}{2.}$ Formel umstellen

Stelle die Formel so um, dass a $a$ auf einer Seite alleine steht.

\begin{aligned} F&=m\cdot a\qquad\mid~:m\\[2mm] \frac{F}{m}&=a \end{aligned}

\begin{aligned} F&=m\cdot a\qquad\mid~:m\\[2mm] \frac{F}{m}&=a \end{aligned}

\fcolorbox{white}{grey}{3.} ~ $\fcolorbox{white}{grey}{3.} ~$ Werte einsetzen

\begin{aligned} \frac{20\text{ N}}{10\text{ kg}}&=a\\[2mm] 2~\frac{\text{N}}{\text{kg}}&=a \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{20\text{ N}}{10\text{ kg}}&=a\\[2mm] 2~\frac{\text{N}}{\text{kg}}&=a \end{aligned}

Die Einheit für die Beschleunigung ist \frac{\text{m}}{\text{s}^2} $\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ .

Es gilt 1\text{ N}=1~\text{kg}\cdot\frac{\text{m}}{\text{s}^2}. $1\text{ N}=1~\text{kg}\cdot\frac{\text{m}}{\text{s}^2}.$

Das setzt du für \text{N} $\text{N}$ ein.

\begin{aligned} 2~\frac{\cancel{\text{kg}}\cdot\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{\cancel{\text{kg}}}&=a\\[2mm] \lsg{2~\frac{\text{m}}{{s}^2}}&=a \end{aligned}

\begin{aligned} 2~\frac{\cancel{\text{kg}}\cdot\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{\cancel{\text{kg}}}&=a\\[2mm] \lsg{2~\frac{\text{m}}{{s}^2}}&=a \end{aligned}

Schwierigeres Beispiel nur umstellen

Aufgabe

Stelle folgende Formel der Diagonalen des Rechtecks nach der Seitenlänge a $a$ um.

d=\sqrt{a^2+b^2}

d=\sqrt{a^2+b^2}

Lösung

Denke an die Gegenoperationen.

\begin{aligned} d&=\sqrt{a^2+b^2}\qquad&&\mid\square^2\\[2mm] d^2&=a^2+b^2&&\mid-b^2\\[2mm] d^2-b^2&=a^2&&\mid\sqrt{\square}\\[2mm] \sqrt{d^2-b^2}&=a \end{aligned}

\begin{aligned} d&=\sqrt{a^2+b^2}\qquad&&\mid\square^2\\[2mm] d^2&=a^2+b^2&&\mid-b^2\\[2mm] d^2-b^2&=a^2&&\mid\sqrt{\square}\\[2mm] \sqrt{d^2-b^2}&=a \end{aligned}

Zusammenfassung Formeln umstellen

Formeln stellst du durch Äquivalenzumformungen um. Das heißt, du rechnest auf beiden Seiten der Gleichung immer dasselbe.

Eine Größe stellst du durch Verwendung der Gegenoperation frei.

Operation	Gegenoperation
Addition (+) $(+)$	Subtraktion (-) $(-)$
Multiplikation (\cdot) $(\cdot)$	Division (:) $(:)$
Quadratwurzel (\sqrt{\square}) $(\sqrt{\square})$ Wurzel (\sqrt[n]{\square}) $(\sqrt[n]{\square})$	Quadrat (\square^2) $(\square^2)$ Potenz (\square^n) $(\square^n)$ Achte auf Scheinlösungen bei geraden Potenzen!
Eulersche Zahl als Basis (\e^{\square}) $\e^{\square})$ Zahl als Basis (b^\square) $(b^\square)$	Natürlicher Logarithmus (\ln(\square)) $(\ln(\square))$ Logarithmus (\log_b(\square)) $(\log_b(\square))$

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