Quadratische Funktion strecken, stauchen & spiegeln

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Quadratische Funktion strecken, stauchen & spiegeln

Eine quadratische Funktion ist allgemein durch folgende Form gegeben:

f(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c

Wenn du den Parameter a veränderst, kannst du den Funktionsgraphen strecken oder stauchen.

Wenn du die Vorzeichen von f(x) und/oder x änderst, kannst du die Funktion auf verschiedene Arten spiegeln.

Strecken und Stauchen

Alle Veränderungen lassen sich anhand des Parameters a beschreiben.

a>1a>1a>1

Parabel ist nach oben geöffnet und gestreckt gegenüber der Normalparabel

a=1a=1a=1

Parabel ist die nach oben geöffnete Normalparabel

0<a<10<a<10<a<1

Parabel ist nach oben geöffnet und gestaucht gegenüber der Normalparabel

-1<a<0−1<a<0-1<a<0

Parabel ist nach unten geöffnet und gestaucht gegenüber der Normalparabel

a=-1a=−1a=-1

Parabel ist die nach unten geöffnete Normalparabel

a<-1a<−1a<-1

Parabel ist nach unten geöffnet und gestreckt gegenüber der Normalparabel

Die Normalparabel hat die Form

f(x)=x^2f(x)=x2f(x)=x^2

Gestreckt (gegenüber der Normalparabel) bedeutet mathematisch, dass |a|>1 und anschaulich, dass der Graph schmaler wird.

Gestaucht (gegenüber der Normalparabel) bedeutet mathematisch, dass |a|<1 und anschaulich, dass der Graph breiter wird.

Spiegeln

Spiegeln an der x-Achse

Um eine Funktion f(x) an der x-Achse zu spiegeln, setzt du sie in folgende Gleichung ein:

g(x)=-f(x)g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)

Spiegeln an der y-Achse

Um eine Funktion f(x) an der y-Achse zu spiegeln, setzt du sie in folgende Gleichung ein:

g(x)=f(-x)g(x)=f(−x)g(x)=f(-x)

Spiegeln am Koordinatenursprung

Um eine Funktion f(x) am Koordinatenursprung zu spiegeln, setzt du sie in folgende Gleichung ein:

g(x)=-f(-x)g(x)=−f(−x)g(x)=-f(-x)

Beispiel

Du hast eine Funktion f wie folgt gegeben:

f(x)=2x^2-4x+1f(x)=2x2−4x+1f(x)=2x^2-4x+1

Diese Funktion ist nach oben geöffnet und gestreckt, da a=2>1 gilt.

Spiegeln an der x-Achse

\implies g_1(x)=-f(x)=-2x^2+4x-1⟹g1(x)=−f(x)=−2x2+4x−1\implies g_1(x)=-f(x)=-2x^2+4x-1
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Spiegeln an der y-Achse

\implies g_2(x)=f(-x)=2(-x)^2-4(-x)+1 \\ \Leftrightarrow g_2(x)=2x^2+4x+1⟹g2(x)=f(−x)=2(−x)2−4(−x)+1⇔g2(x)=2x2+4x+1\implies g_2(x)=f(-x)=2(-x)^2-4(-x)+1 \\ \Leftrightarrow g_2(x)=2x^2+4x+1
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Spiegeln am Koordinatenursprung

\implies g_3(x)=-f(-x)=-(2(-x)^2-4(-x)+1) \\ \Leftrightarrow g_3(x)=-2x^2-4x-1⟹g3(x)=−f(−x)=−(2(−x)2−4(−x)+1)⇔g3(x)=−2x2−4x−1\implies g_3(x)=-f(-x)=-(2(-x)^2-4(-x)+1) \\ \Leftrightarrow g_3(x)=-2x^2-4x-1
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