Abstand Punkt von Ebene über Hessesche Normalenform

Du beschäftigst dich im Matheunterricht gerade mit dem Thema Vektorgeometrie und sollst den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene berechnen?

Hierfür kannst du die Hessesche Normalenform verwenden.

Was das ist und wie du die Hessesche Normalenform nutzt, zeigt dir simpleclub!


Abstand von Punkt zu Ebene durch Hessesche Normalenform einfach erklärt

Abstand von Punkt zu Ebene durch Hessesche Normalenform Definition

Für den Abstand zwischen Punkt und Ebene kannst du die Hessesche Normalenform verwenden.

d=\left|\frac{ax+by+cz+d}{|\vec{n}|}\right|d=ax+by+cz+dnd=\left|\frac{ax+by+cz+d}{|\vec{n}|}\right|

Vorgehensweise Abstand von Punkt zu Ebene durch Hessesche Normalenform

Auf der Grafik siehst du wie der Abstand durch den Normalenvektor zur Ebene bestimmt werden kann.

Schritt 1: Ebene in Koordinatenform

Zuerst musst du die Ebenengleichung in Koordinatenform umstellen, falls das nicht bereits der Fall ist.

Schritt 2: Normalenvektor \large \vec{n}n\large \vec{n}

Anschließend kannst du den Normalenvektor \vec{n}n\vec{n} ablesen, indem du bei der Koordinatenform die Faktoren vor den x, y, zx,y,zx, y, z abliest.

Schritt 3: Ebenengleichung umstellen

Du musst die Koordinatengleichung der Ebene so umstellen, dass "...=0""...=0""...=0" da steht.

E: ax+by+cz+d=0E:ax+by+cz+d=0E: ax+by+cz+d=0

Schritt 4: Abstand berechnen

Zum Schluss musst du nur noch den Punkt und die Ebene in die Hesse'sche Normalenform einsetzen und Abstand berechnen.

d=\left|\frac{E}{|\vec{n}|}\right|d=End=\left|\frac{E}{|\vec{n}|}\right|

Abstand von Punkt zu Ebene durch Hessesche Normalenform Beispiele

Ebene in Koordinatenform

Berechne den Abstand zwischen der Ebene E und dem Punkt P!

E:~3x-2y+4z=10E:3x2y+4z=10E:~3x-2y+4z=10P~(2|3|1)P(231)P~(2|3|1)

Schritt 1: Ebene in Koordinatenform

Zuerst musst du die Ebenengleichung in Koordinatenform umstellen, falls das nicht bereits der Fall ist.

Schritt 2: Normalenvektor \large \vec{n}n\large \vec{n}

Anschließend kannst du den Normalenvektor \vec{n}n\vec{n} ablesen, indem du bei der Koordinatenform die Faktoren vor den x, y, zx,y,zx, y, z abliest.

\vec{n}=\begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ 4\end{pmatrix}n=(324)\vec{n}=\begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ 4\end{pmatrix}

Schritt 3: Ebenengleichung umstellen

Du musst die Koordinatengleichung der Ebene so umstellen, dass "...=0""...=0""...=0" da steht.

E: 3x-2y+4z-10=0E:3x2y+4z10=0E: 3x-2y+4z-10=0

Schritt 4: Abstand berechnen

Zum Schluss musst du nur noch den Punkt und die Ebene in die Hesse'sche Normalenform einsetzen und Abstand berechnen.

d(P;E)=\left|\frac{3\cdot2-2\cdot3+4-10}{\left|\begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\right|}\right|d(P;E)=3223+410(324)d(P;E)=\left|\frac{3\cdot2-2\cdot3+4-10}{\left|\begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\right|}\right|= \left|\frac{-6}{\sqrt{29}}\right|=629= \left|\frac{-6}{\sqrt{29}}\right|\approx\underline{\underline{\text{1,1142 LE}}}1,1142 LE\approx\underline{\underline{\text{1,1142 LE}}}\\\\

Ebene in Parameterform

Berechne den Abstand zwischen der Ebene E und dem Punkt P!

E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}E:x=(101)+r(312)+s(211)E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}P~(2|1|-1)P(211)P~(2|1|-1)

Schritt 1: Ebene in Koordinatenform

Zuerst musst du die Ebenengleichung in Koordinatenform umstellen, falls das nicht bereits der Fall ist.

Hier ist die Ebene leider in Parameterform gegeben, sodass du noch umschreiben musst.

Dafür braucht du zunächst den Normalenvektor \vec{n}n\vec{n}. Den kannst du einfach über das Kreuzproduk der beiden Spannvektoren berechnen:

\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ (-1) \end{pmatrix}u×v=(312)×(21(1))\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ (-1) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\cdot (-1) - 2\cdot 1 \\ 2\cdot 2 - 3\cdot (-1) \\ 3\cdot 1 - 1\cdot 2 \end{pmatrix}=(1(1)21223(1)3112)= \begin{pmatrix} 1\cdot (-1) - 2\cdot 1 \\ 2\cdot 2 - 3\cdot (-1) \\ 3\cdot 1 - 1\cdot 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}=(371)= \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}=\vec{n}=n=\vec{n}\implies E:~\begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right)=0E:(371)(x(101))=0\implies E:~\begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right)=0

Multiplizierst du die Normalenform nun aus, erhältst du die gewünschte Koordinatenform:

\implies E:~-3x+7y+z=-2E:3x+7y+z=2\implies E:~-3x+7y+z=-2

Schritt 2: Normalenvektor \large \vec{n}n\large \vec{n}

Anschließend kannst du den Normalenvektor \vec{n}n\vec{n} ablesen, indem du bei der Koordinatenform die Faktoren vor den x, y, zx,y,zx, y, z abliest.

\vec{n}=\begin{pmatrix}-3 \\ 7 \\ 1\end{pmatrix}n=(371)\vec{n}=\begin{pmatrix}-3 \\ 7 \\ 1\end{pmatrix}

Schritt 3: Ebenengleichung umstellen

Du musst die Koordinatengleichung der Ebene so umstellen, dass "...=0""...=0""...=0" da steht.

E: -3x+7y+z+2=0E:3x+7y+z+2=0E: -3x+7y+z+2=0

Schritt 4: Abstand berechnen

Zum Schluss musst du nur noch den Punkt und die Ebene in die Hesse'sche Normalenform einsetzen und Abstand berechnen.

\begin{aligned} d&=\left|\frac{E}{|\vec{n}|}\right| =\left|\frac{-3\cdot2+7-1+2}{\left|\begin{pmatrix}-3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}\right|}\right| \\[2mm] &=\frac{2}{\sqrt{59}} \\ & \approx\underline{\underline{0,2604 \text{ LE}}} \end{aligned}d=En=32+71+2(371)=2590,2604 LE\begin{aligned} d&=\left|\frac{E}{|\vec{n}|}\right| =\left|\frac{-3\cdot2+7-1+2}{\left|\begin{pmatrix}-3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}\right|}\right| \\[2mm] &=\frac{2}{\sqrt{59}} \\ & \approx\underline{\underline{0,2604 \text{ LE}}} \end{aligned}
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