Du hast vier Punkte in einer Ebene gegeben, die ein Quadrat bilden. Um das nachzuweisen, musst du nur zeigen, dass alle Seiten gleichlang sind und zwei angrenzende Kantenvektoren einen 90°-Winkel einschließen.

Schritt 1: Kantenvektoren bilden.

Die Kantenvektoren sind die Vektoren der Seiten.

Schritt 2: Beträge bzw. Länge der Vektoren berechnen und auf Gleichheit prüfen.

Sind alle Beträge gleich, kannst du mit Schritt 3 fortfahren.

Schritt 3: Skalarprodukt zwischen zwei angrenzenden Kantenvektoren bilden und auf Orthogonalität prüfen.

Ist das Skalarprodukt 0, stehen die Vektoren orthogonal zueinander und schließen damit einen 90°-Winkel ein.

Trifft das zu, handelt es sich um ein Quadrat.

Besonderheit

Jedes Quadrat ist auch eine Raute, ein Rechteck, ein Parallelogramm und ein Trapez.

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Beispiel

Die Punkte A, B, C und D liegen in einer Ebene. Weise nach, dass sie ein Quadrat bilden.

A~(-1|3|-2), B~(2|3|1), C~(3|-1|0), D~(0|-1|-3)

A~(-1|3|-2), B~(2|3|1), C~(3|-1|0), D~(0|-1|-3)

Schritt 1: Kantenvektoren bilden.

\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-(-1) \\ 3-3 \\ 1-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}

\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-(-1) \\ 3-3 \\ 1-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}

\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3-2 \\ -1-3 \\ 0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}

\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3-2 \\ -1-3 \\ 0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}

\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 0-3 \\ -1-(-1) \\ -3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}

\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 0-3 \\ -1-(-1) \\ -3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}

\overrightarrow{DA} = \begin{pmatrix} -1-0 \\ 3-(-1) \\ -2-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}

\overrightarrow{DA} = \begin{pmatrix} -1-0 \\ 3-(-1) \\ -2-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}

Schritt 2: Beträge bzw. Länge der Vektoren berechnen und auf Gleichheit prüfen.

\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(3)^2+(0)^2+(3)^2}

\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(3)^2+(0)^2+(3)^2}

=\sqrt{9+0+9}=\underline{\underline{\sqrt{18}\textit{ LE}}}

=\sqrt{9+0+9}=\underline{\underline{\sqrt{18}\textit{ LE}}}

\left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(1)^2+(-4)^2+(-1)^2}

\left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(1)^2+(-4)^2+(-1)^2}

=\sqrt{1+16+1}=\underline{\underline{\sqrt{18}\textit{ LE}}}

=\sqrt{1+16+1}=\underline{\underline{\sqrt{18}\textit{ LE}}}

\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-3)^2+(0)^2+(-3)^2}

\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-3)^2+(0)^2+(-3)^2}

=\sqrt{9+0+9}=\underline{\underline{\sqrt{18}\textit{ LE}}}

=\sqrt{9+0+9}=\underline{\underline{\sqrt{18}\textit{ LE}}}

\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1)^2+(4)^2+(1)^2}

\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1)^2+(4)^2+(1)^2}

=\sqrt{1+16+1}=\underline{\underline{\sqrt{18}\textit{ LE}}}

=\sqrt{1+16+1}=\underline{\underline{\sqrt{18}\textit{ LE}}}

Alle Beträge sind gleich. Damit sind alle Seiten des Vierecks gleichlang.

Schritt 3: Skalarprodukt zwischen zwei angrenzenden Kantenvektoren bilden und auf Orthogonalität prüfen.

Es ist egal, welche angrenzenden Kantenvektoren du auswählst.

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} = 3\cdot1+0\cdot(-4)+3\cdot(-1)=3-3 = 0

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} = 3\cdot1+0\cdot(-4)+3\cdot(-1)=3-3 = 0

Da das Skalarprodukt 0 ist, stehen die Vektoren orthogonal zueinander und schließen damit einen 90°-Winkel ein.

Demzufolge handelt es sich beim Viereck ABCD um ein Quadrat.

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