Quadrate nachweisen im Raum

Ein Quadrat zeichnet sich durch folgende Eigenschaften aus:

  • Alle Seiten gleichlang
  • Alle Winkel 90°
  • Alle gegenüberliegenden Seiten parallel

Nachweis

Du hast vier Punkte in einer Ebene gegeben, die ein Quadrat bilden. Um das nachzuweisen, musst du nur zeigen, dass alle Seiten gleichlang sind und zwei angrenzende Kantenvektoren einen 90°-Winkel einschließen.

Schritt 1: Kantenvektoren bilden.

Die Kantenvektoren sind die Vektoren der Seiten.

Schritt 2: Beträge bzw. Länge der Vektoren berechnen und auf Gleichheit prüfen.

Sind alle Beträge gleich, kannst du mit Schritt 3 fortfahren.

Schritt 3: Skalarprodukt zwischen zwei angrenzenden Kantenvektoren bilden und auf Orthogonalität prüfen.

Ist das Skalarprodukt 0, stehen die Vektoren orthogonal zueinander und schließen damit einen 90°-Winkel ein.

Trifft das zu, handelt es sich um ein Quadrat.

Besonderheit

Jedes Quadrat ist auch eine Raute, ein Rechteck, ein Parallelogramm und ein Trapez.


Beispiel

Die Punkte A, B, C und D liegen in einer Ebene. Weise nach, dass sie ein Quadrat bilden.

A~(-1|3|-2), B~(2|3|1), C~(3|-1|0), D~(0|-1|-3)A(132),B(231),C(310),D(013)A~(-1|3|-2), B~(2|3|1), C~(3|-1|0), D~(0|-1|-3)

Schritt 1: Kantenvektoren bilden.

\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-(-1) \\ 3-3 \\ 1-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}AB=(2(1)331(2))=(303)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-(-1) \\ 3-3 \\ 1-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3-2 \\ -1-3 \\ 0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}BC=(321301)=(141)\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3-2 \\ -1-3 \\ 0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 0-3 \\ -1-(-1) \\ -3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}CD=(031(1)30)=(303)\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 0-3 \\ -1-(-1) \\ -3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\overrightarrow{DA} = \begin{pmatrix} -1-0 \\ 3-(-1) \\ -2-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}DA=(103(1)2(3))=(141)\overrightarrow{DA} = \begin{pmatrix} -1-0 \\ 3-(-1) \\ -2-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}

Schritt 2: Beträge bzw. Länge der Vektoren berechnen und auf Gleichheit prüfen.

\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(3)^2+(0)^2+(3)^2}AB=(303)=(3)2+(0)2+(3)2\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(3)^2+(0)^2+(3)^2}=\sqrt{9+0+9}=\underline{\underline{\sqrt{18}\textit{ LE}}}=9+0+9=18LE=\sqrt{9+0+9}=\underline{\underline{\sqrt{18}\textit{ LE}}}\left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(1)^2+(-4)^2+(-1)^2}BC=(141)=(1)2+(4)2+(1)2\left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(1)^2+(-4)^2+(-1)^2}=\sqrt{1+16+1}=\underline{\underline{\sqrt{18}\textit{ LE}}}=1+16+1=18LE=\sqrt{1+16+1}=\underline{\underline{\sqrt{18}\textit{ LE}}}\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-3)^2+(0)^2+(-3)^2}CD=(303)=(3)2+(0)2+(3)2\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-3)^2+(0)^2+(-3)^2}=\sqrt{9+0+9}=\underline{\underline{\sqrt{18}\textit{ LE}}}=9+0+9=18LE=\sqrt{9+0+9}=\underline{\underline{\sqrt{18}\textit{ LE}}}\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1)^2+(4)^2+(1)^2}DA=(141)=(1)2+(4)2+(1)2\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1)^2+(4)^2+(1)^2}=\sqrt{1+16+1}=\underline{\underline{\sqrt{18}\textit{ LE}}}=1+16+1=18LE=\sqrt{1+16+1}=\underline{\underline{\sqrt{18}\textit{ LE}}}

Alle Beträge sind gleich. Damit sind alle Seiten des Vierecks gleichlang.

Schritt 3: Skalarprodukt zwischen zwei angrenzenden Kantenvektoren bilden und auf Orthogonalität prüfen.

Es ist egal, welche angrenzenden Kantenvektoren du auswählst.

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} = 3\cdot1+0\cdot(-4)+3\cdot(-1)=3-3 = 0ABBC=(303)(141)=31+0(4)+3(1)=33=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} = 3\cdot1+0\cdot(-4)+3\cdot(-1)=3-3 = 0

Da das Skalarprodukt 0 ist, stehen die Vektoren orthogonal zueinander und schließen damit einen 90°-Winkel ein.

Demzufolge handelt es sich beim Viereck ABCD um ein Quadrat.

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