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Steigungswinkel

Der Steigungswinkel \large \col[1]{\alpha} $\large \col[1]{\alpha}$ an einer bestimmten Stelle \col[1]{x_0} $\col[1]{x_0}$ ist der Winkel, den die Tangente t(x) $t(x)$ und die x $x$ -Achse einschließen.

Vorgehensweise

Möchtest du den Steigungswinkel an der Stelle \col[1]{x_0} $\col[1]{x_0}$ berechnen, so berechnest du zunächst die Steigung an dieser Stelle.

Schritt 1: Steigung \large \col[3]{m} $\large \col[3]{m}$ bestimmen

Zunächst bestimmst du von der Funktion f(x) $f(x)$ die 1. Ableitung f'(x) $f'(x)$ .

Danach bestimmst du die Steigung \col[3]{m} $\col[3]{m}$ , indem du die Stelle \col[1]{x_0} $\col[1]{x_0}$ in f'(x) $f'(x)$ einsetzt.

Du erhältst:

f'(\col[1]{x_0}) = \col[3]{m}

f'(\col[1]{x_0}) = \col[3]{m}

Sonderfall: Steigungswinkel einer Geraden

Der Steigungswinkel \large \col[1]{\alpha} $\large \col[1]{\alpha}$ einer Geraden f(x) $f(x)$ ist der Winkel, den die Gerade und die x $x$ -Achse einschließen.

Da die Steigung einer Geraden überall gleich ist, ist auch der Steigungswinkel für eine Gerade an jeder x $x$ -Stelle gleich.

Das kannst du in der Animation sehen.

Steigungsdreieck bewegen

Möchtest du die Steigung \col[3]{m} $\col[3]{m}$ bestimmen, brauchst du nicht extra die 1. Ableitung bestimmen. Stattdessen kannst du die die Steigung \col[3]{m} $\col[3]{m}$ direkt an der Funktionsgleichung

f(x) = \col[3]{m} \cdot x + b

f(x) = \col[3]{m} \cdot x + b

ablesen.

Schritt 2: Steigungswinkel \large \col[1]{\alpha} $\large \col[1]{\alpha}$ berechnen

In diesem Schritt bestimmst du den Steigungswinkel \col[1]{\alpha} $\col[1]{\alpha}$ .

Je nachdem, ob die Steigung positiv oder negativ ist, verwendest du folgende Formeln:

Positive Steigung

Ist die Steigung positiv, so kannst du den Steigungswinkel wie folgt herleiten.

Stelle hierzu das Steigungsdreieck auf:

An eine Gerade ist ein Steigungsdreieck gezeichnet. Die Seite parallel zur y-Achse wird mit Delta y bezeichnet und die Seite paralell zur x-Achse mit Delta x.

\begin{aligned} \tan (\col[1]{\alpha}) &= \frac{\textsf{Gegenkathete}}{\textsf{Ankathete}} \\[1mm] &= \frac{\triangle y}{\triangle x} \\[1mm] &= \col[3]{m} \end{aligned}

\begin{aligned} \tan (\col[1]{\alpha}) &= \frac{\textsf{Gegenkathete}}{\textsf{Ankathete}} \\[1mm] &= \frac{\triangle y}{\triangle x} \\[1mm] &= \col[3]{m} \end{aligned}

\begin{aligned} & \tan (\col[1]{\alpha}) = \col[3]{m} \\ & \implies \col[1]{\alpha} = \arctan (\col[3]{m}) \end{aligned}

\begin{aligned} & \tan (\col[1]{\alpha}) = \col[3]{m} \\ & \implies \col[1]{\alpha} = \arctan (\col[3]{m}) \end{aligned}

Negative Steigung

Für eine negative Steigung folgt:

\begin{aligned} \tan (\col[1]{\alpha}) &= \frac{\textsf{Gegenkathete}}{\textsf{Ankathete}} \\[1mm] &= \frac{\triangle y}{\triangle x} \\[1mm] &= \col[3]{m} \end{aligned}

\begin{aligned} \tan (\col[1]{\alpha}) &= \frac{\textsf{Gegenkathete}}{\textsf{Ankathete}} \\[1mm] &= \frac{\triangle y}{\triangle x} \\[1mm] &= \col[3]{m} \end{aligned}

Zu sehen ist, dass der Winkel des Steigungsdreiecks nun auf der anderen Seite liegt. Darum ist noch der Nebenwinkel zur x-Achse markiert.

In der Abbildung erkennst du, dass der Steigungswinkel nun auf der falschen Seite der Gerade ist. Daher musst du nun noch 180° $180°$ hinzuaddieren.

\begin{aligned} & \tan (\col[1]{\alpha'}) = \col[3]{m} \\ & \implies \col[1]{\alpha'} = \arctan (\col[3]{m}) \\ & \implies \col[1]{\alpha} = \col[1]{\alpha'} + 180° \end{aligned}

\begin{aligned} & \tan (\col[1]{\alpha'}) = \col[3]{m} \\ & \implies \col[1]{\alpha'} = \arctan (\col[3]{m}) \\ & \implies \col[1]{\alpha} = \col[1]{\alpha'} + 180° \end{aligned}

Beispiele

Steigungswinkel an einer Stelle \large \col[1]{x_0} $\large \col[1]{x_0}$ bestimmen

Aufgabenstellung

Berechne den Steigungswinkel der Funktion

f(x)= x^3 +1

f(x)= x^3 +1

an der Stelle \col[2]{x_0 = 1} $\col[2]{x_0 = 1}$ .

Lösung

Um den Steigungswinkel zu bestimmen, kannst du schrittweise vorgehen:

Schritt 1: Ableitung f'(x) $f'(x)$

Bestimme zunächst die 1. Ableitung von f (x) $f (x)$ .

\begin{aligned} f (x) &= x^3+1 \\ f'(x) &= 3x^2 \end{aligned}

\begin{aligned} f (x) &= x^3+1 \\ f'(x) &= 3x^2 \end{aligned}

Schritt 2: Steigung \large \col[3]{m} $\large \col[3]{m}$

Als nächstes setzt du die Stelle \col[2]{x_0 = 1} $\col[2]{x_0 = 1}$ in die 1. Ableitung

f'(x) = 3x^2

f'(x) = 3x^2

ein.

Den Wert, den du erhältst, ist die Steigung \col[3]{m} $\col[3]{m}$ an der Stelle \col[2]{x_0 = 1} $\col[2]{x_0 = 1}$ .

\begin{aligned} f' (\col[2]{x_0}) = f' (\col[2]{1}) &= 3 \cdot \col[2]{x_0}^2 \\ &= 3 \cdot \col[2]{1}^2 \\ &= \col[3]{3} \end{aligned}

\begin{aligned} f' (\col[2]{x_0}) = f' (\col[2]{1}) &= 3 \cdot \col[2]{x_0}^2 \\ &= 3 \cdot \col[2]{1}^2 \\ &= \col[3]{3} \end{aligned}

Du erhältst:

\col[3]{m = 3}

\col[3]{m = 3}

Schritt 3: Steigungswinkel \large \col[1]{\alpha} $\large \col[1]{\alpha}$

Setze nun die Steigung \col[3]{m = 3} $\col[3]{m = 3}$ in die Gleichung

\tan(\col[1]{\alpha}) = \col[3]{m}

\tan(\col[1]{\alpha}) = \col[3]{m}

ein und forme nach \col[1]{\alpha} $\col[1]{\alpha}$ um:

\begin{aligned} \tan(\col[1]{\alpha}) &= \col[3]{3} & \quad | \arctan(\square) \\ \col[1]{\alpha} &= \arctan(\col[3]{3}) \\ &\approx \col[1]{71,6\degree} \end{aligned}

\begin{aligned} \tan(\col[1]{\alpha}) &= \col[3]{3} & \quad | \arctan(\square) \\ \col[1]{\alpha} &= \arctan(\col[3]{3}) \\ &\approx \col[1]{71,6\degree} \end{aligned}

Bemerke: Bei Taschenrechnern steht anstelle von \arctan $\arctan$ meistens \tan^{-1} $\tan^{-1}$ . Du erhältst bei beidem das gleiche Ergebnis.

Du erhältst:

\implies \lsg{\col[1]{\alpha \approx 71,6\degree}}

\implies \lsg{\col[1]{\alpha \approx 71,6\degree}}

Steigungswinkel einer Geraden (Positive Steigung)

Aufgabenstellung

Berechne den Steigungswinkel \col[1]{\alpha} $\col[1]{\alpha}$ der Geraden

f (x) = 5 \cdot x + 3

f (x) = 5 \cdot x + 3

Lösung

\begin{aligned} f(x) &= 5 \cdot x + 3 \\ f'(x) &= 5 \end{aligned}

\begin{aligned} f(x) &= 5 \cdot x + 3 \\ f'(x) &= 5 \end{aligned}

Schritt 1: Steigung \large \col[3]{m} $\large \col[3]{m}$

Zunächst bestimmst du die Steigung \col[3]{m} $\col[3]{m}$ der Geraden f(x) $f(x)$ .

Die Steigung kannst du direkt von der Funktionsgleichung ablesen:

f(x) = \col[3]{5} \cdot x + 3

f(x) = \col[3]{5} \cdot x + 3

Du erhältst:

\col[3]{m = 5}

\col[3]{m = 5}

Schritt 2: Steigungswinkel \large \col[1]{\alpha} $\large \col[1]{\alpha}$

Setze nun die Steigung \col[3]{m = 5} $\col[3]{m = 5}$ in die Gleichung

\tan(\col[1]{\alpha}) = \col[3]{m}

\tan(\col[1]{\alpha}) = \col[3]{m}

ein und forme nach \col[1]{\alpha} $\col[1]{\alpha}$ um:

\begin{aligned} \tan(\col[1]{\alpha}) &= \col[3]{5} & \quad | \arctan(\square) \\ \col[1]{\alpha} &= \arctan(\col[3]{5}) \\ &\approx \col[1]{78,7\degree} \end{aligned}

\begin{aligned} \tan(\col[1]{\alpha}) &= \col[3]{5} & \quad | \arctan(\square) \\ \col[1]{\alpha} &= \arctan(\col[3]{5}) \\ &\approx \col[1]{78,7\degree} \end{aligned}

Bemerke: Bei Taschenrechnern steht anstelle von \arctan $\arctan$ meistens \tan^{-1} $\tan^{-1}$ . Du erhältst bei beidem das gleiche Ergebnis.

Du erhältst:

\implies \lsg{\col[1]{\alpha \approx 78,7\degree}}

\implies \lsg{\col[1]{\alpha \approx 78,7\degree}}

Steigungswinkel einer Geraden (Negative Steigung)

Aufgabenstellung

Berechne den Steigungswinkel \col[1]{\alpha} $\col[1]{\alpha}$ der Geraden

f (x) = -4 \cdot x + 1

f (x) = -4 \cdot x + 1

Lösung

Schritt 1: Steigung \large \col[3]{m} $\large \col[3]{m}$

Zunächst bestimmst du die Steigung \col[3]{m} $\col[3]{m}$ der Geraden f(x) $f(x)$ .

Die Steigung kannst du direkt von der Funktionsgleichung ablesen:

f(x) = \col[3]{-4} \cdot x + 1

f(x) = \col[3]{-4} \cdot x + 1

Du erhältst:

\col[3]{m = -4}

\col[3]{m = -4}

Schritt 2: Steigungswinkel \large \col[1]{\alpha} $\large \col[1]{\alpha}$

Setze nun die Steigung \col[3]{m = -4} $\col[3]{m = -4}$ in die Gleichung

\tan(\col[1]{\alpha'}) = \col[3]{m}

\tan(\col[1]{\alpha'}) = \col[3]{m}

ein und forme nach \col[1]{\alpha'} $\col[1]{\alpha'}$ um:

\begin{aligned} \tan(\col[1]{\alpha'}) &= \col[3]{-4} & \quad | \arctan(\square) \\ \col[1]{\alpha'} &= \arctan(\col[3]{-4}) \\ &\approx \col[1]{-76\degree} \end{aligned}

\begin{aligned} \tan(\col[1]{\alpha'}) &= \col[3]{-4} & \quad | \arctan(\square) \\ \col[1]{\alpha'} &= \arctan(\col[3]{-4}) \\ &\approx \col[1]{-76\degree} \end{aligned}

Da \col[1]{\alpha'} < 0° $\col[1]{\alpha'} < 0°$ , folgt:

\begin{aligned} \col[1]{\alpha} &= \col[1]{\alpha'} + 180° \\ &= \col[1]{-76°} + 180° \\ &= \col[1]{104°} \end{aligned}

\begin{aligned} \col[1]{\alpha} &= \col[1]{\alpha'} + 180° \\ &= \col[1]{-76°} + 180° \\ &= \col[1]{104°} \end{aligned}

Bemerke: Bei Taschenrechnern steht anstelle von \arctan $\arctan$ meistens \tan^{-1} $\tan^{-1}$ . Du erhältst bei beidem das gleiche Ergebnis.

Du erhältst:

\implies \lsg{\col[1]{\alpha \approx 104\degree}}

\implies \lsg{\col[1]{\alpha \approx 104\degree}}

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