Punkt an Punkt spiegeln

Um einen Punkt A an einem Punkt B zu spiegeln, verwendest du die folgende Gleichung:

\overrightarrow{O\textcolor{sc_color_5} {A'}}=\overrightarrow{O\textcolor{sc_color_4} {A}}+2\cdot\overrightarrow{\textcolor{sc_color_4} {A}\textcolor{sc_color_3} {B}}OA=OA+2AB\overrightarrow{O\textcolor{#A86500} {A'}}=\overrightarrow{O\textcolor{#00856C} {A}}+2\cdot\overrightarrow{\textcolor{#00856C} {A}\textcolor{#DD2238} {B}}\textcolor{sc_color_5} {A' = \textit{Gespiegelter Punkt}}A=GespiegelterPunkt\textcolor{#A86500} {A' = \textit{Gespiegelter Punkt}}\textcolor{sc_color_4} {A = \textit{Zu spiegelnder Punkt}}A=ZuspiegelnderPunkt\textcolor{#00856C} {A = \textit{Zu spiegelnder Punkt}}\textcolor{sc_color_3} {B = \textit{Symmetriepunkt}}B=Symmetriepunkt\textcolor{#DD2238} {B = \textit{Symmetriepunkt}}

Vorgehensweise

Gegeben sind die Punkte A und B und es soll A an B gespiegelt werden.

Auf der Grafik siehst du, dass der Vektor zwischen A und B zwei mal an den Punkt A angetragen wird. So erreichst du eine exakte Spiegelung des Punktes A zum Punkt A'.

Schritt 1: Ortsvektor von A aufstellen.

\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}OA=(a1a2a3)\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}

Schritt 2: Vektor zwischen A und B aufstellen.

\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{pmatrix}AB=(β1β2β3)\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{pmatrix}

Schritt 3: Vektoren in die Gleichung einsetzen und berechnen.

\overrightarrow{OA'}=\overrightarrow{OA}+2\cdot\overrightarrow{AB}OA=OA+2AB\overrightarrow{OA'}=\overrightarrow{OA}+2\cdot\overrightarrow{AB}

Schritt 4: Ortsvektor von A' in Punktschreibweise umschreiben.

A'(a'_1|a'_2|a'_3)A(a1a2a3)A'(a'_1|a'_2|a'_3)

Du hast nun A an B gespiegelt und als gespiegelten Punkt A' erhalten.


Beispiel

Führe eine Spiegelung vom Punkt P am Punkt S durch!

P(1|-3|5) \\ S(4|-1|9)P(135)S(419)P(1|-3|5) \\ S(4|-1|9)

Schritt 1: Ortsvektor von P aufstellen.

\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}OP=(135)\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}

Schritt 2: Vektor zwischen P und S aufstellen.

\overrightarrow{PS}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}PS=(324)\overrightarrow{PS}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}

Schritt 3: Vektoren in die Gleichung einsetzen und berechnen.

\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PS}OP=OP+2PS\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PS}\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}OP=(135)+2(324)\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 13 \end{pmatrix}OP=(7113)\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 13 \end{pmatrix}

Schritt 4: Ortsvektor von P' in Punktschreibweise umschreiben.

P'(7|1|13)P(7113)P'(7|1|13)

Du hast nun P an S gespiegelt und als gespiegelten Punkt P' erhalten.

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