Punktprobe bei einer Gerade

Beschäftigst du dich in Mathe gerade mit der Lagebeziehungen von Punkten und Geraden?

Dann solltest du sicherlich auch prüfen können, ob ein Punkt auf einer Gerade liegt.

simpleclub erklärt dir Schritt für Schritt, wie du eine solche Überprüfung machst.


Punktprobe Gerade einfach erklärt

Punktprobe Gerade Definition

Für die Punktprobe bei einer Geraden musst du den jeweiligen Punkt in die Geradengleichung einsetzen.

Vorgehensweise Punktprobe Gerade

Du hast eine Gerade und einen Punkt gegeben.

Schritt 1: Punkt in Gerade einsetzen.

Schritt 2: Gleichung bzw. Gleichungssystem lösen.

Schritt 3: Lösung interpretieren.

Falls du für das Gleichungssystem bzw. die Gleichung eine Lösung erhältst, so liegt der Punkt auf der Geraden. Falls nicht, liegt er nicht auf der Geraden.


Punktprobe Gerade Beispiele

Punktprobe Gerade in Parameterform

Überprüfe, ob der Punkt auf der Geraden liegt!

g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}g:x=(241)+r(137)g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}P~(3|-1|8)P(318)P~(3|-1|8)

Schritt 1: Punkt in Gerade einsetzen.

\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}(318)=(241)+r(137)\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}

Schritt 2: Gleichung bzw. Gleichungssystem lösen.

\textit{I.)}~~~~3=2+r \implies r=1I.)3=2+rr=1\textit{I.)}~~~~3=2+r \implies r=1\textit{II.)}~~~-1=-4+3r \implies r=1II.)1=4+3rr=1\textit{II.)}~~~-1=-4+3r \implies r=1\textit{III.)}~~8=1+7r \implies r=1III.)8=1+7rr=1\textit{III.)}~~8=1+7r \implies r=1

Schritt 3: Lösung interpretieren.

Es gilt:

\underline{\underline{r=1}}r=1\underline{\underline{r=1}}

Die Gleichung hat eine Lösung. Demzufolge liegt der Punkt auf der Geraden.

Punktprobe Gerade in Normalenform

Überprüfe, ob der Punkt auf der Geraden liegt!

h:~\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ -7 \end{pmatrix}\right)=0h:(13)(x(27))=0h:~\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ -7 \end{pmatrix}\right)=0Q~(1|4)Q(14)Q~(1|4)

Schritt 1: Punkt in Gerade einsetzen.

\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot(\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -7 \end{pmatrix})=0(13)((14)(27))=0\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot(\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -7 \end{pmatrix})=0

Schritt 2: Gleichung bzw. Gleichungssystem lösen.

\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 11 \end{pmatrix} =0(13)(111)=0\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 11 \end{pmatrix} =0\Leftrightarrow (-1)+33=0(1)+33=0\Leftrightarrow (-1)+33=0\Leftrightarrow 32=0 ~~\textit{ f.A.}32=0f.A.\Leftrightarrow 32=0 ~~\textit{ f.A.}

Schritt 3: Lösung interpretieren.

Die Gleichung hat keine Lösung. Demzufolge liegt der Punkt nicht auf der Geraden.

Gerade in Koordinatenform

Überprüfe, ob der Punkt auf der Geraden liegt!

g:~2 x +5 y = -2g:2x+5y=2g:~2 x +5 y = -2R~(4|-2)R(42)R~(4|-2)

Schritt 1: Punkt in Gerade einsetzen.

2\cdot4+5\cdot(-2)=-224+5(2)=22\cdot4+5\cdot(-2)=-2

Schritt 2: Gleichung bzw. Gleichungssystem lösen.

\Leftrightarrow 8-10=-2810=2\Leftrightarrow 8-10=-2\Leftrightarrow -2=-2 ~~ \textit{ w.A.}2=2w.A.\Leftrightarrow -2=-2 ~~ \textit{ w.A.}

Schritt 3: Lösung interpretieren.

Die Gleichung hat mit einer wahren Aussage abgeschlossen. Demzufolge liegt der Punkt auf der Geraden.

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