Gleichungen aufstellen

Du kannst aus einem gegebenen Text oder auch einem Sachverhalt eine Gleichung aufstellen. Das kannst du immer dann machen, wenn zwei Sachen gleichwertig sind.


Erklärung

Altersrätsel

Du kannst bei Textaufgaben häufig aus gegebenen Informationen selbst Gleichungen aufstellen. Dafür musst du die Informationen gründlich lesen und sie dann als einen mathematischen Zusammenhang zwischen zwei Größen angeben.

Wie du dann die Gleichung konkret aufstellst, erfährst du im Folgenden:

Vorgehensweise

Zunächst musst du den gegebenen Text auf wichtige Informationen untersuchen:

  • Was ist gesucht?
  • Was ist gegeben?

Markiere dir am besten die wichtigen Informationen, damit der Text übersichtlich bleibt.

Aus den Informationen muss anschließend eine Gleichung aufgestellt werden. Hierbei kannst du wie folgt vorgehen:

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Variable festlegen

Zunächst machst du dir klar, was überhaupt gesucht ist. Die gesuchte Größe kannst du mit einer beliebigen Variable (z.B. xxx, yyy, aaa, ...) bezeichnen.

Beispiel:

In diesem Fall ist das Alter der beiden gesucht. Da die Variable jedoch nur das Alter einer Person beschreiben kann, kannst du festlegen:

  • Die Variable \col[2]{x}x\col[2]{x} bezeichnet Leas Alter

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Terme aufstellen

In diesem Schritt stellst du einmal die Terme auf, die später die Gleichung bilden.

Beispiel:

In unserem konkreten Beispiel benutzt du die folgenden Informationen:

  • Leas Alter heute: \col[2]{x}x\col[2]{x}
  • Alter von Leas Onkel heute (doppelt so alt wie Lea): 2\col[2]{x}2x2\col[2]{x}
  • Leas Alter vor zehn Jahren: \col[2]{x}-10x10\col[2]{x}-10
  • Alter von Leas Onkel vor zehn Jahren: 2\col[2]{x}-102x102\col[2]{x}-10

\fcolorbox{white}{grey}{3.}3.\fcolorbox{white}{grey}{3.} Gleichung aufstellen

Nun stellst du deine Gleichung auf. Hierzu schaust du noch einmal in den Text, in welchem der Zusammenhang genau erläutert wird. Danach stellst du deine Gleichung so auf, dass Term 1 und Term 2 gleichwertig sind:

\boxed{\textsf{Term 1} \underbrace{\col[1]{=}}_{\textsf{Gleichheitszeichen}} \textsf{Term 2}}Term1=GleichheitszeichenTerm2\boxed{\textsf{Term 1} \underbrace{\col[1]{=}}_{\textsf{Gleichheitszeichen}} \textsf{Term 2}}

Beispiel:

Um die Gleichung aufzustellen, schaust du nach, was genau gleich ist:

  • vor 101010 Jahren war Leas Onkel \col[1]{\textsf{genau}}genau\col[1]{\textsf{genau}} dreimal so alt \col[1]{\textsf{wie}}wie\col[1]{\textsf{wie}} Lea

In eine Gleichung übersetzt heißt das also:

\textsf{Alter des Onkels vor 10 Jahren} \col[1]{=} \textsf{\col[3]{drei}mal Alter von Lea vor 10 Jahren} AlterdesOnkelsvor10Jahren=dreimalAltervonLeavor10Jahren\textsf{Alter des Onkels vor 10 Jahren} \col[1]{=} \textsf{\col[3]{drei}mal Alter von Lea vor 10 Jahren}

Als Gleichung ergibt sich somit:

\underbrace{2x-10}_{\textsf{Onkels Alter vor 10 Jahren}}\col[1]{=}\col[3]{3}\cdot\underbrace{(x-10)}_{\textsf{Leas Alter vor 10 Jahren}}2x10OnkelsAltervor10Jahren=3(x10)LeasAltervor10Jahren\underbrace{2x-10}_{\textsf{Onkels Alter vor 10 Jahren}}\col[1]{=}\col[3]{3}\cdot\underbrace{(x-10)}_{\textsf{Leas Alter vor 10 Jahren}}

Wichtig!

Manche Texte (z.B. Zahlenrätsel) verlangen von dir, dass du die folgenden Rechenausdrücke kennst:

Addition (+)(+)(+)

\textsf{Summand}+\textsf{Summand}=\textsf{Summe}Summand+Summand=Summe\textsf{Summand}+\textsf{Summand}=\textsf{Summe}

Synonyme: Plus rechnen, zusammenzählen, addieren, summieren, ...

Subtraktion (-)()(-)

\textsf{Minuend}-\textsf{Subtrahend} =\textsf{Differenz}MinuendSubtrahend=Differenz\textsf{Minuend}-\textsf{Subtrahend} =\textsf{Differenz}

Synonyme: subtrahieren, vermindern, Minus rechnen, abziehen, Unterschied oder Differenz (Größere - Kleinere), ...

Multiplikation (\cdot)()(\cdot)

\textsf{Faktor}\cdot \textsf{Faktor}= \textsf{Produkt}FaktorFaktor=Produkt\textsf{Faktor}\cdot \textsf{Faktor}= \textsf{Produkt}

Synonyme: Mal rechnen, vervielfachen, multiplizieren, das Produkt berechnen, "der dritte Teil", "halb so viel", ...

Division (:)(:)(:)

\frac{\textsf{Divisor}}{\textsf{Dividend}}=\textsf{Quotient}DivisorDividend=Quotient\frac{\textsf{Divisor}}{\textsf{Dividend}}=\textsf{Quotient}

Synonyme: Geteilt rechnenteilen, dividieren, halbieren, "dreimal so viel", "das Fünffache", ...


Beispiel

Zahlenrätsel

Aufgabe

Gegeben ist die Aussage:

"Die Summe aus 141414 und 888 ist das Gleiche wie das Doppelte von xxx."

Stelle die zugehörige Gleichung auf.

Lösung

\fcolorbox{white}{grey}{1.}1.\fcolorbox{white}{grey}{1.} Variable festlegen

Die Summe aus 141414 und 888 ist das Gleiche wie das Doppelte einer \col[2]{\textsf{Zahl}}Zahl\col[2]{\textsf{Zahl}}.

Zunächst musst du dir klarmachen, was überhaupt gesucht ist. In diesem Fall ist eine Zahl gesucht. Du kannst sie mit der Variable \col[2]{x}x\col[2]{x} bezeichnen.

\fcolorbox{white}{grey}{2.}2.\fcolorbox{white}{grey}{2.} Terme aufstellen

Nun stellst du einmal die beiden Terme auf, die zusammen die Gleichung bilden sollen:

Term 1:

  • " Die \col[4]{\textsf{Summe}}Summe\col[4]{\textsf{Summe}} aus \col[4]{14}14\col[4]{14} und \col[4]{8}8\col[4]{8} [...]"
\implies \col[4]{14+8} 14+8\implies \col[4]{14+8}

Term 2:

  • "[...] \col[3]{\textsf{Doppelte}}Doppelte\col[3]{\textsf{Doppelte}} einer \col[2]{\textsf{Zahl}}Zahl\col[2]{\textsf{Zahl}}"
\implies \col[3]{2} \cdot \col[2]{x}2x\implies \col[3]{2} \cdot \col[2]{x}

\fcolorbox{white}{grey}{3.}3.\fcolorbox{white}{grey}{3.} Gleichung aufstellen

Nun stellst du deine Gleichung auf, indem du die beiden Terme aus dem 2. Schritt gleichsetzt:

\underbrace{\col[4]{14+8}}_{\textsf{Term 1}} \col[1]{=} \underbrace{\col[3]{2} \cdot \col[2]{x}}_{\textsf{Term 2}} 14+8Term1=2xTerm2\underbrace{\col[4]{14+8}}_{\textsf{Term 1}} \col[1]{=} \underbrace{\col[3]{2} \cdot \col[2]{x}}_{\textsf{Term 2}}
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